萬變不離其宗五【選修1－11－24－5】：專題四 推理與證明、復(fù)數(shù) Word版含解析

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1、一、題之源：課本基礎(chǔ)知識一、題之源：課本基礎(chǔ)知識1推理(1)定義：是根據(jù)一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程(2)分類：推理合情推理演繹推理2合情推理歸納推理類比推理定義由某類事物的部分對象具有某些特征， 推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理， 或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征， 推出另一類對象也具有這些特征的推理特點由部分到整體、由個別到一般的推理由特殊到特殊的推理3.演繹推理(1)定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理(2)特點：演繹推理是由一般到特殊的推理(3)模式：三段論大

2、前提：已知的一般原理；小前提：所研究的特殊情況；結(jié)論：根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷.4直接證明直接證明中最基本的兩種證明方法是綜合法和分析法(1)綜合法：一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法綜合法又稱為：由因?qū)Ч?順推證法)(2)分析法：一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法分析法又稱為：執(zhí)果索因法(逆推證法)5間接證明反證法：假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛

3、盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法6復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的概念：形如abi(a，bR R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部若b0，則abi 為實數(shù)；若b0，則abi 為虛數(shù)；若a0 且b0，則abi 為純虛數(shù)(2)復(fù)數(shù)相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR R)(3)共軛復(fù)數(shù)：abi 與cdi 共軛ac，bd(a，b，c，dR R)(4)復(fù)數(shù)的模：向量OZ的模r叫做復(fù)數(shù)zabi(a，bR R)的模，記作|z|或|abi|，即|z|abi|a2b27復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)zabi一一對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)(a，bR R)(2)復(fù)數(shù)z

4、abi(a，bR R)一一對應(yīng)平面向量OZ8復(fù)數(shù)的運算(1)復(fù)數(shù)的加、減 、乘、除運算法則設(shè)z1abi，z2cdi(a，b，c，dR R)，則加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；減法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：z1z2abicdi（abi） （cdi）（cdi） （cdi）acbdc2d2bcadc2d2i(cdi0)(2)復(fù)數(shù)加法的運算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何z1，z2，z3C C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)二、題之本：思想方法技巧二、題之本

5、：思想方法技巧1歸納推理的前提是一些特殊的情況，所以歸納推理要在觀察、經(jīng)驗、實驗的基礎(chǔ)上進行；歸納推理是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷出一般現(xiàn)象，因此所得結(jié)論超出了前提所界定的范圍，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然的，而是或然的，所以“前提真而結(jié)論假”的情況是有可能發(fā)生的2歸納推理的一般過程：(1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)相同的性質(zhì)；(2)推出一個明確表述的一般性結(jié)論3在數(shù)學(xué)中，類比是發(fā)現(xiàn)概念、方法、定理、公式的重要手段，并且應(yīng)用廣泛，數(shù)與式、平面與空間、一元與多元、低次與高次、相等與不等、有限與無限等之間有不少結(jié)論都是先用類比的方法提出猜想，然后再加以證明的4類比推理的一般步驟：(1)找出兩類事物之間的相似性或

6、一致性；(2)用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題(猜想)，但結(jié)論不一定正確，有待進一步證明5.把握合情推理與演繹推理的三點(1)合情推理包括歸納推理和類比推理，所得到的結(jié)論都不一定正確，其結(jié)論的正確性是需要證明的(2)在進行類比推理時，要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象所迷惑；否則只抓住一點表面現(xiàn)象甚至假象就去類比，就會犯機械類比的錯誤(3)應(yīng)用三段論解決問題時，應(yīng)首先明確什么是大前提，什么是小前提，如果大前提與推理形式是正確的，結(jié)論必定是正確的如果大前提錯誤，盡管推理形式是正確的，所得結(jié)論也是錯誤的6.在進行類比推理時，不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比，且要

7、注意以下兩點：(1)找兩類對象的對應(yīng)元素，如：三角形對應(yīng)三棱錐，圓對應(yīng)球，面積對應(yīng)體積等等；(2)找對應(yīng)元素的對應(yīng)關(guān)系，如：兩條邊(直線)垂直對應(yīng)線面垂直或面面垂直，邊相等對應(yīng)面積相等7.演繹推理的推證規(guī)則(1)演繹推理是從一般到特殊的推理，其一般形式是三段論，應(yīng)用三段論解決問題時，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，如果前提是顯然的，則可以省略，本題中，等比數(shù)列的定義在解題中是大前提，由于它是顯然的，因此省略不寫；(2)在推理論證過程中，一些稍復(fù)雜一點的證明題常常要由幾個三段論才能完成8綜合法又叫順推證法或由因?qū)Ч?，它是從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理是在尋求它的必要條件綜

8、合法的解題步驟用符號表示是：P(已知)Q1Q2Q3QnQ(結(jié)論)9分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法，它是從“結(jié)論”探求“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理的實質(zhì)是尋求使結(jié)論成立的充分條件分析法的解題步驟用符號表示是：B(結(jié)論)B1B2 BnA(已知)10分析法與綜合法的綜合應(yīng)用分析法和綜合法是兩種思路相反的推理證明方法，二者各有優(yōu)缺點分析法思考起來比較自然，容易找到解題的思路和方法，缺點是思路逆行，敘述較繁，且表述易錯；綜合法條理清晰，宜于表述，缺點是探路艱難，易生枝節(jié)在證明數(shù)學(xué)問題的過程中分析法和綜合法往往是相互結(jié)合的，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法表述11用反證法證明命題的一般步驟

9、：(1)分清命題的條件和結(jié)論；(2)做出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè)；(3)由假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出與已知條件，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實等矛盾的結(jié)果；(4)斷定產(chǎn)生矛盾的原因是假設(shè)不真，于是原結(jié)論成立，從而間接地證明命題為真12可用反證法證明的數(shù)學(xué)命題類型(1)結(jié)論是否定形式的命題；(2)結(jié)論是以至多、至少、唯一等語句給出的命題；(3)結(jié)論的反面是較明顯或較易證明的命題；(4)用直接法較難證明或需要分成多種情形進行分類討論的命題13常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”原結(jié)論詞反設(shè)詞原結(jié)論詞反設(shè)詞至少有一個沒有一個x成立 x0不成立至多有一個 至少有兩個 x不成立 x0成立至少有n

10、個至多有n1個p或q綈p且綈q至多有n個至少有n1個p且q綈p或綈q14.幾個應(yīng)注意的問題(1)兩個虛數(shù)不能比較大小(2)利用復(fù)數(shù)相等abicdi 列方程時，注意a，b，c，dR R 的前提條件(3)注意不能把實數(shù)集中的所有運算法則和運算性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來例如，若z1，z2C C，z21z220，就不能推出z1z20；z20 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有可能成立15復(fù)數(shù)的運算技巧(1)設(shè)zabi(a，bR R)，利用復(fù)數(shù)相等和相關(guān)性質(zhì)將復(fù)數(shù)問題實數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題的常用方法(2)在復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算中，加、減、乘運算按多項式運算法則進行，除法則需分母實數(shù)化16復(fù)數(shù)代數(shù)運算中常用的幾個結(jié)論在進行復(fù)數(shù)的代

11、數(shù)運算時，記住以下結(jié)論，可提高計算速度(1)(1i)22i；1i1ii；1i1ii；(2)baii(abi)；(3)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30，nN N*.17.解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項(1)復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可(2)解題時一定要先看復(fù)數(shù)是否為abi(a，bR R)的形式，以確定實部和虛部18.復(fù)數(shù)幾何意義及應(yīng)用(1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點Z及向量OZ相互聯(lián)系，即zabi(a，bR R)Z(a，b)OZ.(2)由于復(fù)數(shù)

12、、點、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀19.復(fù)數(shù)代數(shù)形式運算問題的解題策略(1)復(fù)數(shù)的乘法復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的乘法運算，可將含有虛數(shù)單位 i 的看作一類同類項，不含 i 的看作另一類同類項，分別合并即可(2)復(fù)數(shù)的除法除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把 i 的冪寫成最簡形式三、題之變：課本典例改編三、題之變：課本典例改編1.1. 原題（選修原題（選修 1-21-2 第五十一頁例）第五十一頁例）1 (1)mmmi 實數(shù) 取什么值時復(fù)數(shù)z=是（1）實數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？改編改編

13、 1 1若復(fù)數(shù)sin2(1 cos2 )zaia是純虛數(shù),則a=.改編改編 2 2使復(fù)數(shù)為實數(shù)的充分而不必要條件是 ()AzzBzzC2z為實數(shù)Dzz為實數(shù)【解析】 即要找出若“復(fù)數(shù)為實數(shù)”則不能推出的選項選B改編改編 3 3若有,RRX分別表示正實數(shù)集,負(fù)實數(shù)集,純虛數(shù)集,則集合2m mX=().ARBRCRRD 0R【解析】 222(0),)0mmbi bmbibB 若 為純虛數(shù)，設(shè)則(選2.2. 原題（選修原題（選修 1-21-2 第五十五頁習(xí)題第五十五頁習(xí)題 3.13.1 A A 組第組第 5 5 題題） ：實數(shù) m 取什么值時，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)22(815)(514)zmmmmi的點

14、（1）位于第四象限？（2）位于第一、二象限？（3）位于直線上？改編改編 1 1復(fù)數(shù)（22）（22）對應(yīng)的點在虛軸上，則（）A.2 或1B.2 且1C.2 或0D.0【解析】 2002.aaa2要求虛部為 即可或0.即a改編改編 2 2已知復(fù)數(shù)12zi，21zi ，則在12zzz復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【解析】 123zz ziz 復(fù)數(shù) 表示的點在第四象限.選D.改編改編 3 3如果35a,復(fù)數(shù)22(815)(514)zaaaai在復(fù)平面上的對應(yīng)點z在象限.改編改編 4 4已知022，|0|2， （1）求復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡;（2）求為何值

15、時，|有最小值，并求出|的最小值.【解析】 （1）設(shè)zxy（x，yR R） ，由|0|2，即 |xy（22）|（x2）（y2）|2，解得（x2）2（y2）22復(fù)數(shù)點的軌跡是以 Z0（2,2）為圓心，半徑為2的圓. .（2）當(dāng) Z 點在 OZ0的連線上時，|有最大值或最小值，| OZ0|22，半徑2，當(dāng)1時，|2. .3.3. 原 題 （ 選 修原 題 （ 選 修 1-21-2 第 五 十 五 頁 習(xí) 題第 五 十 五 頁 習(xí) 題 3.1B3.1B 組 第 二 題 ） 改 編組 第 二 題 ） 改 編設(shè),Cz滿 足 條 件. 12141log21zz的復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點z的集合表示什么圖形?【解析

16、】 12,14|1| 4log12|1| 81012|1| 28zZZZzZ 由，得化簡得：，所以 表示以為圓心，以 為半徑的圓0（， ）的外部.4.4. 原題（選修原題（選修 1-21-2 第六十三頁復(fù)習(xí)參考題第六十三頁復(fù)習(xí)參考題 A A 組組 1 1（4 4） ）1( 2ii33復(fù) 數(shù)+i ) 的 值 為 ( ) A .B .C . - 1 D . 12改編改編 1 120082007113()122iii （）A. 2B.1C.1D.2【解析】223200820072 10043 669131313)1,()1,)()() () 2222222iiiiiiiiii 1+1+1+(1-1-1- .D選改編改編 2 2復(fù)數(shù)213i，求 12的值；5.5. 原題原題（選修選修 1-21-2 第六十三頁復(fù)習(xí)參考題第六十三頁復(fù)習(xí)參考題 B B 組第二題組第二題）改編改編 1 12012432iiiii的值為_【解析】0432iiii則2012432iiiii=0.改編改編 2 2若21zi,那么100501zz的值是.【解析】224410050425225252522(1)2(1)(1),1,11(1)(1)221()()1( 1)1iiizziziiiizzzzii 又