新編高中數(shù)學北師大版選修22教案：第3章 導數(shù)的實際應(yīng)用 第三課時參考教案

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1、新編數(shù)學北師大版精品資料 第三課時 導數(shù)的實際應(yīng)用（三） 一、教學目標： 1、使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導數(shù)在解決實際問題中的作用； 2、提高將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力。 二、教學重點：利用導數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題． 教學難點：利用導數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題． 三、教學方法：探究歸納，講練結(jié)合 四、教學過程 （一）、創(chuàng)設(shè)情景 生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題．通過前面的學習，我們知道，導數(shù)是求函數(shù)最大（小）值的有力工具．這一節(jié)，我們利用導數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題． （二）、新課探究 導

2、數(shù)在實際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題，主要有以下幾個方面： 1、與幾何有關(guān)的最值問題； 2、與物理學有關(guān)的最值問題； 3、與利潤及其成本有關(guān)的最值問題； 4、效率最值問題。 解決優(yōu)化問題的方法：首先是需要分析問題中各個變量之間的關(guān)系，建立適當?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導數(shù)是一個有力的工具． 利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路： 解決數(shù)學模型 作答 用函數(shù)表示的數(shù)學問題 優(yōu)化問題 用導數(shù)解決數(shù)學問題 優(yōu)化

3、問題的答案 建立數(shù)學模型 （三）、典例分析 例1、磁盤的最大存儲量問題 計算機把數(shù)據(jù)存儲在磁盤上。磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤，并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心軌道，扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。磁道上的定長弧段可作為基本存儲單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1，這個基本單元通常被稱為比特（bit）。 為了保障磁盤的分辨率，磁道之間的寬度必需大于，每比特所占用的磁道長度不得小于。為了數(shù)據(jù)檢索便利，磁盤格式化時要求所有磁道要具有相同的比特數(shù)。 問題：現(xiàn)有一張半徑為的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于與之間的環(huán)形區(qū)域． （1）是不是越小，磁盤的存儲量

4、越大？（2）為多少時，磁盤具有最大存儲量（最外面的磁道不存儲任何信息）？ 解：由題意知：存儲量=磁道數(shù)×每磁道的比特數(shù)。 設(shè)存儲區(qū)的半徑介于與R之間，由于磁道之間的寬度必需大于，且最外面的磁道不存儲任何信息，故磁道數(shù)最多可達。由于每條磁道上的比特數(shù)相同，為獲得最大存儲量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特數(shù)可達。所以，磁盤總存儲量 × （1）它是一個關(guān)于的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以判斷，不是越小，磁盤的存儲量越大． （2）為求的最大值，計算． 令，解得當時，；當時，． 因此時，磁盤具有最大存儲量。此時最大存儲量為 例2、汽油的使用效率何時最高 我

5、們知道，汽油的消耗量（單位：L）與汽車的速度（單位：km/h）之間有一定的關(guān)系，汽油的消耗量是汽車速度的函數(shù)．根據(jù)你的生活經(jīng)驗，思考下面兩個問題： （1）是不是汽車的速度越快，汽車的消耗量越大？ （2）“汽油的使用率最高”的含義是什么？ 分析：研究汽油的使用效率（單位：L/m）就是研究秋游消耗量與汽車行駛路程的比值．如果用表示每千米平均的汽油消耗量，那么，其中，表示汽油消耗量（單位：L），表示汽油行駛的路程（單位：km）．這樣，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求的最小值的問題． 通過大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進行分析、研究，人們發(fā)現(xiàn)，汽車在行駛過程中，汽油平均消耗率（即每小時的汽油

6、消耗量，單位：L/h）與汽車行駛的平均速度（單位：km/h）之間有如圖所示的函數(shù)關(guān)系． 從圖中不能直接解決汽油使用效率最高的問題．因此，我們首先需要將問題轉(zhuǎn)化為汽油平均消耗率（即每小時的汽油消耗量，單位：L/h）與汽車行駛的平均速度（單位：km/h）之間關(guān)系的問題，然后利用圖像中的數(shù)據(jù)信息，解決汽油使用效率最高的問題． 解：因為 這樣，問題就轉(zhuǎn)化為求的最小值．從圖象上看，表示經(jīng)過原點與曲線上點的直線的斜率．進一步發(fā)現(xiàn)，當直線與曲線相切時，其斜率最小．在此切點處速度約為90． 因此，當汽車行駛距離一定時，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此時的車速約為90．

7、從數(shù)值上看，每千米的耗油量就是圖中切線的斜率，即，約為 L． 例3、在經(jīng)濟學中，生產(chǎn)x單位產(chǎn)品的成本稱為成本函數(shù)同，記為C(x)，出售x單位產(chǎn)品的收益稱為收益函數(shù)，記為R(x)，R(x)－C(x)稱為利潤函數(shù)，記為P(x)。 （1）、如果C(x)＝，那么生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時，邊際最低？(邊際成本：生產(chǎn)規(guī)模增加一個單位時成本的增加量) （2）、如果C(x)=50x＋10000，產(chǎn)品的單價P＝100－0.01x，那么怎樣定價，可使利潤最大？ 變式：已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q，價格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為．求產(chǎn)量q為何值時，利潤L最大？ 分析：利潤L

8、等于收入R減去成本C，而收入R等于產(chǎn)量乘價格．由此可得出利潤L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式，再用導數(shù)求最大利潤． 解：收入， 利潤 令，即，求得唯一的極值點 答：產(chǎn)量為84時，利潤L最大 （四）、課堂練習：在甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40 km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最?。? 解析 根據(jù)題意知，只有點C在線段AD上某一適當位置，才能使總運費最省，設(shè)C點距D點x km,則∵BD=40,A

9、C=50－x, ∴BC= 又設(shè)總的水管費用為y元，依題意有 y=30(5a－x)+5a (0＜x＜50) y′=－3a+,令y′=0,解得x=30在(0,50)上，y只有一個極值點，根據(jù)實際問題的意義， 函數(shù)在x=30(km)處取得最小值，此時AC=50－x=20(km)∴供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最省 （五）．回顧總結(jié)建立數(shù)學模型 ：1．利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路： 解決數(shù)學模型 作答 用函數(shù)表示的數(shù)學問題 優(yōu)化問題 用導數(shù)解決數(shù)學問題 優(yōu)化問題的答案 2．解決優(yōu)化問題的方法：通過搜集大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，建立與其相應(yīng)的數(shù)學模型，

10、再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得到解決．在這個過程中，導數(shù)往往是一個有利的工具。 （六）．布置作業(yè)：1、一書店預計一年內(nèi)要銷售某種書15萬冊，欲分幾次訂貨，如果每次訂貨要付手續(xù)費30元，每千冊書存放一年要耗庫費40元，并假設(shè)該書均勻投放市場，問此書店分幾次進貨、每次進多少冊，可使所付的手續(xù)費與庫存費之和最少？ 【解】假設(shè)每次進書x千冊，手續(xù)費與庫存費之和為y元，由于該書均勻投放市場，則平均庫存量為批量之半，即，故有y ＝×30＋×40，y′＝－＋20， 令y′＝0，得x ＝15，且y″＝，f″(15)＞0，所以當x ＝15時，y取得極小值，且極小值唯一

11、，故 當x ＝15時，y取得最小值，此時進貨次數(shù)為＝10（次）． 即該書店分10次進貨，每次進15000冊書，所付手續(xù)費與庫存費之和最少． 2、有甲、乙兩城，甲城位于一直線形河岸，乙城離岸40千米，乙城到岸的垂足與甲城相距50千米，兩城在此河邊合設(shè)一水廠取水，從水廠到甲城和乙城的水管費用分別為每千米500元和700元，問水廠應(yīng)設(shè)在河邊的何處，才能使水管費用最?。? 【解】設(shè)水廠D點與乙城到岸的垂足B點之間的距離為x千米，總費用為y元， 則CD ＝．y ＝500（50－x）＋700＝25000－500 x ＋700， y′＝－500＋700 · (x 2＋1600)· 2 x＝－500＋，令y′＝0，解得x ＝．答：水廠距甲距離為50－千米時，總費用最?。? 【點評】當要求的最大（小）值的變量y與幾個變量相關(guān)時，我們總是先設(shè)幾個變量中的一個為x，然后再根據(jù)條件x來表示其他變量，并寫出y的函數(shù)表達式f（x）． 五、教后反思：