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反證法的應用例題解析
反證法是一種間接證明的方法，其基本思路是從命題結論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而證明命題成立。運用反證法的關鍵是“尋找矛盾”，可以與已知的公理、定義、定理矛盾；與題目的已知條件矛盾；與臨時假設矛盾或推出兩個互相矛盾的命題。下面結合解題實際,談一談什么時侯宜用反證法。
一、證明否定型命題時常用反證法
例1如果是不全相等的實數，若成等差數列，求證：不成等差數列。
證明：假設成等差數列，則
由于成等差數列，得①
那么，即②
由①、②得與是不全相等的實數矛盾。
故不成等差數列。
點評：本題是否定型命題，對于否定型命題
2、的常規(guī)論證方法也是用反證法，從否定結論開始，在成等差數列的條件下進行推理，得到又成等比數列，因此，與已知矛盾，從而結論成立。
二、正面證明困難時宜用反證法
例2求證：方程的解是惟一的.
證明：確定方程的解：由對數的定義易得是這個方程的一個解.
證明惟一性：假設這個方程的不是惟一的，它還有另解，則， 又，則，即…….①， 由假設，得，
從而，當時，……②；當時，…….③
顯然，②、③都與①矛盾，這說明假設不成立，∴方程的解是惟一的.
點評：當原命題從證明下手證明較困難時，可不時時機地選擇從它的反面證明，有時會起到事半功倍的效果.
三、當問題中出現“至多”“至少”時：
例3
3、已知都是正數，試證：關于的三個方程，，至少有一個方程有兩個不相等的實根。
證明：假設三個方程均無不相等的實根，則
與都是正數矛盾
故三個方程中至少有一個方程有兩個不相等的實根
點評：“至少”、“至多”型問題的常規(guī)證法是反證法；本題首先否定結論，利用方程的根與判別式之間的關系進行推理，最終推出與已知矛盾的結果，從而肯定命題的正確性。借助反證法，整個推理過程順理成章，試想一下如果不用反證會將如何？
四、解決存在型問題時有時可用反證法
例4 已知數列中，，a為正實數，
（1）若，試求a的取值范圍。
（2）是否存在正實數a，使對任意恒成立。
解（1）
∴
∵，∴
（2）不存在正實數a，使對任意恒成立。下面用反證法加以證明。
假設存在正實數a，對任意，使恒成立，則，恒成立。
∴ ∴ ∴
又
∴
即
故取，即，有，則與矛盾，因此，不存在正實數a，使，對，恒成立。
點評：“存在”就是有，證明有或者可以找出一個也行?！安淮嬖凇本褪菦]有，找不到。這類問題常用反證法加以認證。“是否存在”的問題，結論有兩種：如果存在，找出一個來；如果不存在，需說明理由，這時，通常用反證法。
2020高中數學北師大版選修22教案：第1章 反證法的應用例題解析
