2、指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系,被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知,eπ3i表示的復(fù)數(shù)的模為( )
A.12 B.1 C.32 D.π3
答案 B
解析 由題意,eπ3i=cosπ3+isinπ3,
∴eπ3i表示的復(fù)數(shù)的模為cos2π3+sin2π3=1.故選B.
3.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是( )
A.100 B.82
C.96 D.112
答案 A
解析 由已知中的三視圖可得:該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體切去一個(gè)三棱錐得到的組合體,長(zhǎng)方體的體積為663=108,棱錐的體積為1312434=8,故組合體的體積V=108-8=100.
4.已知函數(shù)f(x)=
3、Asin(ωx+φ)(A,ω,φ為常數(shù),A>0,ω>0,|φ|<π)的部分圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是( )
A.函數(shù)f(x)的最小正周期為π2
B.直線x=-π12是函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸
C.函數(shù)f(x)在區(qū)間-5π12,π6上單調(diào)遞增
D.將函數(shù)f(x)的圖象向左平移π3個(gè)單位,得到函數(shù)g(x)的圖象,則g(x)=2sin 2x
答案 D
解析 由圖象可得A=2,圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為x=π2+2π32=7π12,一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為π3,0,∴T4=7π12-π3=π4,∴T=π=2πω,
∴ω=2,代入7π12,2可得2=2sin27π12+φ.
∵|φ|<
4、π,∴φ=-2π3,∴f(x)=2sin2x-2π3.
將函數(shù)f(x)的圖象向左平移π3個(gè)單位,可得g(x)=2sin2x+π3-2π3=2sin 2x,故選D.
5.對(duì)于四面體A-BCD,有以下命題:
①若AB=AC=AD,則AB,AC,AD與底面所成的角相等;②若AB⊥CD,AC⊥BD,則點(diǎn)A在底面BCD內(nèi)的射影是△BCD的內(nèi)心;③四面體A-BCD的四個(gè)面中最多有四個(gè)直角三角形;④若四面體A-BCD的6條棱長(zhǎng)都為1,則它的內(nèi)切球的表面積為π6.
其中正確的命題是( )
A.①③ B.③④ C.①②③ D.①③④
答案 D
解析 對(duì)于①,因?yàn)锳B=AC=AD,設(shè)點(diǎn)A在平面BC
5、D內(nèi)的射影是O,則OB=OC=OD,則AB,AC,AD與底面所成的角相等,故①正確;
對(duì)于②,設(shè)點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影是O,易知CD⊥OB,BD⊥OC,所以O(shè)是△BCD的垂心,故②不正確;
對(duì)于③,如圖1,直角三角形的個(gè)數(shù)是4,故③正確;
對(duì)于④,如圖2,O為正四面體ABCD的內(nèi)切球的球心,正四面體的棱長(zhǎng)為1,所以O(shè)E為內(nèi)切球的半徑,BF=AF=32,BE=33,所以AE=1-13=63,因?yàn)锽O2-OE2=BE2,所以63-OE2-OE2=332,所以O(shè)E=612,所以球的表面積為4πOE2=π6,故④正確.故選D.
圖1
圖2
6.若數(shù)列{an}是正項(xiàng)數(shù)列,且a1
6、+a2+…+an=n2+n,則a1+a22+…+ann等于( )
A.2n2+2n B.n2+2n C.2n2+n D.2(n2+2n)
答案 A
解析 ∵a1+a2+…+an=n2+n,
∴n=1時(shí),a1=2,解得a1=4.
n≥2時(shí),a1+a2+…+an-1=(n-1)2+n-1,
相減可得an=2n,∴an=4n2.n=1時(shí)也成立.∴ann=4n.
則a1+a22+…+ann=4(1+2+…+n)=4n(1+n)2=2n2+2n.故選A.
7.
中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道算術(shù)題:“今有物不知其數(shù),三三數(shù)之余二,五五數(shù)之余三,問(wèn)物幾何?”人們把此類(lèi)題目
7、稱(chēng)為“中國(guó)剩余定理”,若正整數(shù)N除以正整數(shù)m后的余數(shù)為n,則記為N=n(mod m),例如11=2(mod 3).現(xiàn)將該問(wèn)題以程序框圖的算法給出,執(zhí)行該程序框圖,則輸出的n等于( )
A.21
B.22
C.23
D.24
答案 C
解析 該程序框圖的作用是求被3除后的余數(shù)為2,被5除后的余數(shù)為3的數(shù),在所給的選項(xiàng)中,滿足被3除后的余數(shù)為2,被5除后的余數(shù)為3的數(shù)只有23,故選C.
8.(20xx河南濮陽(yáng)一模,理10)某電視臺(tái)曾在某時(shí)間段連續(xù)播放5個(gè)不同的商業(yè)廣告,現(xiàn)在要在該時(shí)間段只保留其中的2個(gè)商業(yè)廣告,新增播一個(gè)商業(yè)廣告與兩個(gè)不同的公益宣傳廣告,且要求兩個(gè)公益宣傳廣告既不能
8、連續(xù)播放也不能在首尾播放,則不同的播放順序共有( )
A.60種 B.120種 C.144種 D.300種
答案 B
解析 由題意,要在該時(shí)間段只保留其中的兩個(gè)商業(yè)廣告,有A52=20種方法,增播一個(gè)商業(yè)廣告,利用插空法有3種方法,再在2個(gè)空中,插入兩個(gè)不同的公益宣傳廣告,共有2種方法,根據(jù)乘法原理,共有2032=120(種)方法.故選B.
9.命題p:已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且滿足a3a6=02 4-x2x,則lodπa4+loggπa5=22;命題q:“?x∈R,sin x≠1”的否定是“?x∈R,sin x=1”.則下列四個(gè)命題:(p)∨(q),p∧q,(p)∧q,p∧(q
9、)中,真命題的個(gè)數(shù)為( ) ?導(dǎo)學(xué)號(hào)16804242?
A.4 B.3 C.2 D.1
答案 C
解析 命題p:已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且滿足a3a6=02 4-x2dx=14π22π,則log=πa4logπa5log+π(a4a5)log=π(a3a6)=log=ππ=1≠22,因此是假命題;
命題q:“?x∈R,sin x≠1”的否定是“?x∈R,sin x=1”,是真命題.
則下列四個(gè)命題:(p)∨(q),p∧q,(p)∧q,p∧(q)中,只有(p)∨(q)、(p)∧q是真命題,
即正確命題的個(gè)數(shù)是2.故選C.
10.已知定義在R上的偶函數(shù)f(x),滿足f(x+4)
10、=f(x),且x∈[0,2]時(shí),f(x)=sin πx+2|sin πx|,則方程f(x)-|lg x|=0在區(qū)間[0,10]上根的個(gè)數(shù)是( )
A.17 B.18 C.19 D.20
答案 C
解析 f(x)=sin πx+2|sin πx|=3sin πx,0≤x≤1,-sin πx,1
11、是19.故選C.
11.拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn),點(diǎn)M為這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn),且|MF|=p,則雙曲線的離心率為( )
A.2 B.22 C.2+12 D.2+1
答案 D
解析 拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為Fp2,0,其準(zhǔn)線方程為x=-p2,
∵準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn),∴c=p2.
∵點(diǎn)M為這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn),且|MF|=p,
∴M的橫坐標(biāo)為p2,代入拋物線方程,可得M的縱坐標(biāo)為p.將M的坐標(biāo)代入雙曲線方程,可得p24a2-p2b2=1,
∴a=2-12p,∴e=1+2.故選D.
1
12、2.已知函數(shù)f(x)=xln x+3x-2,射線l:y=kx-k(x≥1).若射線l恒在函數(shù)y=f(x)圖象的下方,則整數(shù)k的最大值為( )?導(dǎo)學(xué)號(hào)16804243?
A.4 B.5
C.6 D.7
答案 B
解析 由題意,問(wèn)題等價(jià)于k1恒成立.
令g(x)=xlnx+3x-2x-1,∴g(x)=x-2-lnx(x-1)2,
令h(x)=x-2-ln x,故h(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),
由于h(3)=1-ln 3<0,h(4)=2-ln 4>0,
所以存在x0∈(3,4),使得h(x0)=x0-2-ln x0=0.
則x∈(1,x0
13、)時(shí),h(x)<0;x∈(x0,+∞)時(shí),h(x)>0,
即x∈(1,x0)時(shí),g(x)<0;x∈(x0,+∞)時(shí),g(x)>0,
知g(x)在(1,x0)遞減,(x0,+∞)遞增,
又g(x0)
14、-1)323C63=-160;
令6-2r=1,解得r=52,∴2x-1x6展開(kāi)式中不含x的項(xiàng);
∴12x-12x-1x6的展開(kāi)式中含x項(xiàng)的系數(shù)為12(-160)=-80.
14.若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組x≤2,y<1,x+2y-2≥0,則z=x+y+2x+1的取值范圍是 .
答案 43,3
解析 作出不等式組x≤2,y<1,x+2y-2≥0對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖:
∵z=x+y+2x+1=1+y+1x+1,設(shè)k=y+1x+1,則k的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)D(-1,-1)的斜率,
由圖象知BD的斜率最小,AD的斜率最大,若A在可行域,則k的最大值為1+10+1=2,最
15、小值為1+02+1=13,
即13≤k<2,則43≤k+1<3,故z=x+y+2x+1的取值范圍是43,3,故答案為43,3.
15.在[-2,2]上隨機(jī)抽取兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,則事件“直線x+y=1與圓(x-a)2+(y-b)2=2相交”發(fā)生的概率為 .
答案 1116
解析 根據(jù)題意,得-2≤a≤2,-2≤b≤2,又直線x+y=1與圓(x-a)2+(y-b)2=2相交,d
16、242=1116.
16.在平面內(nèi),定點(diǎn)A,B,C,D滿足|DA|=|DB|=|DC|=2,DABC=DBAC=DCAB=0,動(dòng)點(diǎn)P,M滿足|AP|=1,PM=MC,則|BM|2的最大值為 . ?導(dǎo)學(xué)號(hào)16804244?
答案 494
解析 平面內(nèi),|DA|=|DB|=|DC|=2,DABC=DBAC=DCAB=0,
∴DA⊥BC,DB⊥AC,DC⊥AB.
可設(shè)D(0,0),A(2,0),B(-1,3),C(-1,-3),
∵動(dòng)點(diǎn)P,M滿足|AP|=1,PM=MC,
∴可設(shè)P(2+cos θ,sin θ),M1+cosθ2,sinθ-32,
∴BM=3+cosθ2,sinθ-332,
∴BM2=3+cosθ22+sinθ-3322=37+12sinπ6-θ4≤494,當(dāng)且僅當(dāng)sinπ6-θ=1時(shí)取等號(hào),
∴|BM|2的最大值為494.
高考數(shù)學(xué) 理二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)突破精練：組合增分練4 客觀題綜合練D Word版含解析
