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2.4 向量的應(yīng)用
2．4.1 向量在幾何中的應(yīng)用
一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)
1． 在△ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，則BC邊的中線(xiàn)AD的長(zhǎng)是 ( )
A．2 B.
C．3 D.
2． 點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿(mǎn)足＝＝，則點(diǎn)O是△ABC的 ( )
A．三個(gè)內(nèi)角的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)
B．三條邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)
C．三條中線(xiàn)的交點(diǎn)
D．三條高的交點(diǎn)
3． 已知直線(xiàn)l1：3x＋4y－12＝0，l2：7x＋y－28＝0，則直線(xiàn)l1
2、與l2的夾角是 ( )
A．30 B．45
C．135 D．150
4． 若O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足|－|＝|＋－2|，則△ABC的形狀是 ( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等邊三角形
5． 已知點(diǎn)A(，1)，B(0,0)，C(，0)，設(shè)∠BAC的平分線(xiàn)AE與BC相交于E，那么有＝λ，其中λ等于 ( )
A．2 B.
C．－3 D．－
6． 過(guò)點(diǎn)(1,2)且與直線(xiàn)3x－y＋1＝0垂
3、直的直線(xiàn)的方程是____________．
7． 已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿(mǎn)足||＝3，||＝4，||＝5.則＋＋＝ ________.
8． 如圖所示，若ABCD為平行四邊形，EF∥AB，AE與BF相交于點(diǎn)N，DE與CF相交于點(diǎn)M.
求證：MN∥AD.
二、能力提升
9． 已知非零向量與滿(mǎn)足＝0且＝，則△ABC的形狀是( )
A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰(非等邊)三角形 D．等邊三角形
10．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0,1)和點(diǎn)B(－3,4)，若點(diǎn)C在∠AOB的平分線(xiàn)上且||＝2，則＝_______
4、_.
11．求證：△ABC的三條高線(xiàn)交于一點(diǎn)．
12．三角形ABC是等腰直角三角形，∠B＝90，D是BC邊的中點(diǎn)，BE⊥AD，延長(zhǎng)BE交AC于F，連接DF.求證：∠ADB＝∠FDC.
三、探究與拓展
13．如圖所示，正三角形ABC中，D、E分別是AB、BC上的一個(gè)三等分
點(diǎn)，且分別靠近點(diǎn)A、點(diǎn)B，且AE、CD交于點(diǎn)P.求證：BP⊥DC.
答案
1．B 2.D 3.B 4.B 5.C 6．x＋3y－7＝0 7.－25
8． 證明 ∵EF∥AB，∴△NEF∽△NAB，
設(shè)＝μ(μ≠1)，則＝μ，＝(μ－1)，
同理，由∥，可得＝(μ－1)，
∴＝－＝－
5、＝(μ－1)，
∵μ≠1，令λ＝μ－1，
∴＝λ，∴AD∥MN.
9． D 10.
11．證明 如圖所示，已知AD，BE，CF是△ABC的三條高．
設(shè)BE，CF交于H點(diǎn)，
令＝b，＝c，＝h，
則＝h－b，
＝h－c，＝c－b.
∵⊥，⊥，
∴(h－b)c＝0，(h－c)b＝0，
即(h－b)c＝(h－c)b，
整理得h(c－b)＝0，∴＝0，
∴AH⊥BC，∴與共線(xiàn)．
AD、BE、CF相交于一點(diǎn)H.
12．證明 如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A(2,0)，C(0,2)，則D(0,1)，
于是＝(－2,1)，
＝(－2,2)，
設(shè)F(x，y)，由⊥，
得＝0
6、，
即(x，y)(－2,1)＝0，
∴－2x＋y＝0.①
又F點(diǎn)在A(yíng)C上，則∥，
而＝(－x,2－y)，
因此2(－x)－(－2)(2－y)＝0，
即x＋y＝2.②
由①、②式解得x＝，y＝，
∴F，＝，
＝(0,1)，＝，
又＝||||cos θ
＝cos θ，
∴cos θ＝，即cos∠FDC＝，
又cos∠ADB＝＝＝，
∴cos∠ADB＝cos∠FDC，
故∠ADB＝∠FDC.
13．證明 設(shè)P＝λC，并設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為a，則有
P＝P＋D＝λC＋B
＝λ(B－B)＋B
＝(2λ＋1)B－λB，
又E＝B－B.
∵P∥E，
∴(2λ＋1)B－λ
＝k－k.
于是有：
解得，λ＝.
∴P＝C.
∴B＝B＋C
＝＋
＝B＋B.C＝B－B.
從而B(niǎo)C＝(B＋B)(B－B)
＝a2－a2－a2cos 60＝0.
∴⊥.
∴BP⊥DC.
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