精編高中數(shù)學(xué)北師大版選修22教案：第1章 高考中的類比推理

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 高考中的類比推理 大數(shù)學(xué)家波利亞說過：“類比是某種類型的相似性，是一種更確定的和更概念性的相似?！睉?yīng)用類比的關(guān)鍵就在于如何把關(guān)于對(duì)象在某些方面一致性說清楚。類比是提出新問題和作出新發(fā)現(xiàn)的一個(gè)重要源泉，是一種較高層次的信息遷移。 例1、（2006湖北）半徑為r的圓的面積，周長(zhǎng)，若將r看作上的變量，則， ①，①式可用語(yǔ)言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長(zhǎng)函數(shù)。對(duì)于半徑為R的球，若將R看作看作上的變量，請(qǐng)你寫出類似于①的式子：_________________，②，②式可用語(yǔ)言敘述為___________. 解：由提供的形式找出球的兩個(gè)常用量體積、表面積公式，類

2、似寫出恰好成立，. 答案：① ②球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)。 點(diǎn)評(píng)：主要考查類比意識(shí)考查學(xué)生分散思維，注意將圓的面積與周長(zhǎng)與球的體積與表面積進(jìn)行類比 例2．（2000年上海高考第12題）在等差數(shù)列｛an｝中，若a10=0，則有等式a1＋a2＋……＋an=a1＋a2＋……＋a19－n（n＜19，n∈N*）成立。類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列｛bn｝中，若b9=1，則有等式 成立。 分析：這是由一類事物（等差數(shù)列）到與其相似的一類事物（等比數(shù)列）間的類比。在等差數(shù)列｛an｝前19項(xiàng)中，其中間一項(xiàng)a10=0，則a1＋a19= a2＋a

3、18=……= an＋a20－n= an＋1＋a19－n=2a10=0，所以a1＋a2＋……＋an＋……＋a19=0，即a1＋a2＋……＋an=－a19－a18－…－an＋1，又∵a1=－a19， a2=－a18，…，a19－n=－an＋1，∴ a1＋a2＋……＋an=－a19－a18－…－an＋1= a1＋a2＋…＋a19－n。相似地，在等比數(shù)列｛bn｝的前17項(xiàng)中，b9=1為其中間項(xiàng)，則可得b1b2…bn= b1b2…b17－n（n＜17，n∈N*）。 例3．（2003年全國(guó)高考新課程卷文科第15題）在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)△ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2＋AC2= B

4、C2?！蓖卣沟娇臻g，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得到的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A—BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則 ________________”。 分析：這是由低維（平面）到高維（空間）之間的類比。三角形中的許多結(jié)論都可以類比到三棱錐中（當(dāng)然必須經(jīng)過論證其正確性），像直角三角形中的勾股定理類比到三側(cè)面兩兩垂直的三棱錐中，則有S△ABC2＋S△ACD2＋S△ADB2= S△BCD2。需要指出的是，勾股定理的證明也可進(jìn)行類比。如在Rt△ABC中，過A作AH⊥BC于H，則由AB2=BHBC，AC2=CHBC相加

5、即得AB2＋AC2=BC2；在三側(cè)面兩兩垂直的三棱錐A—BCD中，過A作AH⊥平面BCD于H，類似地由S△ABC2=S△HBCS△BCD，S△ACD2=S△HCDS△BCD，S△ADB2=S△HDBS△BCD相加即得S△ABC2＋S△ACD2＋S△ADB2= S△BCD2。 例4、（2006上海）已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a>o，那么該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。 （1） 如果函數(shù)的值域?yàn)?，求b的值； （2） 研究函數(shù)（常數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由； （3） 對(duì)函數(shù)和（常數(shù)作出推廣，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例，研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫出結(jié)論，不必證明）。 解：（1）函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以該函數(shù)在處取得最小值 令，得 （2）設(shè)，顯然函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，令得，令得或 又因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，在上是增函數(shù)，于是利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，上是增函數(shù)。 （3）推廣結(jié)論：當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí)，函數(shù)（常數(shù)是奇函數(shù)，故在上是增函數(shù)，在是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。 而當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，函數(shù)（常數(shù)是偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，在是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。 點(diǎn)評(píng)：本題設(shè)計(jì)新穎，層層遞進(jìn)，主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查分析解決問題的能力。