高考數(shù)學理科一輪【學案10】函數(shù)的圖象含答案
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1、學案10 函數(shù)的圖象 導學目標: 1.掌握作函數(shù)圖象的兩種基本方法:描點法,圖象變換法.2.掌握圖象變換的規(guī)律,能利用圖象研究函數(shù)的性質. 自主梳理 1.應掌握的基本函數(shù)的圖象有:一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等. 2.利用描點法作圖:①確定函數(shù)的定義域;②化簡函數(shù)的解析式;③討論函數(shù)的性質(__________、__________、__________);④畫出函數(shù)的圖象. 3.利用基本函數(shù)圖象的變換作圖: (1)平移變換:函數(shù)y=f(x+a)的圖象可由y=f(x)的圖象向____(a>0)或向____(a<0)平移____個單位得到;函數(shù)y=f(x)+a的
2、圖象可由函數(shù)y=f(x)的圖象向____(a>0)或向____(a<0)平移____個單位得到. (2)伸縮變換:函數(shù)y=f(ax) (a>0)的圖象可由y=f(x)的圖象沿x軸伸長(00)的圖象可由函數(shù)y=f(x)的圖象沿y軸伸長(____)或縮短(________)為原來的____倍得到.(可以結合三角函數(shù)中的圖象變換加以理解) (3)對稱變換:①奇函數(shù)的圖象關于________對稱;偶函數(shù)的圖象關于____軸對稱; ②f(x)與f(-x)的圖象關于____軸對稱; ③f(x)與-f(x)的圖象關于____軸對稱
3、; ④f(x)與-f(-x)的圖象關于________對稱; ⑤f(x)與f(2a-x)的圖象關于直線________對稱; ⑥曲線f(x,y)=0與曲線f(2a-x,2b-y)=0關于點________對稱; ⑦|f(x)|的圖象先保留f(x)原來在x軸________的圖象,作出x軸下方的圖象關于x軸的對稱圖形,然后擦去x軸下方的圖象得到; ⑧f(|x|)的圖象先保留f(x)在y軸________的圖象,擦去y軸左方的圖象,然后作出y軸右方的圖象關于y軸的對稱圖形得到. 自我檢測 1.(2009北京)為了得到函數(shù)y=lg的圖象,只需把函數(shù)y=lg x的圖象上所有的點( )
4、 A.向左平移3個單位長度,再向上平移1個單位長度 B.向右平移3個單位長度,再向上平移1個單位長度 C.向左平移3個單位長度,再向下平移1個單位長度 D.向右平移3個單位長度,再向下平移1個單位長度 2.(2011煙臺模擬)已知圖1是函數(shù)y=f(x)的圖象,則圖2中的圖象對應的函數(shù)可能是 ( ) A.y=f(|x|) B.y=|f(x)| C.y=f(-|x|) D.y=-f(-|x|) 3.函數(shù)f(x)=-x的圖象關于 ( ) A.y軸對稱 B.
5、直線y=-x對稱
C.坐標原點對稱 D.直線y=x對稱
4.使log2(-x)
6、1 作函數(shù)y=的圖象. 探究點二 識圖 例2 (1)函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)的圖象如圖, 則函數(shù)y=f(x)g(x)的圖象可能是 ( ) (2)已知y=f(x)的圖象如圖所示,則y=f(1-x)的圖象為 ( ) 變式遷移2 (1)(2010山東)函數(shù)y=2x-x2的圖象大致是 ( ) (2)函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)的解析式是
7、 ( ) A.f(x)=x+sin x B.f(x)= C.f(x)=xcos x D.f(x)=x(x-)(x-) 探究點三 圖象的應用 例3 若關于x的方程|x2-4x+3|-a=x至少有三個不相等的實數(shù)根,試求實數(shù)a的取值范圍. 變式遷移3 (2010全國Ⅰ)直線y=1與曲線y=x2-|x|+a有四個交點,則a的取值范圍是________. 數(shù)形結合思想的應用 例 (5分)(2010北京東城區(qū)一模)定義在R上的函數(shù)y=f(x)是減函數(shù),且函數(shù)y=f(x-1)的圖象關于(1,0)成中心對稱,若s,t滿足不等式f(s2-2s)≤-f(2
8、t-t2).則當1≤s≤4時,的取值范圍是 ( ) A. B. C. D. 【答題模板】 答案 D 解析 因函數(shù)y=f(x-1)的圖象關于(1,0)成中心對稱,所以該函數(shù)的圖象向左平移一個單位后的解析式為y=f(x),即y=f(x)的圖象關于(0,0)對稱,所以y=f(x)是奇函數(shù).又y=f(x)是R上的減函數(shù),所以s2-2s≥t2-2t,令y=x2-2x=(x-1)2-1, 圖象的對稱軸為x=1, 當1≤s≤4時,要使s2-2s≥t2-2t,即s-1≥|t-1|, 當t≥1時,有s≥t≥1,所以≤≤1; 當t<1時,
9、 即s-1≥1-t,即s+t≥2, 問題轉化成了線性規(guī)劃問題,畫出由1≤s≤4,t<1,s+t≥2組成的不等式組的可行域.為可行域內的點到原點連線的斜率,易知-≤<1.綜上可知選D. 【突破思維障礙】 當s,t位于對稱軸x=1的兩邊時,如何由s2-2s≥t2-2t判斷s,t之間的關系式,這時s,t與對稱軸x=1的距離的遠近決定著不等式s2-2s≥t2-2t成立與否,通過數(shù)形結合判斷出關系式s-1≥1-t,從而得出s+t≥2,此時有一個隱含條件為t<1,再結合1≤s≤4及要求的式子的取值范圍就能聯(lián)想起線性規(guī)劃,從而突破了難點.要畫出s,t所在區(qū)域時,要結合的幾何意義為點(s,t)和原點連
10、線的斜率,確定s為橫軸,t為縱軸. 【易錯點剖析】 當?shù)玫讲坏仁絪2-2s≥t2-2t后,如果沒有函數(shù)的思想將無法繼續(xù)求解,得到二次函數(shù)后也容易只考慮s,t都在二次函數(shù)y=x2-2x的增區(qū)間[1,+∞)內,忽略考慮s,t在二次函數(shù)對稱軸兩邊的情況,考慮了s,t在對稱軸的兩邊,也容易漏掉隱含條件t<1及聯(lián)想不起來線性規(guī)劃. 1.掌握作函數(shù)圖象的兩種基本方法(描點法,圖象變換法),在畫函數(shù)圖象時,要特別注意到用函數(shù)的性質(如單調性、奇偶性等)解決問題. 2.合理處理識圖題與用圖題 (1)識圖.對于給定函數(shù)的圖象,要能從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、
11、值域、單調性、奇偶性、周期性. (2)用圖.函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質,為研究數(shù)量關系問題提供了“形”的直觀性,它是探求解題途徑,獲得問題結果的重要工具,要重視數(shù)形結合解題的思想方法,常用函數(shù)圖象研究含參數(shù)的方程或不等式解集的情況. (滿分:75分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.(2010重慶)函數(shù)f(x)=的圖象 ( ) A.關于原點對稱 B.關于直線y=x對稱 C.關于x軸對稱 D.關于y軸對稱 2.(2010湖南)用min{a,b}表示a,b兩數(shù)中的最小值.若函數(shù)f(x)=min{|x|,|x+t|}的圖象關于直線x=-
12、對稱,則t的值為 ( ) A.-2 B.2 C.-1 D.1 3.(2011北京海淀區(qū)模擬)在同一坐標系中畫出函數(shù)y=logax,y=ax,y=x+a的圖象,可能正確的是 ( ) 4.(2011深圳模擬)若函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=-f(x+1)的圖象大致為 ( ) 5.設b>0,二次函數(shù)y=ax2+bx+a2-1的圖象為下列之一,則a的值為 ( ) A.1 B.-1 C. D. 題號 1 2 3 4 5 答案 二、
13、填空題(每小題4分,共12分) 6.為了得到函數(shù)y=3()x的圖象,可以把函數(shù)y=()x的圖象向________平移________個單位長度. 7.(2011黃山月考)函數(shù)f(x)=的圖象對稱中心是________. 8.(2011沈陽調研)如下圖所示,向高為H的水瓶A、B、C、D同時以等速注水,注滿為止. (1)若水量V與水深h函數(shù)圖象是下圖的(a),則水瓶的形狀是________; (2)若水深h與注水時間t的函數(shù)圖象是下圖的(b),則水瓶的形狀是________. (3)若注水時間t與水深h的函數(shù)圖象是下圖的(c),則水瓶的形狀是________; (4)若水深h
14、與注水時間t的函數(shù)的圖象是圖中的(d),則水瓶的形狀是________.
三、解答題(共38分)
9.(12分)已知函數(shù)f(x)=x|m-x|(x∈R),且f(4)=0.
(1)求實數(shù)m的值;
(2)作出函數(shù)f(x)的圖象;
(3)根據(jù)圖象指出f(x)的單調遞減區(qū)間;
(4)根據(jù)圖象寫出不等式f(x)>0的解集;
(5)求當x∈[1,5)時函數(shù)的值域.
10.(12分)(2011三明模擬)當x∈(1,2)時,不等式(x-1)2 15、(x>0).
(1)若g(x)=m有根,求m的取值范圍;
(2)確定m的取值范圍,使得g(x)-f(x)=0有兩個相異實根.
答案 自主梳理
2.③奇偶性 單調性 周期性 3.(1)左 右 |a| 上 下 |a| (2)a>1 a>1 0
16、)=-+x=-=-f(x),
∴f(x)是奇函數(shù),即f(x)的圖象關于原點對稱.]
4.A [作出y=log2(-x),y=x+1的圖象知滿足條件的x∈(-1,0).]
5.B [由f(4)g(-4)<0得a2loga4<0,∴00的部分關于y軸的對稱部分,
即得y=|x|的圖象.
變式遷移1 解 定義域是{x|x∈R且x≠1},且函數(shù)是偶函數(shù).
又當x≥0且x≠1時,y 17、=.
先作函數(shù)y=的圖象,并將圖象向右平移1個單位,得到函數(shù)y= (x≥0且x≠1)的圖象(如圖(a)所示).
又函數(shù)是偶函數(shù),作關于y軸對稱圖象,
得y=的圖象(如圖(b)所示).
例2 解題導引 對于給定的函數(shù)的圖象,要能從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性,注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關系.
(1)A[從f(x)、g(x)的圖象可知它們分別為偶函數(shù)、奇函數(shù),故f(x)g(x)是奇函數(shù),排除B.又x<0時,g(x)為增函數(shù)且為正值,f(x)也是增函數(shù),故f(x)g(x)為增函數(shù),且正負取決于f(x)的正負,注意到 18、x→(從小于0趨向于0),f(x)g(x)→+∞,可排除C、D.](2)A[因為f(1-x)=f(-(x-1)),故y=f(1-x)的圖象可以由y=f(x)的圖象按照如下變換得到:先將y=f(x)的圖象關于y軸翻折,得y=f(-x)的圖象,然后將y=f(-x)的圖象向右平移一個單位,即得y=f(-x+1)的圖象.]
變式遷移2 (1)A [考查函數(shù)y=2x與y=x2的圖象可知:
當x<0時,方程2x-x2=0僅有一個零點,
且→-∞;
當x>0時,方程2x-x2=0有兩個零點2和4,
且→+∞.]
(2)C [由圖象知f(x)為奇函數(shù),排除D;
又0,,π為方程f(x)= 19、0的根,故選C.]
例3 解題導引 原方程重新整理為|x2-4x+3|=x+a,將兩邊分別設成一個函數(shù)并作出它們的圖象,即求兩圖象至少有三個交點時a的取值范圍.
方程的根的個數(shù)問題轉化為函數(shù)圖象交點個數(shù)問題,體現(xiàn)了《考綱》中函數(shù)與方程的重要思想方法.
解 原方程變形為|x2-4x+3|=x+a,于是,設y=|x2-4x+3|,y=x+a,在同一坐標系下分別作出它們的圖象.如圖.則當直線y=x+a過點(1,0)時a=-1;當直線y=x+a與拋物線y=-x2+4x-3相切時,由,得,x2-3x+a+3=0,
由Δ=9-4(3+a)=0,得a=-.
由圖象知當a∈[-1,-]時 20、方程至少有三個根.
變式遷移3 (1,)
解析 y=x2-|x|+a=
當其圖象如圖所示時滿足題意.
由圖知解得1
21、5.B [∵b>0,∴前兩個圖象不是給出的二次函數(shù)圖象,又后兩個圖象的對稱軸都在y軸右邊,∴->0,∴a<0,又∵圖象過原點,∴a2-1=0,∴a=-1.]
6.右 1
解析 ∵y=3()x=()x-1,
∴y=()x向右平移1個單位便得到y(tǒng)=()x-1.
7.(-1,2)
解析 ∵f(x)===2-,
∴函數(shù)f(x)圖象的對稱中心為(-1,2).
8.(1)A (2)D (3)B (4)C
9.解 (1)∵f(4)=0,∴4|m-4|=0,即m=4.…………………………………………(2分)
(2)f(x)=x|x-4|
=………………………………………………(4分)
22、
f(x)的圖象如右圖所示.
(3)由圖可知,f(x)的減區(qū)間是[2,4].……………………………………………………(8分)
(4)由圖象可知f(x)>0的解集為
{x|0 23、ax的下方即可.
當01時,如圖,要使在(1,2)上,f1(x)=(x-1)2的圖象在f2(x)=logax的下方,只需f1(2)≤f2(2),
即(2-1)2≤loga2,loga2≥1,……………………………………………………………(10分)
∴10,∴g(x)=x+≥2=2e,
等號成立的條件是x=e.
故g(x)的值域是[2e,+∞),…………………………………………………… 24、………(4分)
因而只需m≥2e,則g(x)=m就有根.…………………………………………………(6分)
方法二 作出g(x)=x+的圖象如圖:
……………………………………………………………………………………………(4分)
可知若使g(x)=m有根,則只需m≥2e.………………………………………………(6分)
方法三 解方程由g(x)=m,得x2-mx+e2=0.
此方程有大于零的根,故……………………………………………(4分)
等價于,故m≥2e.…………………………………………………(6分)
(2)若g(x)-f(x)=0有兩個相異的實根,即g(x)=f(x)中函數(shù)g(x)與f(x)的圖象有兩個不同的交點,
作出g(x)=x+ (x>0)的圖象.
∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2.
其對稱軸為x=e,開口向下,
最大值為m-1+e2.……………………………………………………………………(10分)
故當m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1時,
g(x)與f(x)有兩個交點,
即g(x)-f(x)=0有兩個相異實根.
∴m的取值范圍是(-e2+2e+1,+∞).……………………………………………(14分)
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