《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》章§.子空間

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1、第3章 子空間（有限），積空間，商空間 在這一章中我們介紹通過已知的拓?fù)淇臻g構(gòu)造新的拓?fù)淇臻g的三種慣用的辦法. 為了避 免過早涉及某些邏輯上的難點(diǎn)，在§ 3.2 中我們只討論有限個(gè)拓?fù)淇臻g的積空間，而將一般 情形的研究留待以后去作. § 3.1 子空間 本節(jié)重點(diǎn)：掌握度量子空間、拓?fù)淇臻g子空間的概念， 子空間的拓?fù)渑c大空間拓?fù)渲g 的關(guān)系以及子空間的閉集、鄰域、基、導(dǎo)集、閉包與大空間相應(yīng)子集之間的關(guān)系及表示法. 討論拓?fù)淇臻g的子空間目的在于對(duì)于拓?fù)淇臻g中的一個(gè)給定的子集， 按某種“自然的方 式”賦予它一個(gè)拓?fù)涫怪蔀橐粋€(gè)拓?fù)淇臻g， 以便將它作為一個(gè)獨(dú)立的對(duì)象進(jìn)

2、行考察. 所謂 “自然的方式”應(yīng)當(dāng)是什么樣的方式？為回答這個(gè)問題， 我們還是先從度量空間做起， 以便 得到必要的啟發(fā). 考慮一個(gè)度量空間和它的一個(gè)子集. 欲將這個(gè)子集看作一個(gè)度量空間， 必須要為它的每 一對(duì)點(diǎn)規(guī)定距離.由于這個(gè)子集中的每一對(duì)點(diǎn)也是度量空間中的一對(duì)點(diǎn)， 因而把它們作為子 集中的點(diǎn)的距離就規(guī)定為它們作為度量空間中的點(diǎn)的距離當(dāng)然是十分自然的. 我們把上述想 法歸納成定義： 定義3.1.1 設(shè)（X, P）是一個(gè)度量空間， Y是X的一個(gè)子集.因此，YXY _ XXX.顯 然「: YX Y^R是Y的一個(gè)度量（請(qǐng)自行驗(yàn)證）.我們稱 Y的度量「，是由X的度 量p誘導(dǎo)出來的度量.度量

3、空間（Y,p）稱為度量空間（X,p）的一個(gè)度量子空間. 我們常說度量空間 Y是度量空間X的一個(gè)度量子空間，意思就是指 Y是X的一個(gè)子集， 并且Y的度量是由X的度量誘導(dǎo)出來的.我們還常將一個(gè)度量空間的任何一個(gè)子集自動(dòng)地認(rèn) 作一個(gè)度量子空間而不另行說明. 例如我們經(jīng)常討論的： 實(shí)數(shù)空間R中的各種區(qū)間（a, b）, [a, b] , （ a, b]等；n + 1維歐氏空間匚 中的 料1 0 =（迢內(nèi)宀和）訂「工分=1} n維單位球面： M+1 {"（兀和…凡就疋去武|工卡＜ 1} n維單位開、閉球體: .-1 »+1 {"（心出宀砧）訂「工分＜1）

4、 以及n維單位開、閉方體?’和I等等，并且它們也自然被認(rèn)作是拓?fù)淇臻g (考慮相 應(yīng)的度量誘導(dǎo)出來的拓?fù)?. 定理3.1.1 設(shè)Y是度量空間X的一個(gè)度量子空間?則 Y的子集U是Y中的一個(gè)開 集當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè) X中的開集V使得U= VP Y. 證明 由于現(xiàn)在涉及兩個(gè)度量空間，我們時(shí)時(shí)要小心可能產(chǎn)生的概念混淆?對(duì)于 x€X (y€ Y)，臨時(shí)記度量空間 X( Y)中以x( y )為中心以£ > 0為半徑的球形鄰域?yàn)?"二二門, 兒* . 首先指出： 「有二一」-PY. 這是因?yàn)閦€X屬于 牛當(dāng)且僅當(dāng)z€Y且「二二(z,y)< £ . 現(xiàn)

5、在設(shè)U€ 1,由于Y的所有球形鄰域構(gòu)成的族是 Y的拓?fù)涞囊粋€(gè)基，U可以表示為Y 中的一族球形鄰域，設(shè)為 A的并?于是 U畑 M仇滬u =(U M仇W 設(shè)卩叫加腫口‘ US 另一方面，設(shè)U= VP Y,其中V€ '二.如果y € U,則有y €Y和y € V. V,龍 J' 按照定理3.1.1的啟示，我們來逐步完成本節(jié)開始時(shí)所提出的任務(wù). 定義3.1.2 設(shè)A是一個(gè)集族，Y是一個(gè)集合.集族｛A P Y|A€ A｝稱為集族A在集合Y 上的限制，記作■■■!/ 引理3.1.2 設(shè)Y是拓?fù)淇臻g(X, T)的一個(gè)子集.則集族 「「是Y的一個(gè)拓?fù)? 證明 我們驗(yàn)證'】

6、「滿足拓?fù)涠x中的三個(gè)條件： (1) 由于X€T和Y=XH Y,所以Y€ :;由于 匚€「[=[ n Y,所以:_： € -: （2）如果 A, B€ ，即丄蘭匸二-：丿-■ A -Q I I： 于是 j4n5 = (2ny)n(5 n?) =(^n£)nK;; 2n5er,/^n5eT|r （3）如果遼是集族'「的一個(gè)子集族，即對(duì)于每一個(gè) A€遼， 丫f?U知上已門丫 定義3.1.3 設(shè)Y是拓?fù)淇臻g（X，T）的一個(gè)子集.Y的拓?fù)?「稱為（相對(duì)于X的拓 撲T而言的）相對(duì)拓?fù)?；拓?fù)淇臻g（ Y, ?' 〕「，）稱為拓?fù)淇臻g的一個(gè)（拓?fù)洌┳涌臻g. 我們常說

7、拓?fù)淇臻g Y是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子空間，意思就是指Y是X的一個(gè)子集，并且 Y的拓?fù)渚褪菍?duì)于 X的拓?fù)涠缘南鄬?duì)拓?fù)?此外，我們也常將拓?fù)淇臻g的子集認(rèn)為是一個(gè) 子空間而不另行說明. 假設(shè)Y是度量空間X的一個(gè)子空間.現(xiàn)在有兩個(gè)途徑得到 Y的拓?fù)洌阂皇峭ㄟ^X的度量 誘導(dǎo)出Y的度量，然后考慮Y的這個(gè)度量誘導(dǎo)出來的拓?fù)洌?另一是先將X考慮成一個(gè)拓?fù)淇? 間，然后考慮Y的拓?fù)錇閄的拓?fù)湓赮上引出來的相對(duì)拓?fù)? 事實(shí)上定理3.1.1已經(jīng)指出經(jīng) 由這兩種途徑得到的 Y的兩個(gè)拓?fù)涫且粯拥?下面把這層意思重新敘述一遍. 定理3.1.3 設(shè)Y是度量空間X的一個(gè)度量子空間?則 X與Y都考慮作為拓?fù)淇臻g 時(shí)Y是X的

8、一個(gè)（拓?fù)洌┳涌臻g. 定理3.1.4 設(shè)X, Y, Z都是拓?fù)淇臻g?如果 Y是X的一個(gè)子空間，Z是Y的一個(gè) 子空間，貝V Z是X的一個(gè)子空間. 證明 當(dāng)Y是X的一個(gè)子空間，Z是Y的一個(gè)子空間時(shí)，我們有 ZcYcX ；并且若 設(shè)T為X的拓?fù)鋾r(shí)，Z的拓?fù)涫牵?）={Un Y|U€ T}:: ={un Yn z|U€ T}={U n z|U€ t}= ■'二 因此Z是X的一個(gè)子空間. 定理3.1.5 設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子空間，y€ Y.貝V 4 / 6 (I )分別記T和「為X和Y的拓?fù)洌怴「=' :; (2) 分別記F和F為X和Y的全體閉集構(gòu)成的族

9、，則 F =「L (3) 分別記 &和方y(tǒng)為點(diǎn)y在X和Y中的鄰域系，貝方y(tǒng)= S . 證明(1)即是子空間和相對(duì)拓?fù)涞亩x. (2) 成立是因?yàn)椋?F\^{X-U\UeT}\r ={(X-U ) n Y|U€ T}={Y - Un Y|U€ T}= ；： ■- 」三「一 ：' (3) 設(shè)---則- --，因此存在’「」使得V= : n Y,令 吋叫由于冋帆:衛(wèi)冋并且 L/1ny = ^uU)ny= u= u 所以U€ 1：'.以上證明」 -■.類似的論證指出 丄-L . -r 定理3.1.6 設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子空間，A是Y的一個(gè)子集?則 (1)

10、 A在y中的導(dǎo)集是A在X中的導(dǎo)集與Y的交； (2) A在Y中的閉包是 A在X中的閉包與 Y的交. 證明 為證明這個(gè)定理，我們?nèi)苑謩e記 A在X中的導(dǎo)集和閉包為 d (A)和二；而記A 在Y中的導(dǎo)集和閉包分別為 八(A)和一「(A). (I ) 一方面，設(shè)y€ (A).則對(duì)于y在X中的任何一個(gè)鄰域 U,根據(jù)定理3.1.5 , UnY是y在Y中的一個(gè)鄰域，所以 切仏為2©燈)門冶仞)奔0 因此y €d (A).此外當(dāng)然有 y€ Y.所以y€ d(A) n y.這證明 燈(A) _d (A)n Y. 6 / 6 另一方面，設(shè)涉d(A)n Y,「— v Un(j4-

11、 (j/)) ^0aj4cX?=> Vn(A-(y}) c Y 二 7 c 僅一 OO) = (P c (乂 一 {》})) cY = " c 僅一 3})工 0 所以 y€ = (A).這證明 d (A _ d (A)n Y. (2)成立是因?yàn)?.'(A)=A U h(A)=A U (d(A) n Y)=(A U d(A)) n (A U Y)= J n Y 定理3.1.7 設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子空間，y€ Y.貝V (1) 如果B是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)基，貝V * b是子空間Y的一個(gè)基； (2) 如果*是點(diǎn)y在拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)鄰域基，則 是點(diǎn)y在子空

12、間Y中 的一個(gè)鄰域基. 證明(1 )設(shè)B是X的一個(gè)基.對(duì)于 Y中的任何一個(gè)開集 U,存在X中的一個(gè)開集 V使 得U=V1 Y;存在B的一個(gè)子族'1,使得 y 八-?因此U=」--由于上式中 的每一個(gè)BnY是：b中的一個(gè)元素，所以在上式中 u已經(jīng)表示成了；卜中的某些元素之并 了 ?因此；卜是Y的一個(gè)基. (2)證明(略). “子空間”事實(shí)上是從大拓?fù)淇臻g中“切割”出來的一部分. 這里有一個(gè)反問題，概言 之就是：一個(gè)拓?fù)淇臻g什么時(shí)候是另一個(gè)拓?fù)淇臻g的子空間？換言之， 一個(gè)拓?fù)淇臻g在什么 條件下能夠“鑲嵌”到另一個(gè)拓?fù)淇臻g中去？當(dāng)然假如我們拘泥于某些細(xì)節(jié)，例如 涉及的拓?fù)淇臻g是由

13、什么樣的點(diǎn)構(gòu)成的，那么問題會(huì)變得十分乏味 ，然而我們?cè)?#167; 2. 2 中便提到過，拓?fù)鋵W(xué)的中心任務(wù)是研究拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)， 也就是說我們不去著意區(qū)別同胚的兩 個(gè)拓?fù)淇臻g?在這種意義下，以上問題可以精確地陳述如下： 定義3.1.4 設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X tY.映射f稱為一個(gè)嵌入，如果它是一個(gè) 單射，并且是從 X到它的象集f(X)的一個(gè)同胚.如果存在一個(gè)嵌入 f: XtY,我們說拓?fù)淇?間X可嵌入拓?fù)淇臻gY. 事實(shí)上，拓?fù)淇臻gX可嵌入拓?fù)淇臻g Y意思就是拓?fù)淇臻g X與拓?fù)淇臻gY的某一個(gè)子空 間同胚?換言之，在不區(qū)別同胚的兩個(gè)拓?fù)淇臻g的意義下， X “就是” Y 的一個(gè)子空間. 不能嵌入的一個(gè)簡(jiǎn)單例子是， 一個(gè)離散空間， 如果它含有多于一個(gè)點(diǎn)， 就決不可能嵌入 到任何一個(gè)平庸空間中去；反之，一個(gè)平庸空間，如果它含有多于一個(gè)點(diǎn)，也決不可能嵌入 到任何一個(gè)離散空間中去． 歐氏平面中的單位圓周是否可以嵌入到實(shí)數(shù)空間 （即直線） 中去 呢？這個(gè)問題我們到第四章中再作處理．本書中我們還會(huì)涉及一些比較深刻的嵌入定理． 本節(jié)關(guān)鍵 : 掌握拓?fù)淇臻g中的子集 （ 這里稱為子空間 ）的開集、閉集、閉包、導(dǎo)集”長(zhǎng)” 得什么模樣． 作業(yè): P95 1.2.5.7. 8 / 6