新教材高中數(shù)學(xué)北師大版選修22教案：第1章 類比方法分類解析

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1、（新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料 類比方法分類解析 類比思維是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要發(fā)現(xiàn)式思維，它是通過兩個已知事物在某些方面所具有的共同屬性去推測這兩個事物在其他方面也有相同或類似的屬性，從而大膽猜想得到結(jié)論，類比題型還可培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)造力，它象一朵耀眼的奇葩，頻頻出現(xiàn)在高考中，現(xiàn)舉幾例供大家欣賞。 一、不等式中的類比 例1先閱讀下面結(jié)論的證明，再解決后面的問題：已知求證 證明：構(gòu)造函數(shù) 因為對一切x恒有，所以，從而 （1）若試寫出上述結(jié)論的推廣式： （2）參考上述證法，對你推廣的結(jié)論加以證明。 解：（1）若求證： （2）證明：構(gòu)造函數(shù) ＝ ＝ 因為對一切x恒有

2、，所以，從而證得 點評：本題命制巧妙，先通過對已知結(jié)論類比得到結(jié)論的推廣，再通過觀察已知結(jié)論的證明方法來對推廣的結(jié)論的證明，本題即有結(jié)論的推廣類比還包含證明方法的類比，但是由于類比結(jié)論產(chǎn)生錯誤，使得下面的證明也產(chǎn)生錯誤。 二、平面幾何與空間幾何的類比 例2、如下圖，點P為斜三棱柱ABC－的側(cè)棱上一點，PM交于 點M，PN交于點N. （1） 求證：MN； （2） 在任意▲DEF中有余弦定理 擴展到空間，類比三角形和余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側(cè)面面積與其中兩個側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系，并予以證明。 （1） 證明：因為//，所以PM，PN，所以平面PMN，所以MN. （2

3、）解：在斜三棱柱ABC－中有 其中x為平面與平面所組成的二面角. 因為平面PMN，所以，上述的二面角為 在▲PMN中， 所以 因為， 所以 點評：本題首先通過平面中的余弦定理進(jìn)行類比，得出空間中的余弦定理再通過證明驗證結(jié)論的正確性。 三、圓錐曲線之間的類比 例3、設(shè)分別為橢圓c：的左、右兩個焦點。 已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓c上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為時，那么之積是與點P位置無關(guān)的定值，試寫出雙曲線具有類似特性的性質(zhì)并加以證明。 解：類似的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當(dāng)

4、直線PM、PN的斜率都存在，并記為時，那么之積是與點P位置無關(guān)的定值。 設(shè)點M的坐標(biāo)為（m，n），則點N的坐標(biāo)為（－m，－n），其中. 又設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），由得 將，代入 得 點評：類比定義和性質(zhì)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最?？疾榈囊活悊栴}，它能很好地培養(yǎng)學(xué)生探索問題的能力，應(yīng)該給以足夠的重視。 四、數(shù)列之間的類比 例4、電子計算機中使用二進(jìn)制，它與十進(jìn)制的換算關(guān)系如下表： 十進(jìn)制 1 2 3 4 5 6 …… 二進(jìn)制 1 10 11 100 101 110 …… 觀察二進(jìn)制1位數(shù)，2位數(shù)，3位數(shù)時，對應(yīng)的十進(jìn)制的數(shù)，當(dāng)二進(jìn)制為6位數(shù)能表示十進(jìn)制中最大的數(shù)是__________. 解：通過閱讀，不難發(fā)現(xiàn)： ，，， ，，進(jìn)而知寫成二進(jìn)制為：111. 于是知二進(jìn)制為6位數(shù)能表示十進(jìn)制中最大的數(shù)是111111化成十進(jìn)制為： 點評：通過閱讀，將乍看陌生的問題熟悉化，然后找到解決的方法，即轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列求解。