高考數(shù)學 備考沖刺之易錯點點睛系列專題 三角函數(shù)教師版

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1、 三角函數(shù) 一、高考預測 該專題是高考重點考查的部分,從最近幾年考查的情況看,主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、三角函數(shù)式的化簡與求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等變換以及三角函數(shù)、解三角形和平面向量在立體幾何、解析幾何等問題中的應用.該部分在試卷中一般 1.考小題,重在基礎運用 考查的重點在于基礎知識:解析式、圖象及圖象變換、兩域(定義域、值域)、四性(單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性)、 反函數(shù)以及簡單的三角變換(求值、化簡及比較大小)。 2.考大題,難度明顯降低 有關(guān)三角函數(shù)的大題即解答題,通過三角公式變形、轉(zhuǎn)換來考查思維能力的題目已經(jīng)沒

2、有了,而是考查基礎知識、基本技能和基本方法。解答題的形式進行考查,且難度不大,主要考查以下四類問題:(1)與三角函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問題;(2)與三角函數(shù)圖象有關(guān)的問題;(3)應用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導公式求三角函數(shù)值及化簡和等式證明的問題;(4)與周期有關(guān)的問題. 高考備考是緊張的、同時也是收獲的前夜。成功永遠屬于那些準備充分的人們.祝愿各位在20xx年的高考中取得輝煌成績。 圖象上升時與x軸的交點)為,其他依次類推即可。 3.五點法作y=Asin(ωx+)的簡圖:五點取法是設x=ωx+,由x取0、、π、、2π來求相應的x值及對應的y值,再描點作圖。3.函數(shù)最大值是,最小值是,周期是

3、,頻率是,相位是,初相是;其圖象的對稱軸是直線,凡是該圖象與直線的交點都是該圖象的對稱中心。 4.由y=sinx的圖象變換出y=sin(ωx+)的圖象一般有兩個途徑,只有區(qū)別開這兩個途徑,才能靈活進行圖象變換。利用圖象的變換作圖象時,提倡先平移后伸縮,但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無論哪種變形,請切記每一個變換總是對字母x而言,即圖象變換要看“變量”起多大變化,而不是“角變化”多少。 途徑一:先平移變換再周期變換(伸縮變換)先將y=sinx的圖象向左(>0)或向右(<0=平移||個單位,再將圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?ω>0),便得y=sin(ωx+)的圖象。 途徑二:先周期變換(伸縮變換

4、)再平移變換。先將y=sinx的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?ω>0),再沿x軸向左(>0)或向右(<0=平移個單位,便得y=sin(ωx+)的圖象。 要點3:與三角函數(shù)的性質(zhì)有關(guān)的問題 1.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像 2.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:的遞增區(qū)間是, 遞減區(qū)間是; 的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是, 的遞增區(qū)間是, 5.求三角函數(shù)的周期的常用方法:經(jīng)過恒等變形化成“、”的形式,在利用周期公式,另外還有圖像法和定義法。 要點4:三角變換及求值 1.兩角和與差的三角函數(shù); 。 3.三角函數(shù)式的化簡 常用方法:①直接應用公式進行降次、消項;②切割化弦,異

5、名化同名,異角化同角;③ 三角公式的逆用等。(2)化簡要求:①能求出值的應求出值;②使三角函數(shù)種數(shù)盡量少;③使項數(shù)盡量少;④盡量使分母不含三角函數(shù);⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)。(1)降冪公式;;。(2)輔助角公式 4.三角函數(shù)的求值類型有三類 (1)給角求值:一般所給出的角都是非特殊角,要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系,利用三角變換消去非特殊角,轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題; (2)給值求值:給出某些角的三角函數(shù)式的值,求另外一些角的三角函數(shù)值,解題的關(guān)鍵在于“變角”,如等,把所求角用含已知角的式子表示,求解時要注意角的范圍的討論; (3)給值求角:實質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題,由所得

6、的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角。 要點5:正、余弦定理的應用 1.直角三角形中各元素間的關(guān)系:如圖,在△ABC中,C=90°,AB=c,AC=b,BC=a。 (1)三邊之間的關(guān)系:a2+b2=c2。(勾股定理)(2)銳角之間的關(guān)系:A+B=90°;(3)邊角之間的關(guān)系:(銳角三角函數(shù)定義) sinA=cosB=,cosA=sinB=,tanA=。 2.斜三角形中各元素間的關(guān)系:如圖6-29,在△ABC中,A、B、C為其內(nèi)角,a、b、c分別表示A、B、C的對邊。(1)三角形內(nèi)角和:A+B+C=π。 (2)正弦定理:在一個三角形中,各邊和它所對

7、角的正弦的比相等。 。(R為外接圓半徑) =;(4)△=2R2sinAsinBsinC。(R為外接圓半徑)(5)△=;(6)△=;;(7)△=r·s。 解斜三角形的主要依據(jù)是:設△ABC的三邊為a、b、c,對應的三個角為A、B、C。 (1)角與角關(guān)系:A+B+C = π;(2)邊與邊關(guān)系:a + b > c,b + c > a,c + a > b,a-b < c,b-c < a,c-a > b;(3)邊與角關(guān)系:正弦定理 (R為外接圓半徑);余弦定理 c2 = a2+b2-2bccosC,b2 = a2+c2-2accosB,a2 =

8、b2+c2-2bccosA;它們的變形形式有:a = 2R sinA,,。 三角形中的三角變換 三角形中的三角變換,除了應用上述公式和上述變換方法外,還要注意三角形自身的特點。 要點7:向量與三角函數(shù)的綜合 平面向量融數(shù)、形于一體,具有幾何與代數(shù)的“雙重身份”,從而它成為了中學數(shù)學知識交匯和聯(lián)系其他知識點的橋梁.平面向量的運用可以拓寬解題思路和解題方法.在高考試題中,其一主要考查平面向量的性質(zhì)和運算法則,以及基本運算技能,考查考生掌握平面向量的和、差、數(shù)乘和內(nèi)積的運算法則,理解其幾何意義,并能正確的進行計算;其二是考查向量的坐標表示,向量的線性運算;其三是和其它數(shù)學知識結(jié)合在一起,如

9、和曲線、數(shù)列等知識結(jié)合.向量的平行與垂直,向量的夾角及距離,向量的物理、幾何意義,平面向量基本定理,向量數(shù)量積的運算、化簡與解析幾何、三角、不等式、數(shù)列等知識的結(jié)合,始終是命題的重點. 三、易錯點點睛 命題角度1 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) [專家把脈] 上面解答求出k的范圍只能保證y= 的圖像與y=k有交點,但不能保證y=的圖像與y=k有兩個交點,如k=1,兩圖像有三個交點.因此,正確的解答要作出了y=的圖像,運用數(shù)形結(jié)合的思想求解. [對癥下藥] 填(1,3)∵= 作出其圖像如圖 從圖5-1中可看出:當1<k<3時,直線y=k與 有兩個交點. 2.要得

10、到函數(shù)y=cosx的圖像,只需將函數(shù)y=sin(2x+)的圖像上所有的點的 ( ) [考場錯解]∵將函數(shù)y=sin(2x+)的所有點的橫坐標縮短到原來的倍,得函數(shù)y=sin(x+)的圖像,再向右平行移動子個單位長度后得函數(shù)y=sin(x+)=cosx的圖像.故選B. 將函數(shù)y=sin(2x+)變形為y=sin2(x+).若將其圖像橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)后得函數(shù)y=sin(x+)的圖像.再向右平行移動個單位長度后得y=cosx的圖像,選D. [對癥下藥] 選C 將函數(shù)y=sin(2x+)圖像上所有的點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),得函數(shù)y

11、=sin(x+)的圖像;再向左平行移動子個單位長度后便得y=sin(x++)=cosx的圖像.故選C. 3.設函數(shù)=sin(2x+)(-π<<0),y=圖像的一條對稱軸是直線x=. (1)求; (2)求函數(shù)y=的單調(diào)增區(qū)間; (3)畫出函數(shù)y=在區(qū)間[0,π]上的圖像. [考場錯解] (1)∵x=是函數(shù)y=的圖像的對稱軸,∴sin(2×+)=±1,∴ +=kπ+k [專家把脈]以上解答錯在第(2)小題求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時,令處,因若把看成一個整體u,則y=sinu的周期為2π。故應令,解得的x范圍才是原函數(shù)的遞增區(qū)間. (3)由知 x 0

12、 π y -1 0 1 0 故函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,π]上圖像是 5. 求函數(shù)的最小正周期和最小值;并寫出該函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間。 [考場錯解] 故該函數(shù)的最小正周期是; [對癥下藥]∵函數(shù)y=sin4x+sinxcosx-cos4x =(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+ sin2x =sin2x-cos2x=2sin(2x-).故該函數(shù)的最小正周期是π. 當2x-=2kπ-時,即x=kπ-時,y有最小值 y=sin(-2x), y=lgsin(2x+))的單調(diào)性,在解決這類問題時,不能簡單地把,x+, -2

13、x,2x+,看作一個整體,還應考慮函數(shù)的定義域等問題.y=Asin(ωx+)與y=sinx圖像間的關(guān)系:由y=sinx圖像可以先平移后伸縮,也可先伸縮后平專家會診移.要注意順序不同,平移單位也不同.一般地, y=Asib(ωx+)的圖象向左平移a個單位得到y(tǒng)=Asin[ω(x+a)+] 的圖象,再把其上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?,即得到y(tǒng)=Asin[ωw1+ωa+]的圖像. 命題角度2三角函數(shù)的恒等變形 1.設α為第四象限的角,若,則tan2α= . [考場錯解] 填±∵ ∴ [考場錯解] (1)由sinx+cosx=,平方得sin2x+ 2sinxco

14、sx+cos2x=()2,即2sinxcosx=-. [專家把脈] 以上解答在利用三角恒等變形化簡時出現(xiàn)了錯誤.即由 =sinxcosx(2-sinx -cosx)變形時認為2sin2 =1+cosx,用錯了公式,因為 2sin2 =1-cosx.因此原式化簡結(jié)果是錯誤的. [對癥下藥]解法1(1)由sinx+cosx=,平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=即2sinxcosx=-. ∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=1+.又∵- <x<0,∴sinx<0,∴cosx>0,∵-<x<0,∴故sinx-co

15、sx=- ( 2 )=sinxcosx(2-cosx-sinx)= 將tanα=-代入上式得sin(2α+)= 將tanα=時代入上式得 即 于是,, 將代入上式得sin(2α+)= [考場錯解] ∵=∵的最大值為1, ∴.∴a=3 [專家把脈] 上面解答在三角恒等變形中,用錯了兩個公式:①1+cos2x≠2sin2x;②sin(+x)≠sinx因為 cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1.∴1+cos2x=2cos2x.由誘導公式“奇變偶不變”知sin(+x)=cosx. [對癥下藥] ∵=其中角滿足由已知有=4,解之得,a= 命題角度3

16、 三角函數(shù)的綜合應用 1.如圖,在直徑為1的圓O中,作一關(guān)于圓心對稱、鄰邊互相垂直的十字形,其中y>x>0. (Ⅰ)將十字形的面積表示為θ的函數(shù); (Ⅱ)θ為何值時,十字形的面積最大?最大面積是多少? [考場錯解] 設S為十字形的面積,則S=2xy=2sinθ· cosθ=sin2θ(≤θ<). =1,即2θ-=時,S最大.∴當θ=時,S最大, S的最大值為. 解法2 ∵S=2sinθcosθ-cos2θ,∴S′=2cos2θ- 2sin2θ+2sinθ·cosθ=2cos2θ+sin2θ. [專家把

17、脈]∵=3(-cosx).當0<x<時,不一定恒大于0,只有當x∈(arccos)時 才大于0.因而原函數(shù)在(0,)先減后增函數(shù),因而2x與3sinx的大小不確定. (3)設在(0,+∞)的全部極值點按從小到大的順序a1,a2,…,an,…,證明:<an+1-an<π. [考場錯解] (1)證明:由函數(shù)的定義,對任意整數(shù)k,有-=(x+2k 由于+(n-1)π<an<π+(n-1)π,+nπ< an+1<π+nπ,則<an+1-an<π 由于tanan+1·tanan>0,由②式知tan(an-1,-

18、an)< 0.由此可知an+1-an必在第二象限∴<an+1-an<π. [專家把脈]上面解答的錯誤出現(xiàn)在第三小題的證明,設x0是f′(x0)的根,則認為x0是的一個極值點,沒有判斷在(+kπ,x0)和(x0+π+kπ)上的符號是否異號,這顯然是錯誤的. 由sin2x=∴[f(x0)]2= (3)證明:設x0>0是=0的任意正實根,即x0-tanx0,則存在一個非負整數(shù)k,使x0∈(+kπ,π+kπ),即x0在第二或第四象限內(nèi).由①式=cosx(tanx+x)在第二象限或第四象限中的符號可列表如下: X () 的符號 K為奇數(shù) - 0 +

19、 K為偶數(shù) + 0 - 所以滿足=0的正根x0都為f(x)的極值點.由題設條件,a1,a2,…,an…為方程x=-tanx 專家會診 處理與角度有關(guān)的應用問題時,可優(yōu)先考慮三角方法,其一般步驟是:具體設角、構(gòu)造三角函數(shù)模型,通過三角變換來解決.另外,有些代數(shù)問題,可通過三角代換,運用三角知識來求解.有些三角問題,也可轉(zhuǎn)化成代數(shù)函數(shù),利用代數(shù)知識來求解如前面第2、3題. 命題角度4 向量及其運算 1如圖6-1,在 Rt△ABC中,已知BC=a,若長為 2a的線段PQ以點A為中點,問與的夾角θ取何值時.的值最大?并求出這個最大值. [考場錯解]此后有的學生接著對上式進行變形

20、,更多的不知怎樣繼續(xù). [專家把脈] 此題是湖北省20典型例題)已知,|a|=,|b|=3,a與b的夾角為45°,當向量a+λb與λa+b的夾角為銳角時,求實數(shù)A的范圍. [考場錯解] 由已知a·b=|a||b|·cos45°=3,∵a+λb與λa+b的夾角為銳角,∴(a+λb)·(λa+b)>0 即λ|a|2+λ|b|2+(λ2+1)a·b=0,∴2λ+9λ+ 3(λ2+1)>0,解得所述實數(shù)λ的取值范圍是(-∞,,1)∪(1,+∞). 3.已知O為△ABC所在平面內(nèi)一點且滿足,則△AOB與△AOC

21、的面積之比為 ( ) A.1 B. D.2 △AOB的面積與△AOC的面積之比為3:2,選B. (2)不妨設A(0,0),B(1, 0),C(0,1),O(x,y),則由專家會診向量的基本概念是向量的基礎,學習時應注意對向量的夾角、模等概念的理解,不要把向量與實數(shù)胡亂類比;向量的運算包括兩種形式:(1)向量式;(2)坐標式;在學習時不要過分偏重坐標式,有些題目用向量式來進行計算是比較方便的,那么對向量的加、減法法則、定比分點的向量式等內(nèi)容就應重點學習,在應用時不要出錯,解題時應善于將向量用一組基底來表示,要會應用向量共線的充要條件來解題. 命題角度5 平

22、面向量與三角、數(shù)列 1.設函數(shù)f(x)=a·b,其中a=(2cosx,1),b=(cosx,)求x;(2)若函數(shù)y=2sin2x 第(2)問在利用平移公式的時有錯誤. [對癥下藥](1)依題設,f(x)= [專家把脈]向量是一個既有方向又有大小的量,而錯解中只研究大小而不管方向,把向量與實數(shù)混為一談,出現(xiàn)了很多知識性的錯誤. [對癥下藥] (1) 3.在直角坐標平面中,已知點P1(1,2),P2(2,22),P3(3,23)…,Pn(n,2n),其中n是正整數(shù),對平面上任一點Ao,記A1為Ao關(guān)于點P1的對稱點,A2為A1,關(guān)于點P2的

23、對稱點,…,An為An-1關(guān)于點Pn的對稱點. (1)求向量的坐標; [考場錯解] 第(2)問,由(1)知=(2,4),依題意,將曲線C按向量(2,4)平移得到y(tǒng)=f(x)的圖像. ∴y=g(x)=f(x-2)+4. (2)∵={2,4},∴f(x)的圖像由曲線C向右平移2個單位,再向上平移4個單位得到. 因此,曲線C是函數(shù)y=g(x)的圖像,其中g(shù)(x)是以 3為周期的周期函數(shù),且當x∈(-2,1)時,g(x)=1g(x+2)-4,于是,當x∈(1,4)時,g(x)=1g(x-1)-4. 1.(典型例題)已知橢圓的中心在原點,離心率為,一個

24、焦點F(-m,0)(m是大于0的常數(shù).) (1)求橢圓的方程; (2)設Q是橢圓上的一點,且過點F、 Q的直線l與y 軸交于點M,若,求直線l的斜率. [對癥下藥] (1)設所求橢圓方程為1 (a>b>O). 由已知得c=m,故所求的橢圓方程是 (2)設Q(xQ,yQ),直線l的方程為y=k(x+m),則點M(0,km),∵M、Q、F三點共線, [考場錯解] 第(2)問:設P(x,y),M(xo,yo),則N(0,yo) ∴x-xo=-λox,y-yo=λo(yo-y),∴λo=-1. [專家把脈] 對分析不夠,匆忙設坐標進行坐標

25、運算,實際上M、N、P三點共線,它們的縱坐標是相等的,導致后面求出λo=-1是錯誤的. [對癥下藥] (1)解法1:設M(x,y),則C(x,-1+ 即(x,y-1)·(x,y+1)=0,得x2+y2=1,又x≠0,∴M的軌跡方程是:x2+y2=1(x≠0) 解法2:設AC與BD交于E,連結(jié)EM、EO,∵AC+BD,∴∠CED=∠AEB=90°,又M、O分別為CD, AB的中點,∴,又E為分別以AB、CD為直徑的圓的切點,∴O、C、M三點共線,∴ |OM|=|OE|+|AB|=1,∴M在以原點為圓心1為半徑的圓上,軌跡方程為x2+y2=1(x≠0). (2)設

26、P(x,y),則由已知可設M(xo,y),N(0,y),又由 MP=λoPN得(x-xo,0)=λo(-x,0),∴xo=(1+λo)x,又 M在x2+y2=1(x≠0)上,∴P的軌跡方程為(1+λo)2x2+ y2=1(x≠0), [考場錯解] 第(1)問:以AB的中點為坐標原點,以 AB所在的直線為y軸建立直角坐標系,則A(0,1),B(0,—1),設E(0,t),B'(xo,1),則由 y=-t,∴M的軌跡方程為x=x0,y=-t [專家把脈] 對軌跡方程的理解不深刻,x=xo,y=-t不是軌跡方程,究其原因還是題目的已知條件挖掘不夠,本題中||=||是一個很重要的已

27、知條件. F的直線的斜率為k,則方程為y=,P(x1,y1),Q(x2,y2),由得x1=-λx2,聯(lián)立直線方程和C得方程是x2 +4kx-2=0,由-2≤x≤2知上述方程在[-2,2]內(nèi)有兩個解,由;次函數(shù)的圖像知,由x=-λx2可得由韋達定理得8k2=. [考場錯解] (1)設橢圓方程為,F(xiàn)(c,0)聯(lián)立y=x-c與得(a2+b2)x2- 2a2cx+a2c2+a2b2=0,令A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=由(x1+x2,y1+y2), a=(3,-1),與a共線,得x1+x2=3,y1+y2=-1,又(2)證明:由(1)知a2=3b2,所以橢圓可化為

28、x2+32=3b2設(x,y),由已知得(x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2), ∴M(x,y)在橢圓上, ∴(λx1+μx2)23(λy1+μy2)2=3b2. 即λ2()+2λμ(x1x2+2y1y2)= 3b2.① 由(1)知x2+x2=∴ ∴x1x2+3y1y2=x1+x2+3(x1-c)(x2-c) =4x1x2-3(x1+x2)c+3c2==0. 又又,代入①得 λ2+μ2=1.故λ2+μ2為定值,定值為1. 1.在△ABC中,sinA+cosA=AB=3,求tanA的值和△ABC的面積. [專家把脈] 沒有注意到平方是非恒等變形

29、的過程,產(chǎn)生了增根,若A=165°,sinA=此時sinA+cosA=,顯然與sinA+cosA=的已知條件矛盾. [對癥下藥] 解法1.∵sinA=. 2.設P是正方形ABCD內(nèi)部的一點,點P到頂點A、B、C的距離分別為1、2、3,則正方形的邊長是 . . [專家把脈]沒有考慮x的范圍,由于三角形的兩邊之差應小于第三邊,兩邊之和應大于第三邊,∴1<x<3. 專家會診 解三角形的題目,一般是利用正弦定理、余弦定理結(jié)合三角恒等變形來解,要注意角的范圍與三函數(shù)值符號之間的聯(lián)系與影響,注意利用大邊對大角來確定解是否合理,要注意利用△ABC中,A+

30、B+C=π,以及由此推得一些基本關(guān)系式sin(B+C)=cisA,cos(B+C)=-cosA,sin等,進行三角變換的運用,判斷三角形的形狀,必須從研究三角形的邊與邊的關(guān)系,或角與角的關(guān)系入手,。要充分利用正弦定理,余弦定理進行邊角轉(zhuǎn)換. 四、典型習題導練 1、在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知B=60°.(Ⅰ)若cos(B+C)=-,求cosC的值;(Ⅱ)若a=5,·=5,求△ABC的面積. 解:(Ⅰ)在△ABC中,由cos(B+C)=-,得sin(B+C)===, ∴cosC=cos[(B+C)-B]=cos(B+C) cosB+sin(B

31、+C) sinB =-×+×=.…………(6分) 將①代入②,得bsinC=6,故△ABC的面積為S=absinC=×5×6=15.…(12分) 2、在中,角所對的邊分別為,且成等差數(shù)列. 又,故因此......12分 3、如圖,在中,是斜邊上一點,且,記. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若,求的大小. 解:(Ⅰ)由題意知:,. 又,可得. ----2分 . ----6分 (Ⅱ)由正弦定理知: ---8分 由(Ⅰ)知解:(Ⅰ).…4分 由,得(). 5、設函數(shù).求的最小正周期;已知分別是的內(nèi)角所對的邊,,為銳角,且是函數(shù)在上

32、的最大值,求 解:(1)………2分 4分…5分∴最小正周期 …6分 (2)由(1)知當時, ………7分 (2)若為第二象限角,且,求的值. 解: (1)∵……1分 ,………2分 又∵為第二象限角,所以 .…11分 ∴原式 ………12分 7、己知函數(shù)(1)求函數(shù)的最小正周期。(2)記△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c,若,、b=1、c=,求a的值. 解:(1) 所以函數(shù)的最小正周期為. ……6分 (2)由,得,即. 點的坐標分別為,(Ⅰ).求和的值; (Ⅱ)已知,且, 求的值. …… 11分 . …… 12分 9

33、、已知函數(shù),若的最大值為1(1)求的值,并求的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在中,角、、的對邊、、,若,且,試判斷三角形的形狀. 解:(1) ……………3分 由得 …………5分 時, 舍去, …………7分 (2)…………10分 11、如圖,位于處的信息中心獲悉:在其正東方向相距海里的處有一艘漁船遇險,在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西且相距海里的處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線前往處救援.⑴求線段的長度及的值; 40 東 300 A B 20 北 C ⑵求的值. 解:⑴如圖所示,在中,, .

34、 ……3分 . ……6分 ⑵,.……9分 ,. ……12分 12、如圖4,某測量人員,為了測量西江北岸不能到達的兩點A,B之間的距離,她在西江南岸找到一個點C,從C點可以觀察到點A,B;找到一個點D,從D點可以觀察到點A,C;找到一個點E,從E點可以觀察到點B,C;并測量得到數(shù)據(jù):, ,,, ,DC=CE=1(百米). (1)求DCDE的面積;(2)求A,B之間的距離. 解:(1)連結(jié)DE,在DCDE中,,(1分) (9分) 在DABC中,由余弦定理 (10分) 可得 (11分) 解:(I) 1分 又即 3分 又或 由

35、余弦定理得 6分 (Ⅱ)== 8分 =10分原式= 12分 14、如圖,在平面四邊形ABCD中,AB=AD=2,是正三角形.(1)將四邊形ABCD的面積表示為的函數(shù); (Ⅱ)求的最大值及此時的值. 解:(Ⅰ)由余弦定理得 …4分…5分 (Ⅱ)求的最大值,并求取得最大值時A,B的大小. (Ⅰ),…………..4分 ……..13分 16、已知函數(shù).(Ⅰ)若,求的值; (Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是,且滿足,求的取值范圍. 解:(Ⅰ)由題意得:…3分 ……13分 17、已知向量.(I )當m//n時,求的值;

36、(II)已知在銳角ΔABC中,a, b, c分別為角A,B,C的對邊,,函數(shù),求的取值范圍. 解:(I)由m//n,可得3sinx=-cosx,于是tanx=. ∴ .…………4分 (II)∵在△ABC中,A+B=-C,于是, 由正弦定理知:,∴,可解得.………6分 即.…………12分 18、在△中,向量,向量,且滿足 . (9分) 因為,所以,即,即 所以,即的取值范圍是. (12分) 19、在中,角A、B、C的對邊分別為,且滿足 (1)求角B的大小;(2)若,求面積的最大值. 解:(1)條件可化為:.根據(jù)正弦定理有 . ∴, 有基本不等式可知. 即,故△ABC的面積. 即當a =c=時,△ABC的面積的最大值為.… 14分 解:(Ⅰ)…2分 (Ⅱ)由條件知所以, 所以因為,所以即 , 于是………10分 ,得 ……………12分 ∴ ,即………………14分

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