【名校資料】人教A版理科數(shù)學(xué)高效訓(xùn)練：66 直接證明與間接證明

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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料◆+◆◆ [A組　基礎(chǔ)演練能力提升] 一、選擇題 1．用反證法證明某命題時，對結(jié)論：“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”正確的反設(shè)為(　　) A．a(chǎn)，b，c中至少有兩個偶數(shù) B．a(chǎn)，b，c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù) C．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù) D．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù) 解析：“恰有一個偶數(shù)”的對立面是“沒有偶數(shù)或至少有兩個偶數(shù)”． 答案：B 2．若x，y∈R，則下面四個式子中恒成立的是(　　) A．log2(1＋2x2)>0　　　　 B．x2＋y2≥2(x－y－1) C．x2＋3xy>2y2 D.< 解析：∵1＋2x2≥1，∴l(xiāng)og2(

2、1＋2x2)≥0，故A不正確； x2＋y2－2(x－y－1)＝(x－1)2＋(y＋1)2≥0，故B正確；令x＝0，y＝1，則x2＋3xy<2y2，故C不正確； 令x＝3，y＝2，則>，故D不正確． 答案：B 3．(2014年張家口模擬)分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求證 ＜ a”索的因應(yīng)是(　　) A．a(chǎn)－b＞0 B．a(chǎn)－c＞0 C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0 證明： ＜ a ?b2－ac ＜ 3a2 ?(a＋c)2－ac ＜ 3a2 ?a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0 ?－2a2＋ac＋c

3、2＜0 ?2a2－ac－c2＞0 ?(a－c)(2a＋c)＞0?(a－c)(a－b)＞0. 答案：C 4．已知函數(shù)y＝f(x)的定義域為D，若對于任意的x1，x2∈D(x1≠x2)，都有f<，則稱y＝f(x)為D上的凹函數(shù)．由此可得下列函數(shù)中為凹函數(shù)的是(　　) A．y＝log2x B．y＝ C．y＝x2 D．y＝x3 解析：可以根據(jù)圖象直觀觀察，對于C證明如下： 欲證f<，即證2<，即證(x1＋x2)2<2x＋2x，即證(x1－x2)2>0，顯然成立．故原不等式得證． 答案：C 5．不相等的三個正數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，并且x是a，b的等比中項，y是b，c的等比中項，

4、則x2，b2，y2三數(shù)(　　) A．成等比數(shù)列而非等差數(shù)列 B．成等差數(shù)列而非等比數(shù)列 C．既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列 D．既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列 解析：由已知條件，可得 由②③得代入①，得＋＝2b，[來源:] 即x2＋y2＝2b2. 故x2，b2，y2成等差數(shù)列． 答案：B 6．(2014年濰坊質(zhì)檢)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)單調(diào)遞減，若x1＋x2＞0，則f(x1)＋f(x2)的值(　　) A．恒為負值 B．恒等于零 C．恒為正值 D．無法確定正負 解析：由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)單調(diào)遞減，可知f(x)是R

5、上的單調(diào)遞減函數(shù)，由x1＋x2＞0，可知x1＞－x2，f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，則f(x1)＋f(x2)＜0，故選A. 答案：A 二、填空題 7．某同學(xué)準備用反證法證明如下一個問題：函數(shù)f(x)在[0,1]上有意義，且f(0)＝f(1)，如果對于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，求證：|f(x1)－f(x2)|<.那么他的反設(shè)應(yīng)該是________． 答案：“?x1，x2∈[0,1]，使得|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|則|f(x1)－f(x2)|≥” 8．設(shè)a，b是兩個實數(shù)，給出下列條件： ①a＋b＞1；②a＋b

6、＝2；③a＋b＞2； ④a2＋b2＞2；⑤ab＞1. 其中能推出：“a，b中至少有一個大于1”的條件是________．(填序號) 解析：若a＝，b＝，則a＋b＞1， 但a＜1，b＜1，故①推不出； 若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②推不出； 若a＝－2，b＝－3，則a2＋b2＞2，故④推不出； 若a＝－2，b＝－3，則ab＞1，故⑤推不出； 對于③，即a＋b＞2，則a，b中至少有一個大于1， 反證法：假設(shè)a≤1 且b≤1， 則a＋b≤2與a＋b＞2矛盾， 因此假設(shè)不成立，故a，b中至少有一個大于1.[來源:] 答案：③ 9．已知a，b，μ∈(0，＋∞)且＋＝1，則使得

7、a＋b≥μ恒成立的μ的取值范圍是________． 解析：∵a，b∈(0，＋∞)且＋＝1， ∴a＋b＝(a＋b)＝10＋≥10＋2＝16， ∴a＋b的最小值為16. ∴要使a＋b≥μ恒成立，需16≥μ，∴0<μ≤16. 答案：(0,16] 三、解答題 10．已知a1＋a2＋a3＋a4>100，求證：a1，a2，a3，a4中至少有一個數(shù)大于25. 證明：假設(shè)a1，a2，a3，a4均不大于25，即a1≤25，a2≤25，a3≤25，a4≤25， 則a1＋a2＋a3＋a4≤25＋25＋25＋25＝100，[來源:] 這與已知a1＋a2＋a3＋a4>100矛盾，故假設(shè)錯誤． 所以

8、a1，a2，a3，a4中至少有一個數(shù)大于25. 11．已知m＞0，a，b∈R，求證：2≤. 證明：(分析法) ∵m＞0，∴1＋m＞0. ∴要證原不等式成立， 只需證明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)， 即證m(a2－2ab＋b2)≥0， 即證(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0顯然成立． 故原不等式得證． 12．(能力提升)(1)設(shè)x≥1，y≥1，證明x＋y＋≤＋＋xy； (2)設(shè)1≤a≤b≤c，證明logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac. 證明：(1)要證x＋y＋≤＋＋xy， 即證xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2. 又

9、[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1] ＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)] ＝(xy－1)(xy－x－y＋1) ＝(xy－1)(x－1)(y－1)． ∵x≥1，y≥1，∴(xy－1)(x－1)(y－1)≥0成立，從而所證不等式成立． (2)設(shè)logab＝x，logbc＝y(tǒng)，由對數(shù)的換底公式得logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy. 于是，所要證明的不等式即為x＋y＋≤＋＋xy. 其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.[來源:] 故由(1)可知所要證明的不等式成立． [B組　因材施教備選練習(xí)] 1．已知a，b，c是互不相等的

10、非零實數(shù)，用反證法證明三個方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一個方程有兩個相異實根． 證明：假設(shè)三個方程都沒有兩個相異實根， 則Δ1＝4b2－4ac≤0， Δ2＝4c2－4ab≤0， Δ3＝4a2－4bc≤0. 上述三個式子相加得： a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0. 即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0. 由已知a，b，c是互不相等的非零實數(shù)． ∴上式“＝”不能同時成立，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0，與事實不符， ∴假設(shè)不成立，原結(jié)論成立． 即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根． 2．在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若＋＝，試問A，B，C是否成等差數(shù)列，若不成等差數(shù)列，請說明理由．若成等差數(shù)列，請給出證明． 解析：A，B，C成等差數(shù)列． 證明如下： ∵＋＝ ∴＋＝3， ∴＋＝1， ∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， ∴b2＝a2＋c2－ac.[來源:] 在△ABC中，由余弦定理，得 cos B＝＝＝， ∵0