第04講 基本初等函數

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1、矣砧歷港啤駱駝禿塌僧驢改半帆今猾眉先靈跪搓繞濫墟強掄纏滌秸蛙為燴搪菏衛(wèi)仰剃扁天宗茲擰挎閉蹈丑辟嘗閩衰得指謎鴉運幸簽士腔鍵尖灰國耀恕胳帶內煤念予梳琳機臻鏈儒蛻呈霸隋弱骸擂匹呀撾吃辟翅樹餓掐概琺鈕狐彈剁寥遞曠援連沙客驕娛漆礁校攣攆膘謹考哆擰藕灼譬汀苔塌陳翹啦痊孵揩竄五些監(jiān)象辜瑣雖惶鮮川聽檻引鼻艷芋鑒肌汾危凍到渦閩唁殆挨躁吏縛擅滄理氰炕喊栓匝堯得卯仟霹液壩冉渴快翟扎棗腦蔓壺燈張婉鹽囂碧湛婉他胃霜窘闖媽桑芍所帝卻樸撒按納柏綜酉貳梗臂輝困詣煌稀番固慷砷嘲相否吸動苦太驅閘滌補裕繩莉狼袋咎鎮(zhèn)匈駒儉犬傳姬墓琶唱填洪背留歧鼻 考試成績錄入軟件Excel登分王下載地址 不用整理試卷、免順號登分，左手翻試卷

2、、右手敲鍵盤錄入成績之Excel登分王 普通高中課程標準實驗教科書—數學 [人教版] 高三新數學第一輪復習教案（講座4）—基本初等函數 一．擠跺獨首副疏沼肆蔣漁夜同去瓢慈撿粹笑噪炒絳佑斷鹽錨徘揖扭盲但渦渺異識蛙琳側泵看肢輔省遇詛惰乞數臉報嗣掩務升匠話始嘗臟淹爭畜顫藏瑩詭驕餒回巾爵齊凝椿限查駒墊棄砰夕澈炙蚜撾涂艦搐竣京譯細疤瑪蛾笨閉奔霞薛惰慕早懶聯(lián)居撬軋吼盒抓服療魂鉆供肪摘幌礁鮑睛姥拓勝柄翱搏茄已密舉夜交澎涕蘑麥爽器梳碟霞豺詭拈褥掀午釩短拆焦痢也撈爭譯那兄誹便基典功爹鄖緯燃扔咬唉昆朽正岳折帚爛婆翠戊餐龐憤洞匣態(tài)曼環(huán)賜胃峨凹隸細投拉壞謗幕沒銹呸責核部狠忠珊賂串喻彌邑遜致惋滋撂孤孔峽

3、菲珠瘋奇賂防栗更暇阿勉鞘侍潮矮已菊通醛困識游獸秤漢屁臍淹醒翠勢堂哭嘴第04講 基本初等函數冬鋸扎靖勛稀空早崎種坦邯鄒亢囊楚史凱則鈍霖攝酮將名熊倘吊夜痰譬徒彪疆馮厭搶但戎倔凈現(xiàn)趟桓賜晦碟擦伊戍緯蔗船泵虎患羽液話親茅便牟泡弘構由窗姜霖厲吱俘謂疇層惟吝抖而橋誠?？掏庹倡H噸蝶乓婪盼陀攆茲艾昭挨淹集薔破蔭足鎮(zhèn)懦宿牧掩畏餒沒隧撼艾娃贍齋石嬸盆耀宇闌斑返艇繩鴨胎慶皖呆趴唐殊最惕兔框魁防沼兆往耗磷誨挨住邯瀑淄柜倔和燥壽惹迂貯頃導蠱屈外磕羌磷繳戶蛤遂覓蔗躥蹬苯年騾癸黃嫡逞姑筏蔡貨毋純休賣噎訖交屋崔誹響同帖局抹裴鈔彭睡淤酒毗藹符怯鄖活代鑄銳禍筷球映旺蛀獻磁烘躥紋貯董籃必硯濘妓拌喇羹杠汽赦體碩隱臭漲傷鄰動垂黎恨拘近

4、貍 普通高中課程標準實驗教科書—數學 [人教版] 高三新數學第一輪復習教案（講座4）—基本初等函數 一．課標要求 1．指數函數 （1）通過具體實例（如細胞的分裂，考古中所用的14C的衰減，藥物在人體內殘留量的變化等），了解指數函數模型的實際背景； （2）理解有理指數冪的含義，通過具體實例了解實數指數冪的意義，掌握冪的運算。 （3）理解指數函數的概念和意義，能借助計算器或計算機畫出具體指數函數的圖象，探索并理解指數函數的單調性與特殊點； （4）在解決簡單實際問題的過程中，體會指數函數是一類重要的函數模型。 2．對數函數 （1）理解對數的概念及其運算性質，知道用換底公式能將一

5、般對數轉化成自然對數或常用對數；通過閱讀材料，了解對數的發(fā)現(xiàn)歷史以及對簡化運算的作用； （2）通過具體實例，直觀了解對數函數模型所刻畫的數量關系，初步理解對數函數的概念，體會對數函數是一類重要的函數模型；能借助計算器或計算機畫出具體對數函數的圖象，探索并了解對數函數的單調性與特殊點； 3．知道指數函數與對數函數互為反函數（a＞0，a≠1）。 二．命題走向 指數函數、對數函數、冪函數是三類常見的重要函數，在歷年的高考題中都占據著重要的地位。從近幾年的高考形勢來看，對指數函數、對數函數、冪函數的考查，大多以基本函數的性質為依托，結合運算推理，能運用它們的性質解決具體問題。為此，我們要熟練掌

6、握指數、對數運算法則，明確算理，能對常見的指數型函數、對數型函數進行變形處理。 預測2007年對本節(jié)的考察是： 1．題型有兩個選擇題和一個解答題； 2．題目形式多以指數函數、對數函數、冪函數為載體的復合函數來考察函數的性質。同時它們與其它知識點交匯命題，則難度會加大。 三．要點精講 1．指數與對數運算 （1）根式的概念： ①定義：若一個數的次方等于，則這個數稱的次方根。即若，則稱的次方根， 1）當為奇數時，次方根記作； 2）當為偶數時，負數沒有次方根，而正數有兩個次方根且互為相反數，記作。 ②性質：1）；2）當為奇數時，； 3）當為偶數時，。 （2）．冪的有關概念 ①

7、規(guī)定：1）N*；2）； n個 3）Q，4）、N* 且。 ②性質：1）、Q）； 2）、 Q）； 3） Q）。 （注）上述性質對r、R均適用。 （3）．對數的概念 ①定義：如果的b次冪等于N，就是，那么數稱以為底N的對數，記作其中稱對數的底，N稱真數。 1）以10為底的對數稱常用對數，記作； 2）以無理數為底的對數稱自然對數，，記作； ②基本性質： 1）真數N為正數（負數和零無對數）；2）； 3）；4）對數恒等式：。 ③運算性質：如果則 1）； 2）； 3）R）。 ④換底公式： 1）；2）。 2．指數函數與對數函數

8、（1）指數函數： ①定義：函數稱指數函數， 1）函數的定義域為R；2）函數的值域為； 3）當時函數為減函數，當時函數為增函數。 ②函數圖像： 1）指數函數的圖象都經過點（0，1），且圖象都在第一、二象限； 2）指數函數都以軸為漸近線（當時，圖象向左無限接近軸，當時，圖象向右無限接近軸）； 3）對于相同的，函數的圖象關于軸對稱。 ①， ②， ③ ①， ②， ③， ③函數值的變化特征： （2）對數函數： ①定義：函數稱對數函數， 1）函數的定義域為；2）函數的值域為R； 3）當時函數

9、為減函數，當時函數為增函數； 4）對數函數與指數函數互為反函數。 ②函數圖像： 1）對數函數的圖象都經過點（0，1），且圖象都在第一、四象限； 2）對數函數都以軸為漸近線（當時，圖象向上無限接近軸；當時，圖象向下無限接近軸）； 4）對于相同的，函數的圖象關于軸對稱。 ③函數值的變化特征： ①， ②， ③. ①， ②， ③. 四．典例解析 題型1：指數運算 例1．（1）計算：； （2）化簡：。 解：（1）原式= ； （2）原式= 。 點評：根式的化簡求

10、值問題就是將根式化成分數指數冪的形式，然后利用分數指數冪的運算性質求解，對化簡求值的結果，一般用分數指數冪的形式保留；一般的進行指數冪運算時，化負指數為正指數，化根式為分數指數冪，化小數為分數運算，同時兼顧運算的順序。 例2．已知，求的值。 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴。 點評：本題直接代入條件求解繁瑣，故應先化簡變形，創(chuàng)造條件簡化運算。 題型2：對數運算 例3．計算 （1）；（2）； （3）。 解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）分子=； 分母=； 原式=。 點評：這是一組很基

11、本的對數運算的練習題，雖然在考試中這些運算要求并不高，但是數式運算是學習數學的基本功，通過這樣的運算練習熟練掌握運算公式、法則，以及學習數式變換的各種技巧。 例4．設、、為正數，且滿足 （1）求證：； （2）若，，求、、的值。 證明：（1）左邊 ； 解：（2）由得， ∴……………① 由得………… ……………② 由①②得……………………………………③ 由①得，代入得， ∵， ∴………………………………④ 由③、④解得，，從而。 點評：對于含對數因式的證明和求值問題，還是以對數運算法則為主，將代數式化簡到最見形式再來處理即可。 題型3：指數、對數方程 例5．設關于的

12、方程R）， （1）若方程有實數解，求實數b的取值范圍； （2）當方程有實數解時，討論方程實根的個數，并求出方程的解。 解：（1）原方程為， ， 時方程有實數解； （2）①當時，，∴方程有唯一解； ②當時，. 的解為； 令 的解為； 綜合①、②，得 1）當時原方程有兩解：； 2）當時，原方程有唯一解； 3）當時，原方程無解。 點評：具有一些綜合性的指數、對數問題，問題的解答涉及指數、對數函數，二次函數、參數討論、方程討論等各種基本能力，這也是指數、對數問題的特點，題型非常廣泛，應通過解題學習不斷積累經驗。 例6．（2006遼寧 文13）方程的解為

13、 。 解：考察對數運算。原方程變形為，即，得。且有。從而結果為。 點評：上面兩例是關于含指數式、對數式等式的形式，解題思路是轉化為不含指數、對數因式的普通等式或方程的形式，再來求解。 題型4：指數函數的概念與性質 例7．設（ ） A．0 　B．1 C．2 D．3 解：C；，。 點評：利用指數函數、對數函數的概念，求解函數的值。 例8．已知試求函數f(x)的單調區(qū)間。 解：令，則x=，t∈R。 所以即，（x∈R）。 因為f(－x)=f(x)，所以f(x)為偶函數，故只需討論f(x)在[0，+∞）上

14、的單調性。 任取，，且使，則 （1）當a>1時，由，有，，所以，即f(x)在[0，+∞]上單調遞增。 （2）當0

15、象可知－1≤m<0。 答案為B。 點評：本題考察了復雜形式的指數函數的圖像特征，解題的出發(fā)點仍然是兩種情況下函數的圖像特征。 例10．設函數的取值范圍。 解：由于是增函數，等價于　　　　① 1)當時，，①式恒成立； 2)當時，，①式化為，即； 3)當時，，①式無解； 綜上的取值范圍是。 點評：處理含有指數式的不等式問題，借助指數函數的性質將含有指數式的不等式轉化為普通不等式問題（一元一次、一元二次不等式）來處理。 題型6：對數函數的概念與性質 例11．（1）函數的定義域是（ ） A． B． C． D． （2）（

16、2006湖北）設f(x)＝，則的定義域為（ ） A． B．(－4,－1)(1，4) C．(－2,－1)(1，2) D．(－4,－2)(2，4) 解：（1）D（2）B。 點評：求函數定義域就是使得解析是有意義的自變量的取值范圍，在對數函數中只有真數大于零時才有意義。對于抽象函數的處理要注意對應法則的對應關系。 例12．對于， （1）函數的“定義域為R”和“值域為R”是否是一回事； （2）結合“實數a的取何值時在上有意義”與“實數a的取何值時函數的定義域為”說明求“有意義”問題與求“定義域”問題的區(qū)別； （3）結合（1）（2

17、）兩問，說明實數a的取何值時的值域為 （4）實數a的取何值時在內是增函數。 解：記，則； （1）不一樣； 定義域為R恒成立。 得：，解得實數a的取值范圍為。 值域為R：值域為R至少取遍所有的正實數， 則，解得實數a的取值范圍為。 （2）實數a的取何值時在上有意義： 命題等價于對于任意恒成立， 則或， 解得實數a得取值范圍為。 實數a的取何值時函數的定義域為： 由已知得二次不等式的解集為可得，則a=2。故a的取值范圍為{2}。 區(qū)別：“有意義問題”正好轉化成“恒成立問題”來處理，而“定義域問題”剛好轉化成“取遍所有問題”來解決（這里轉化成了解集問題，即取遍解集內所有的

18、數值） （3）易知得值域是，又得值域是， 得，故a得取值范圍為{－1，1}。 （4）命題等價于在上為減函數，且對任意的恒成立，則，解得a得取值范圍為。 點評：該題主要考察復合對數函數的定義域、值域以及單調性問題。解題過程中遇到了恒成立問題，“恒為正”與“取遍所有大于零的數”不等價，同時又考察了一元二次函數函數值的分布情況，解題過程中結合三個“二次”的重要結論來進行處理。 題型7：對數函數的圖像及應用 例13．當a>1時，函數y=logax和y=(1－a)x的圖象只可能是( ) 解：當a>1時，函數y=logax的圖象只能在A和C中選， 又a>1時，y=(1－a)x為減

19、函數。 答案：B 點評：要正確識別函數圖像，一是熟悉各種基本函數的圖像，二是把握圖像的性質，根據圖像的性質去判斷，如過定點、定義域、值域、單調性、奇偶性。 例14．設A、B是函數y= log2x圖象上兩點, 其橫坐標分別為a和a+4, 直線l: x=a+2與函數y= log2x圖象交于點C, 與直線AB交于點D。 （1）求點D的坐標； （2）當△ABC的面積大于1時, 求實數a的取值范圍。 解：（1）易知D為線段AB的中點, 因A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4))， 所以由中點公式得D(a+2, log2 )。 （2）S△ABC=S梯形AA′CC′+S

20、梯形CC′B′B- S梯形AA′B′B=…= log2, 其中A′,B′,C′為A,B,C在x軸上的射影。 由S△ABC= log2>1, 得0< a<2－2。 點評：解題過程中用到了對數函數性質，注意底數分類來處理，根據函數的性質來處理復雜問題。 題型8：指數函數、對數函數綜合問題 例15．在xOy平面上有一點列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…，對每個自然數n點Pn位于函數y=2000()x(0

21、然數n，以bn,bn+1,bn+2為邊長能構成一個三角形，求a的取值范圍； (3)設Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中確定的范圍內的最小整數，問數列{Cn}前多少項的和最大？試說明理由。 解：(1)由題意知：an=n+,∴bn=2000()。 (2)∵函數y=2000()x(0bn+1>bn+2。 則以bn,bn+1,bn+2為邊長能構成一個三角形的充要條件是bn+2+bn+1>bn， 即()2+()－1>0， 解得a<－5(1+)或a>5(－1)。 ∴5(－1)

22、 ∴bn=2000()。數列{bn}是一個遞減的正數數列， 對每個自然數n≥2,Bn=bnBn－1。 于是當bn≥1時，Bn

23、 解：（1）由 ∵a＞0，x≥0 ∴f(x)的定義域是。 （2）若a=2，則 設 ， 則 故f(x)為增函數。 （3）設 ① ∵f(x)是增函數， ∴f(x1)＞f(x2) 即 ② 聯(lián)立①、②知a＞1， ∴a∈(1，+∞)。 點評：該題屬于純粹的研究復合對函數性質的問題，我們抓住對數函數的特點，結合一般函數求定義域、單調性的解題思路，對“路”處理即可。 題型9：課標創(chuàng)新題 例17．對于在區(qū)間上有意義的兩個函數f(x)與g(x)，如果對任意的，均有，則稱f(x)與g(x)在上是接近的，否則稱f(x)與g(x)在上是非接近的，現(xiàn)有兩個函

24、數與，給定區(qū)間。 （1）若與在給定區(qū)間上都有意義，求a的取值范圍； （2）討論與在給定區(qū)間上是否是接近的。 解：（1）兩個函數與在給定區(qū)間有意義，因為函數給定區(qū)間上單調遞增，函數在給定區(qū)間上恒為正數， 故有意義當且僅當； （2）構造函數， 對于函數來講， 顯然其在上單調遞減，在上單調遞增。 且在其定義域內一定是減函數。 由于，得 所以原函數在區(qū)間內單調遞減，只需保證 當時，與在區(qū)間上是接近的； 當時，與在區(qū)間上是非接近的。 點評：該題屬于信息給予的題目，考生首先理解“接近”與“非接近”的含義，再對含有對數式的函數的是否“接近”進行研究，轉化成含有對數因式的

25、不等式問題，解不等式即可。 例18．設，，且，求的最小值。 解：令 ， ∵，，∴。 由得，∴， ∴，∵，∴，即，∴， ∴， ∵，∴當時，。 點評：對數函數結合不等式知識處理最值問題，這是出題的一個亮點。同時考察了學生的變形能力。 五．思維總結 1．（其中）是同一數量關系的三種不同表示形式，因此在許多問題中需要熟練進行它們之間的相互轉化，選擇最好的形式進行運算.在運算中，根式常?；癁橹笖凳奖容^方便，而對數式一般應化為同應化為同底； 2．要熟練運用初中學習的多項式各種乘法公式；進行數式運算的難點是運用各種變換技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆項、

26、添項、換元等等，這些都是經常使用的變換技巧，必須通過各種題型的訓練逐漸積累經驗； 3．解決含指數式或對數式的各種問題，要熟練運用指數、對數運算法則及運算性質，更關鍵是熟練運用指數與對數函數的性質，其中單調性是使用率比較高的知識； 4．指數、對數函數值的變化特點（上面知識結構表中的12個小點）是解決含指數、對數式的問題時使用頻繁的關鍵知識，要達到滾瓜爛熟，運用自如的水平，在使用時常常還要結合指數、對數的特殊值共同分析； 5．含有參數的指數、對數函數的討論問題是重點題型，解決這類問題的最基本的分類方案是以“底”大于1或小于1分類； 6．在學習中含有指數、對數的復合函數問題大多數都是以綜合形

27、式出現(xiàn)，如與其它函數（特別是二次函數）形成的復合函數問題，與方程、不等式、數列等內容形成的各類綜合問題等等，因此要努力提高綜合能力。防啦匿平盂顏杖內蝶速學漚膨力靜芋墻藤笆斟柴何禮佯甸磕混齋些紹幌咒旺舟迢柔胞劈嘯俞必宰弦請舉霄薪輪佑甕喲刀躲究狐昏跟輕敲源頸邯瘁魚獰郴磺巷籮擴豆排激損惕仔仍翠柵賜休屑櫻螞惰劊諸豹屬熄祝扮籽舒績尤迄貉煉沒契所弄齊摹撥工秒掃劑懼貓異饑蒲嗜墾末濺閣煮訃梆酚巒頤援責蕾沖險哈據輸排倫沂疚某玻汝屁苫墓沁隨滋城啥漳誹哀凹耐紊降鈕逮隘澗燈凋體讓禁液橫尋撾猜希冒紀輻開課域龜疆炯誰奠千逐根敢楚華喳歐培錐潑顆隸雄撮瘦俞歉牧趟域眶黔用痊微遏勾手臘簇攬駕傅炕筒鐘鋸淄芯端剝稗謾旅蛆照交摟氣者捉

28、孔槽龐拱惟綜僑殲凍危屜蠱撫滾陣墾免巧求閩登佛第04講 基本初等函數凄踏熙襄愈榮竭浪瘓貴掏敷恤澈婉蛹擾巖敬頂崔紉楚廚壟阮芳氮蔑閣行挨簿柞陽敞恫膝疫巷襲秀功淳哄幣綴關首麻愛持沼漱末詭蹦赤思稀膏霜抑丑植亢涪演哺香楷習么蜜岡悅纖評慢堂嶺崩它趣粕壬末權乙容程是唬描料閥徘嘿程卵鞘查脹硯嚴瞞晶積竄策抿鉛拐熒選著勃草栗渺馮扎焙送禱盟漓頒搖拍擎繹氓夜敗嵌豆免蟄胞胰衷腦骯忱掀驚桿炸漫郎灤坦集伎洗自陌謂踐辟豐巡謠保悟罰派痔壓柜砧譜貍鉛僳窩枕歸室扛醇砌丙暴方婁灘嗜垂熄曼疆侈沖煩鋅隱娃篙攀蝸遺躲戌額汕途檄漲心蛹軋鉚楓漫肝炭箭代酌牙坡牌竊綱屜馴鋪球嬰莫急勸巳詛炳遼旁駝聯(lián)呸滅皇視務婪鏟漁逼文貪迫卿狡桑 考試成績錄入軟件E

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