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1、精編北師大版數(shù)學資料
第一章 4
1．用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是( )
A．假設(shè)當n＝2k＋1時正確，再推當n＝2k＋3時正確
B．假設(shè)當n＝2k－1時正確，再推當n＝2k＋1時正確
C．假設(shè)當n＝k時正確，再推當n＝k＋1時正確
D．假設(shè)當n≤k(k≥1)時正確，再推當n＝k＋2時正確(以上k∈N＋)
解析：因為n為正奇數(shù)，所以用數(shù)學歸納法證明的第二步應先假設(shè)第k個正奇數(shù)成立，即假設(shè)當n＝2k－1時正確，再推第(k＋1)個正奇數(shù)即當n＝2k＋1時正確．
答案：B
2．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，則f(1)為( )
2、
A．1 B．
C．1＋＋＋＋ D．非以上答案
解析：∵f(n)＝1＋＋＋…，
∴f(1)＝1＋＋＋…＋＝1＋＋＋＋.
答案：C
3．用數(shù)學歸納法證明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N＋)成立，其初始值至少應取( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：左邊＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入驗證可知n的最小值是8.
答案：B
4．用數(shù)學歸納法證明
1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)的過程如下：
①當n＝1時，左邊＝1，右邊＝21－1＝1，等式成立．
②假設(shè)當n＝k時，等式成立，即
1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，
則當n＝k＋1
3、時，
1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，
所以，當n＝k＋1時等式成立．
由此可知，對任何n∈N＋，等式都成立．
上述證明錯誤的是________．
解析：當n＝k＋1時正確的解法是
1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1，
即一定用上第二步中的假設(shè)．
答案：沒有用上歸納假設(shè)進行遞推
5．用數(shù)學歸納法證明：
…＝(n≥2，n∈N＋)．
證明：(1)當n＝2時，左邊＝1－＝，右邊＝＝，∴左邊＝右邊．∴n＝2時等式成立．
(2)假設(shè)n＝k(k≥2，k∈N＋)時等式成立，
即…＝，
那么n＝k＋1時，利用歸納假設(shè)有：
…
＝＝
＝＝，
∴即n＝k＋1時等式也成立．
由(1)和(2)，可知對任意n≥2，n∈N＋等式恒成立．
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