高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程章末檢測 新人教A版選修11

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1、（人教版）精品數(shù)學(xué)教學(xué)資料高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程章末檢測 新人教 A 版選修 1-1一、選擇題(本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分)1(2014青島質(zhì)檢)雙曲線x24y251 的漸近線方程為(B)Ay54xBy52xCy55xDy2 55x解析：由題意得雙曲線x24y251 的漸近線方程為x24y250，即y52x，故選 B.2已知雙曲線x2a2y2b21 的一條漸近線方程為y43x，則雙曲線的離心率為(A)A.53B.43C.54D.32解析：由ba43，得b43a.平方得b2169a2.又b2c2a2.代入，解得ca53.3(2014浙江質(zhì)檢)橢圓x2my21 的

2、焦點在y軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則m的值為(A)A.14B.12C2D4解析：由橢圓x2my21，得x2y21m1，焦點在y軸上，長軸長是短軸長的兩倍，21m1，解得m14.4若拋物線y22px的焦點與橢圓x216y2121 的左焦點重合，則p的值為(D)A2B2C4D6解析：橢圓的左焦點為(2，0)，拋物線的焦點為p2，0，p23，p6.5設(shè)O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線y24x的焦點，A是拋物線上一點，若OAAF4，則點A的坐標(biāo)是(B)A(2，2 2)B(1，2)C(1，2)D(2，2 2)解析：F(1，0)，設(shè)A(x0，y0)是拋物線上一點，則有y204x0.又OAAF4，(x0，y0)(

3、1x0，y0)4，化簡得，x203x040.解得x01，x04(舍去)將x01 代入拋物線方程，得y02.6曲線x210my26m1(m6)與曲線x25my29m1(5m9)的(A)A焦距相等B離心率相等C焦點相同D準(zhǔn)線相同解析：m6，曲線x210my26m1 為焦點在x軸上的橢圓c2(10m)(6m)4，c2，2c4.又 5m9，曲線x25my29m1 為焦點在y軸上的雙曲線，即y29mx2m51.c2(9m)(m5)4，c2，2c4.7(2014東三省四市聯(lián)考)以橢圓x28y251 的焦點為頂點，以橢圓的頂點為焦點的雙曲線的漸近線方程為(D)Ay35xBy53xCy155xDy153x解析

4、：依題意得雙曲線的實軸為 2a2 852 3，焦距 2c2 84 2，bc2a283 5，因此該雙曲線漸近線方程是ybax153x，故選 D.8雙曲線mx2y21 的虛軸長是實軸長的 2 倍，則m為(A)A14B4C4D.14解析：將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得y21x21m1.a21，b21m.根據(jù)題意，得 2b22a.即 21m4.m14.9已知兩點M(2，0)、N(2，0)，點P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動點，滿足|MN|MP|MNPN0，則動點P(x，y)的軌跡方程為(B)Ay28xBy28xCy24xDy24x解析：設(shè)點P(x，y)，|MN|4，|MP| （x2）2y2，又MNPN(4，0)(2x

5、，y)4(2x)，4 （x2）2y24(2x)，化簡得，y28x.10已知雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為 60的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是(C)A(1，2)B(1，2)C2，)D(2，)解析：雙曲線的漸近線方程為ybax，又傾斜角為 60的直線的斜率為 3，所以根據(jù)題意，得ba 3，即b 3a.兩邊平方得，b23a2.又b2c2a2，ca2.二、填空題(本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分)11已知雙曲線中心在原點，一個焦點的坐標(biāo)為(3，0)，且焦距與虛軸長之比為 54，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_解析：可知焦

6、點在x軸上，c3，又 2c2b54，5b4c12，b125.根據(jù)a2c2b2912528125，故所求的雙曲線方程為x28125y2144251.答案：x28125y214425112已知拋物線C的頂點為原點，焦點在x軸上，直線yx與拋物線C交于A，B兩點，若P(2，2)為AB的中點，則拋物線C的方程為_解析：設(shè)拋物線為y2kx，與yx聯(lián)立方程組，消去y，得：x2kx0，x1x2k22，故y24x.答案：y24x13(2014郴州二監(jiān))過拋物線y24x焦點的直線交拋物線于A，B兩點，若|AB|10，則AB的中點P到y(tǒng)軸的距離等于_解析：拋物線y24x焦點為E(1，0)，準(zhǔn)線為x1，過點A，B，

7、P分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點C，D，F(xiàn)，PF交y軸于點H，如圖所示，則PF為直角梯形ABCD的中位線，|PF|AC|BD|2|AE|BE|2|AB|25，故|PH|PF|14，即AB的中點P到y(tǒng)軸的距離等于4.14.ax2by21 與直線yx1 交于A、B兩點，過原點與線段AB中點的直線斜率為22，則ab_解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則ax21by211，ax22by221，可得：a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0，從而得ab（y1y2）（y1y2）（x1x2）（x1x2）(1)2222.答案：22三、解答題(本大題共 6 小題，共 80 分)15.(1

8、2 分)已知A(2，0)、定圓M：(x2)2y225，P是圓上的動點，線段AP的垂直平分線交MP于Q，求Q的軌跡方程解析：如圖，|QP|QA|，|QM|QA|QM|QP|MP|5.動點Q的軌跡是橢圓，又2a5，c2，b2a2c294，Q的軌跡方程為x2254y2941.16(12 分)已知拋物線的頂點在原點，它的準(zhǔn)線過雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的一個焦點，并且這條準(zhǔn)線與雙曲線的兩焦點的連線垂直，拋物線與雙曲線交于點P32， 6，求拋物線的方程和雙曲線的方程解析：依題意，設(shè)拋物線的方程為y22px(p0)，點P32， 6在拋物線上62p32.p2，所求拋物線的方程為y24x.雙曲線的

9、左焦點在拋物線的準(zhǔn)線x1 上，c1，即a2b21，又點P32， 6在雙曲線上，94a26b21，解方程組a2b21，94a26b21，得a214，b234，或a29b28，(舍去)所求雙曲線的方程為 4x243y21.17 (14 分)已知拋物線方程為y22x， 在y軸上截距為 2 的直線l與拋物線交于M，N兩點，O為坐標(biāo)原點若OMON，求直線l的方程解析：設(shè)直線l的方程為ykx2，由y22x，ykx2，消去x得ky22y40.直線l與拋物線相交，k0，416k0，解得k14且k0.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1y24k，從而x1x2y212y2224k2.OMON，x1x2y1

10、y20，即4k24k0，解得k1 符合題意，直線l的方程為yx2.18(14 分)已知橢圓x24y291 及直線l：y32xm，(1)當(dāng)直線l與該橢圓有公共點時，求實數(shù)m的取值范圍；(2)求直線l被此橢圓截得的弦長的最大值解析：(1)由y32xm，x24y291，消去y，并整理得9x26mx2m280.上面方程的判別式36m236(2m28)36(m28)直線l與橢圓有公共點，0，據(jù)此可解得2 2m2 2.故所求實數(shù)m的取值范圍為2 2，2 2(2)設(shè)直線l與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得：x1x26m9，x1x22m289，故|AB| 1k2（x1x2）24x1x213

11、226m9242m289133m28.當(dāng)m0 時，直線l被橢圓截得的弦長的最大值為2 263.19(2014海淀二模)(14 分)已知橢圓G的離心率為22，其短軸兩端點為A(0，1)，B(0，1)(1)求橢圓G的方程；(2)若C、D是橢圓G上關(guān)于y軸對稱的兩個不同點，直線AC，BD與x軸分別交于點M，N，判斷以MN為直徑的圓是否過點A，并說明理由解析：(1)由已知可設(shè)橢圓G的方程為x2a2y211(a1)由e22得e2a21a212，解得a22，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22y211.(2)設(shè)C(x0，y0)，且x00，則D(x0，y0)因為A(0，1)，B(0，1)，所以直線AC的方程為yy01

12、x0 x1.令y0，得xMx0y01，所以Mx0y01，0.同理直線BD的方程為yy01x0 x1，求得Nx0y01，0.AMx01y0，1，ANx01y0，1，所以AMANx201y201，由C(x0，y0)在橢圓G：x22y21 上，所以x202(1y20)，所以AMAN10，所以MAN90，所以以線段MN為直徑的圓不過點A.20(14 分)(2014東三省四市聯(lián)考)已知圓M和圓P：x2y22 2x100 相內(nèi)切，且過定點Q( 2，0)(1)求動圓圓心M的軌跡方程；(2)不垂直于坐標(biāo)軸的直線l與動圓圓心M的軌跡交于A，B兩點，且線段AB的垂直平分線經(jīng)過點0，12 ，求AOB(O為原點)面積

13、的最大值解析：(1)由已知|MP|2 3|MQ|，即|MP|MQ|2 3，且 23大于|PQ|，所以M的軌跡是以( 2，0)，( 2，0)為焦點，23為長軸長的橢圓，即其方程為x23y21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)且過AB的直線l的方程為ykxt，代入橢圓方程得(3k21)x26ktx3t230，因為方程有兩個不同的解，所以4(9k233t2)0，即 3k21t2，又因為x1x26kt3k21，所以x1x223kt3k21，y1y22t3k21，所以y1y2212x1x2201k，化簡得到 3k214t，綜合得 0t4，又 原 點 到 直 線 的 距 離 為d|t|k21，

14、|AB| 1k2|x1x2| 1k24（9k233t2）3k21，化簡得SABO143（4tt2），所以當(dāng)t2，即k73時，SAOB取最大值32.一、選擇題(本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的)1橢圓x24y21 的兩個焦點為F1、F2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個交點為P，則|PF2| (C)A.32B. 3C.72D42拋物線的頂點和橢圓x225y291 的中心重合，拋物線的焦點和橢圓x225y291 的右焦點重合，則拋物線的方程為(A)Ay216xBy28xCy212xDy26x3雙曲線x2y2m1 的離心率大于

15、2的充分必要條件是(C)Am12Bm1Cm1Dm2解析：由e2ca21m11m2，m1.4已知雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的一條漸近線方程是y 3x，它的一個焦點在拋物線y224x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為(B)A.x236y21081B.x29y2271C.x2108y2361D.x227y291解析：本題主要考查雙曲線與拋物線的幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于容易題依題意知ba 3，c6，c2a2b2，a29，b227，所以雙曲線的方程為x29y2271.5(2013惠州一調(diào))已知實數(shù) 4，m，9 構(gòu)成一個等比數(shù)列，則圓錐曲線x2my21 的離心率為(C)A.306B. 7C.306或

16、7D.56或 7解析：因 4，m，9 成等比數(shù)列，則m236，m6.當(dāng)m6 時圓錐曲線為橢圓x26y21，其離心率為306；當(dāng)m6 時圓錐曲線為雙曲線y2x261，其離心率為 7，故選 C.6在y2x2上有一點P，它到A(1，3)的距離與它到焦點的距離之和最小，則點P的坐標(biāo)是(B)A(2，1)B(1，2)C(2，1)D(1，2)解析：如圖所示，直線l為拋物線y2x2的準(zhǔn)線，F(xiàn)為其焦點，PNl，AN1l，由拋物線的定義知，|PF|PN|，|AP|PF|AP|PN|AN1|，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，N三點共線時取等號，P點的橫坐標(biāo)與A點的橫坐標(biāo)相同即為 1，則可排除 A、C、D 項，故選 B.7已知F1(

17、1，0)，F(xiàn)2(1，0)是橢圓C的兩個焦點，過F2且垂直x軸的直線交C于A，B兩點，且|AB|3，則C的方程為(C)A.x22y21B.x23y221C.x24y231D.x25y241解析：依題意可設(shè)橢圓的方程為x2a2y2b21(ab0)，則A1，b2a，B1，b2a，又|AB|b2ab2a2b2a3，2b23a.又a2b2c21，a2，b 3.故C的方程為x24y231.8(2013新課標(biāo)全國卷)O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線C：y24 2x的焦點，P為C上一點，若|PF|4 2，則POF的面積為(C)A2B2 2C2 3D4解析：設(shè)P(a，b)為拋物線上在第一象限內(nèi)的點，則a 24 2，得a

18、3 2，因為點P(a，b)在拋物線上，所以b2 6，所以SPOF12 22 62 3，故選 C.9動圓的圓心在拋物線y28x上，且動圓恒與直線x20 相切，則動圓必過點(B)A(4，0)B(2，0)C(0，2)D(0，2)解析：直線x20 是拋物線的準(zhǔn)線，又動圓圓心在拋物線上，由拋物線的定義知，動圓必過拋物線的焦點(2，0)10 已知F是拋物線y14x2的焦點，P是該拋物線上的動點， 則線段PF中點的軌跡方程是(C)Ax2y12Bx22y116Cx22y1Dx22y2解析：由y14x2x24y，焦點F(0，1)，設(shè)PF中點Q(x，y)、P(x0，y0)，則2x0 x0，2y1y0，4y0 x2

19、0，x22y1.11橢圓x225y291 上一點P到兩焦點的距離之積為m，則m取最大值時，P點坐標(biāo)是(C)A(5，0)或(5，0)B.52，3 32或52，3 32C(0，3)或(0，3)D.5 32，32 或5 32，32解析：|PF1|PF2|2a10，|PF1|PF2|PF1|PF2|2225.當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|PF2|5 時，取得最大值，此時P點是短軸端點，故選 C.12已知F1，F(xiàn)2是雙曲線x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點，P為雙曲線左支上一點，若|PF2|2|PF1|的最小值為 8a，則該雙曲線的離心率的取值范圍是(C)A(1，3)B(1，2)C(1，3D(1，2解析：|P

20、F2|2|PF1|（|PF1|2a）2|PF1|PF1|4a2|PF1|4a8a，當(dāng)|PF1|4a2|PF1|，即|PF1|2a時取等號又|PF1|ca，2aca.c3a，即e3.雙曲線的離心率的取值范圍是(1，3二、填空題(本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分將正確答案填在題中的橫線上)13 拋物線y28x上一個點P(P在x軸上方)到焦點的距離是8， 此時P點的坐標(biāo)是_答案：(6，4 3)14與橢圓x24y231 具有相同的離心率且過點(2，3)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_答案：x28y261 或3y2254x225115 若直線y32x與雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的交點在實

21、軸上的射影恰好為雙曲線的焦點，則雙曲線的離心率是_答案：216 拋 物 線y2x上 存 在 兩 點 關(guān) 于 直 線ym(x 3) 對 稱 ， 則m的 范 圍 是_解析：設(shè)拋物線上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)關(guān)于直線ym(x3)對稱，A，B中點M(x，y)，則當(dāng)m0 時，有直線y0，顯然存在點關(guān)于它對稱當(dāng)m0 時，y21x1，y22x2y1y2x1x21y1y212y1m，所以ym2，所以M的坐標(biāo)為(52，m2)，M在拋物線內(nèi)，則有52(m2)2，得 10m 10且m0，綜上所述，m( 10， 10)答案：( 10， 10)三、解答題(本大題共 6 小題，共 70 分.解答應(yīng)寫出必要的

22、文字說明、證明過程或演算步驟)17(10 分)求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點在x軸上，虛軸長為 12，離心率為54；(2)頂點間的距離為 6，漸近線方程為y32x.解析：(1)焦點在x軸上，設(shè)所求雙曲線的方程為x2a2y2b21.由題意，得2b12，ca54，b2c2a2.解得a8，b6，c10.所以焦點在x軸上的雙曲線的方程為x264y2361.(2)當(dāng)焦點在x軸上時，設(shè)所求雙曲線的方程為x2a2y2b21由題意，得2a6，ba32.解得a3，b92.所以焦點在x軸上的雙曲線的方程為x29y28141.同理可求當(dāng)焦點在y軸上雙曲線的方程為y29x241.故所求雙曲線的方程為x2

23、9y28141 或y29x241.18(12 分) 已知橢圓C的焦點F1(2 2，0)和F2(2 2，0)，長軸長為 6，設(shè)直線yx2交橢圓C于A、B兩點，求線段AB的中點坐標(biāo)解析：由已知條件得橢圓的焦點在x軸上，其中c2 2，a3，從而b1，所以其標(biāo)準(zhǔn)方程是x29y21.聯(lián)立方程組x29y21，yx2，消去y得，10 x236x270.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB線段的中點為M(x0，y0)，那么：x1x2185，x0 x1x2295.所以y0 x0215.也就是說線段AB的中點坐標(biāo)為95，15 .19 (12 分)中心在原點， 焦點在x軸上的一個橢圓與一雙曲線有共同的焦點F1

24、，F(xiàn)2， 且|F1F2|2 13，橢圓的長半軸與雙曲線的實半軸之差為 4，離心率之比為 37.求這兩條曲線的方程解析：設(shè)橢圓的方程為x2a21y2b211，雙曲線的方程為x2a22y2b221，半焦距c 13，由已知得：a1a24，ca1ca237，解得：a17，a23.所以：b2136，b224，故所求兩條曲線的方程分別為：x249y2361 ，x29y241.20. (12 分)已知動點P與平面上兩定點A( 2，0)、B( 2，0)連線的斜率的積為定值12.(1)試求動點P的軌跡方程C；(2)設(shè)直線l：ykx1 與曲線C交于M、N兩點，當(dāng)|MN|4 23時，求直線l的方程解析：(1)設(shè)點P

25、(x，y)，則依題意有yx 2yx 212，整理得x22y21.由于x 2，所以求得的曲線C的方程為x22y21(x 2)(2)聯(lián)立方程組x22y21，ykx1，消去y得：(12k2)x24kx0.解得x10,x24k12k2(x1，x2分別為M，N的橫坐標(biāo))由|MN| 1k2|x1x2| 1k2|4k12k2|432，解得：k1.所以直線l的方程xy10 或xy10.21(12 分)設(shè)橢圓C1：x2a2y2b21(ab0)，拋物線C2：x2byb2.(1)若C2經(jīng)過C1的兩個焦點，求C1的離心率；(2)設(shè)A(0，b)，Q3 3，54b，又M，N為C1與C2不在y軸上的兩個交點，若AMN的垂心

26、為B0，34b，且QMN的重心在C2上，求橢圓C1和拋物線C2的方程解析：(1)由已知橢圓焦點(c，0)在拋物線上，可得c2b2，由a2b2c22c2，有c2a212e22.(2)由題設(shè)可知M、N關(guān)于y軸對稱，設(shè)M(x1，y1)，N(x1，y1)(x10)，由AMN的垂心為B，有BMAN0 x21y134b(y1b)0由點N(x1，y1)在拋物線上，x21by1b2，解得y1b4，或y1b(舍去)，故x152b，M52b，b4 ，N52b，b4 ，得QMN重心坐標(biāo)3，b4 .由重心在拋物線上得 3b24b2，b2，M 5，12 ，N5，12 ，又M，N在橢圓上，得a2163，橢圓方程為x216

27、3y241，拋物線方程為x22y4.22(12 分)已知橢圓x2a2y2b21(ab0)的離心率e63.過點A(0，b)和B(a，0)的直線與原點的距離為32.(1)求橢圓的方程；(2)已知定點E(1，0)，若直線ykx2(k0)與橢圓交于C，D兩點，問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點，請說明理由解析：(1)直線AB方程為：bxayab0.依題意ca63，aba2b232，解得a 3，b1.橢圓方程為x23y21.(2)假若存在這樣的k值，由ykx2，x23y230，得(13k2)x212kx90.(12k)236(13k2)0.設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，則x1x212k13k2，x1x2913k2.而y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4.要使以CD為直徑的圓過點E(1，0)，當(dāng)且僅當(dāng)CEDE時，則y1x11y2x211.即y1y2(x11)(x21)0.(k21)x1x2(2k1)(x1x2)50.將式代入整理解得k76.經(jīng)驗證k76使成立綜上可知，存在k76，使得以CD為直徑的圓過點E.