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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料
聚焦反證法
反證法是間接證明的一種基本方法，常常是解決某些“疑難”問題的有力工具．對(duì)于一些用直接證明的方法難以證明的結(jié)論，常采用反證法．熟練掌握并運(yùn)用反證法，對(duì)提高同學(xué)們的解題能力大有裨益．下面就反證法的要點(diǎn)進(jìn)行歸納整理．
1．定義：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．
2．反證法的基本思想是：否定結(jié)論就會(huì)導(dǎo)致矛盾．它可以用下面的程序來表示：“否定———推理———矛盾———肯定．”
“否定”———假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，而結(jié)論的反面成立．
“推理”———
2、從已知條件和假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用一系列的論據(jù)進(jìn)行推理．
“矛盾”———通過推導(dǎo)，推出與實(shí)際“需要”不符、與“公理”矛盾、與“已知定理”矛盾、與“定義”矛盾、與“題設(shè)”矛盾、自相矛盾等．
“肯定”———由于推理過程正確．故矛盾是由假設(shè)所引起的，因此，假設(shè)是錯(cuò)誤的，從而肯定結(jié)論是正確的．
3．應(yīng)用反證法的原則：正難則反，即如果一個(gè)命題的結(jié)論難以用直接法證明時(shí)可考慮用反證法．
4．宜用反證法證明的題型：①易導(dǎo)出與已知矛盾的命題；②一些基本定理；③“否定性”命題；④“惟一性”命題；⑤“必然性”命題；⑥“至少”、“至多”命題等．
5．注意事項(xiàng)：（１）應(yīng)用反證法證明命題時(shí)，反設(shè)必須
3、恰當(dāng)．如“都是”的否定是“不都是”、“至少一個(gè)”的否定是“不存在”等．
?。?）用反證法證明時(shí)最好在開篇注明“下面用反證法證明”，以告知讀者按反證法的思路閱讀或評(píng)卷．
下面舉例說明“反證法”在證題中的應(yīng)用．
例1 設(shè)的公比分別為．
假設(shè)是等比數(shù)列，則有只需證．
由于，
而．
從而有，而，
故有，即，這與已知相矛盾．因此假設(shè)不成立，故不是等比數(shù)列．
點(diǎn)評(píng)：當(dāng)遇到結(jié)論為否定形式的命題時(shí)，常常采用反證法．
例2 求證：兩條平行線中一條與一個(gè)平面相交，那么另一條也與這個(gè)平面相交．
已知：平面，如圖1所示．
求證：直線和平面相交．
4、證明：假設(shè)和平面不相交，即或．
?。?）若，因?yàn)椋?
所以，這與相矛盾．
?。?）如果，因?yàn)?，所以和確定一個(gè)平面，顯然平面與平面相交．
設(shè)，因?yàn)?，所以?
又，從而且．
故，這與矛盾．
由（1），（2）可知，假設(shè)不成立．故直線與平面相交．
例3 求證：正弦函數(shù)沒有比小的正周期．
證明：假設(shè)是正弦函數(shù)的周期，且，則對(duì)任意實(shí)數(shù)都有成立．
令，得，即，從而對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，這與矛盾．
所以正弦函數(shù)沒有比小的正周期．
例4 今有50位同學(xué)，男女各一半，圍坐一圈，是否存在一種座位的安排方法，使得每一位同學(xué)左右兩側(cè)的兩位同學(xué)為一男一女？證明結(jié)論．
解：不存在這樣的座位安排．
證明：假設(shè)存在這樣的安排，則每一位同學(xué)必與一同性別的同學(xué)相鄰，若以Ｍ表示男同學(xué)，Ｗ表示女同學(xué)，則每一對(duì)相鄰而坐的男性（女性）同學(xué)的左右兩側(cè)必為兩對(duì)相鄰而坐的女性（或男性）同學(xué)，如圖2所示，因此男性或女性同學(xué)數(shù)應(yīng)是偶數(shù)，這和男性或女性同學(xué)數(shù)各占25矛盾，所以這種安排方法不存在．
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