新版高中數(shù)學(xué)北師大版選修22教案：第2章 拓展資料：導(dǎo)數(shù)的創(chuàng)應(yīng)用

新版數(shù)學(xué)北師大版精品資料 導(dǎo)數(shù)的創(chuàng)新應(yīng)用 有好多數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求解，可以使得有些數(shù)學(xué)問(wèn)題得到簡(jiǎn)化．下面選解幾例． 一、求數(shù)列的n項(xiàng)和 例1 已知x≠0，x≠－1，求數(shù)列1，2x，3x，…，nx，…的前n項(xiàng)和． 分析：根據(jù)題特點(diǎn)，可構(gòu)造等式1 + x + x+ x+ … + x=，求導(dǎo)即可． 解：當(dāng)x≠0，x≠－1時(shí)，1 + x + x+ x+ … + x=，兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得： 1+ 2x + 3x+ …+ nx==． 評(píng)注：這樣的問(wèn)題可以通過(guò)錯(cuò)位相加(減)求和，但運(yùn)用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算更加簡(jiǎn)明． 二、求組合數(shù)的和 例2 求和：C+ 2C+ 3C+ … + nC． 分析：根據(jù)題特點(diǎn)，可構(gòu)造等式(1 + x)= 1 + Cx + Cx+ Cx+ … + Cx，求導(dǎo)即可． 解：由二項(xiàng)展開(kāi)式，得：兩邊求導(dǎo)，得： n(1 + x)= C+ 2Cx + 3Cx+ … + nCx ． 令上式x = 1，得：C+ 2C+ 3C+ … + nC= n·2． 評(píng)注：：利用組合數(shù)的性質(zhì)或構(gòu)造概率模型都可以求解，但運(yùn)算量都比求導(dǎo)麻煩． 三、證明不等式 例3 證明：． 分析：構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，再用單調(diào)性即可解決． 證明：構(gòu)造，則． 該二次式的判別式， ， 是上的增函數(shù)． ，，而， ． 評(píng)注：本題并沒(méi)有千篇一律的將不等式右邊也納入到所構(gòu)造函數(shù)中，而是具體問(wèn)題具體分析，考慮三角函數(shù)的有界性，用架橋鋪路，使問(wèn)題得解. 四、方程根的問(wèn)題 例4求證方程xlgx＝1在區(qū)間（2，3）有且僅有一個(gè)實(shí)根. 分析：可構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法解決． 解：設(shè)y＝f(x)＝xlgx－1，∴y′＝lgx＋lge＝lgex ， 當(dāng)x∈（2，3）時(shí)，y′＞0，∴f(x)在（2，3）上為增函數(shù)， 又f(2)＝2lg2－1＝lg0.4＜0，f(3)＝3lg3－1＝lg2.7＞0， ∴在（2，3）內(nèi)xlgx－1＝0有且僅有一個(gè)實(shí)根. 評(píng)注：本題是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)f(x)＝xlgx－1，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，3)上的單調(diào)性及函數(shù)f(x)在兩個(gè)端點(diǎn)的值的符號(hào)進(jìn)行求解的.一般地，如果函數(shù)在區(qū)間(a，b)上具有單調(diào)性，那么，當(dāng)f(a)f(b)＜0時(shí)，方程f(x)＝0在區(qū)間(a，b)有唯一解；當(dāng)f(a)f(b)＞0時(shí)，方程f(x)＝0在區(qū)間(a，b)無(wú)實(shí)數(shù)解．