精校版高中數(shù)學(xué)人教A版選修44學(xué)案：第1講3 簡單曲線的極坐標(biāo)方程 Word版含解析

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1、最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料 三　簡單曲線的極坐標(biāo)方程 1．了解極坐標(biāo)方程的意義，了解曲線的極坐標(biāo)方程的求法． 2．會進(jìn)行曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化；了解簡單圖形(如過極點(diǎn)的直線、過極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓)表示的極坐標(biāo)方程．(重點(diǎn)、易錯點(diǎn)) 3．能夠運(yùn)用直線和圓的極坐標(biāo)方程解決問題．(難點(diǎn)) [基礎(chǔ)初探] 教材整理1　曲線與方程 閱讀教材P12“圓的極坐標(biāo)方程”以上部分，完成下列問題． 在平面直角坐標(biāo)系中，平面曲線C可以用方程f(x，y)＝0表示．曲線與方程滿足如下關(guān)系： (1)曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)＝0的解； (2)以方程f(

2、x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上． 教材整理2　極坐標(biāo)方程 閱讀教材P12～P13“例1”以上部分，完成下列問題． 一般地，在極坐標(biāo)系中，如果平面曲線C上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)中至少有一個滿足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐標(biāo)適合方程f(ρ，θ)＝0的點(diǎn)都在曲線C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲線C的極坐標(biāo)方程． 下列點(diǎn)不在曲線ρ＝cos θ上的是(　　) A. B. C. D. 【解析】　點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足ρ＝，θ＝－，且ρ≠cos θ＝cos＝－. 【答案】　D 教材整理3　常見的極坐標(biāo)方程 閱讀教材P13～P15，完成下列問題． 曲　線 圖　形 極坐標(biāo)方程

3、圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓 ρ＝r(0≤θ<2π) 圓心為(r,0)，半徑為r的圓 ρ＝2rcos_θ 圓心為，半徑為r的圓 ρ＝2rsin_θ(0≤θ<π) 過極點(diǎn)，傾斜角為α的直線 θ＝α或θ＝α＋π 過點(diǎn)(a,0)，與極軸垂直的直線 ρcos_θ＝a 過點(diǎn)，與極軸平行的直線 ρsin_θ＝a(0<θ<π) 極坐標(biāo)方程ρ＝cos所表示的曲線是(　　) A．雙曲線 B．橢圓 C．拋物線 D．圓 【解析】　∵ρ＝cos＝cosθ＋sin θ， ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， ∴x2＋y2＝x＋y，這個方程表示一個圓． 【答案】　

4、D [質(zhì)疑手記] 預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：　 解惑：　 疑問2：　 解惑：　 疑問

5、3：　 解惑：　 [小組合作型] 直線或射線的極坐標(biāo)方程 　求過點(diǎn)A(1,0)，且傾斜角為的直線的極坐標(biāo)方程． 【思路探究】　畫出草圖―→設(shè)點(diǎn)M(ρ，θ)是直線上的任意一點(diǎn)―→建立關(guān)于ρ，θ的方程檢驗． 【自主解答】　 法一　設(shè)M(ρ，θ)為直線上除點(diǎn)A以外的任意一點(diǎn)． 則∠xAM＝，∠OAM＝， ∠OMA＝－θ. 在△OAM中，由正弦定理

6、得 ＝， 即＝，故ρsin＝， 即ρ＝， 化簡得ρ(cos θ－sin θ)＝1， 經(jīng)檢驗點(diǎn)A(1,0)的坐標(biāo)適合上述方程， 所以滿足條件的直線的極坐標(biāo)方程為ρ(cos θ－sin θ)＝1，其中，0≤θ<，ρ≥0和<θ<2π，ρ≥0. 法二　以極點(diǎn)O為直角坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy. ∵直線的斜率k＝tan＝1， ∴過點(diǎn)A(1,0)的直線方程為y＝x－1. 將y＝ρsin θ，x＝ρcos θ代入上式，得ρsin θ＝ρcos θ－1， ∴ρ(cos θ－sin θ)＝1， 其中，0≤θ<，ρ≥0和<θ<2π，ρ≥0. 法一通過運(yùn)用正弦定理解

7、三角形建立了動點(diǎn)M所滿足的等式，從而集中條件建立了以ρ，θ為未知數(shù)的方程；法二先求出直線的直角坐標(biāo)方程，然后通過直角坐標(biāo)向極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式間接得解，過渡自然，視角新穎，不僅優(yōu)化了思維方式，而且簡化了解題過程． [再練一題] 1．若本例中條件不變，如何求以A為端點(diǎn)且在極軸上方的射線的極坐標(biāo)方程？ 【解】　由題意，設(shè)M(ρ，θ)為射線上任意一點(diǎn)， 根據(jù)例題可知，ρsin＝， 化簡得ρ(cos θ－sin θ)＝1. 經(jīng)檢驗點(diǎn)A(1,0)的坐標(biāo)適合上述方程． 因此，以A為端點(diǎn)且在極軸上方的射線的極坐標(biāo)方程為ρ(cos θ－sin θ)＝1. 極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化

8、　若曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ＋4cos θ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系． (1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)若直線ρsin＝0與曲線C相交于A、B，求|AB|. 【思路探究】　利用極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的公式將直線和圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程求解． 【自主解答】　(1)因為所以ρ2＝x2＋y2， 由ρ＝2sin θ＋4cos θ，得ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ ∴x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5. (2)由ρsin＝0， 得ρ＝0， 即ρsin θ－ρcos θ＝0，∴x－y＝0. 由于圓(x－2)2

9、＋(y－1)2＝5的半徑為r＝，圓心(2,1)到直線x－y＝0的距離為d＝＝， ∴|AB|＝2＝3. 1．直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，只需把公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化簡即可；而極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程要通過變形，構(gòu)造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，進(jìn)行整體代換．其中方程的兩邊同乘以(或同除以)ρ及方程兩邊平方是常用的變形方法．但對方程進(jìn)行變形時，方程必須保持同解，因此應(yīng)注意對變形過程的檢驗． 2．對方程進(jìn)行合理變形，并注重公式的正向、逆向與變形使用． [再練一題] 2．在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線ρsin θ＝2的距離等于________．

10、【解析】　極坐標(biāo)系中點(diǎn)對應(yīng)的直角坐標(biāo)為(，1)．極坐標(biāo)系中直線ρsin θ＝2對應(yīng)直角坐標(biāo)系中直線y＝2，故所求距離為1. 【答案】　1 極坐標(biāo)方程的應(yīng)用 　從極點(diǎn)O作直線與另一直線l：ρcos θ＝4相交于點(diǎn)M，在OM上取一點(diǎn)P，使|OM||OP|＝12. (1)求點(diǎn)P的軌跡方程； (2)設(shè)R為l上的任意一點(diǎn)，試求|RP|的最小值． 【思路探究】　(1)建立點(diǎn)P的極坐標(biāo)方程，完成直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)方程的互化．(2)根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合求|RP|的最小值． 【自主解答】　(1)設(shè)動點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(ρ，θ)，M的極坐標(biāo)為(ρ0，θ)，則ρρ0＝12. ∵ρ0cos

11、θ＝4，∴ρ＝3cos θ即為所求的軌跡方程． (2)將ρ＝3cos θ化為直角坐標(biāo)方程，得x2＋y2＝3x， 即＋y2＝， 知P的軌跡是以為圓心，半徑為的圓． 直線l的直角坐標(biāo)方程是x＝4. 結(jié)合圖形(圖略)易得|RP|的最小值為1. 1．用極坐標(biāo)法可使幾何中的一些問題得出很直接、簡單的解法．當(dāng)然，因為建系的不同，曲線的極坐標(biāo)方程也會不同． 2．解題時關(guān)鍵是極坐標(biāo)要選取適當(dāng)，這樣可以簡化運(yùn)算過程，轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)時也容易一些． [再練一題] 3．(2016唐山期末)已知圓C：x2＋y2＝4，直線l：x＋y＝2，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)

12、系． (1)將圓C和直線l方程化為極坐標(biāo)方程； (2)P是l上的點(diǎn)，射線OP交圓C于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在OP上且滿足|OQ||OP|＝|OR|2，當(dāng)點(diǎn)P在l上移動時，求點(diǎn)Q軌跡的極坐標(biāo)方程． 【解】　(1)將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ分別代入圓C和直線l的直角坐標(biāo)方程得其極坐標(biāo)方程為C：ρ＝2， l：ρ(cos θ＋sin θ)＝2. (2)設(shè)P，Q，R的極坐標(biāo)分別為(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，則由|OQ||OP|＝|OR|2得ρρ1＝ρ. 又ρ2＝2，ρ1＝，所以＝4， 故點(diǎn)Q軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)． [探究共研型]

13、圓的極坐標(biāo)方程 探究　如何求圓心為C(ρ1，θ1)，半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程？ 【提示】　如圖所示，設(shè)圓C上的任意一點(diǎn)為M(ρ，θ)，且O、C、M三點(diǎn)不共線，不妨以如圖所示情況加以說明，在△OCM中，由余弦定理得|OM|2＋|OC|2－2|OM||OC|cos∠COM＝|CM|2， ∴ρ2＋ρ－2ρρ1cos(θ－θ1)＝r2，可以檢驗，當(dāng)O、C、M三點(diǎn)共線時的點(diǎn)M的坐標(biāo)也適合上式，當(dāng)θ<θ1時也滿足該式，所以半徑為r，圓心在C(ρ1，θ1)的圓的極坐標(biāo)方程為ρ2＋ρ－2ρρ1cos(θ－θ1)－r2＝0. 　求圓心在C處并且過極點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程，并判斷點(diǎn)是否在這個圓上． 【思

14、路探究】　解答本題先設(shè)圓上任意一點(diǎn)M(ρ，θ)，建立等式轉(zhuǎn)化為ρ，θ的方程，化簡可得，并檢驗特殊點(diǎn)． 【自主解答】　如圖，由題意知，圓經(jīng)過極點(diǎn)O，OA為其一條直徑，設(shè)M(ρ，θ)為圓上除點(diǎn)O，A以外的任意一點(diǎn)，則|OA|＝2r，連接AM，則OM⊥MA. 在Rt△OAM中，|OM|＝|OA|cos∠AOM， 即ρ＝2rcos， ∴ρ＝－4sin θ， 經(jīng)驗證，點(diǎn)O(0,0)，A的坐標(biāo)滿足上式， ∴滿足條件的圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝－4sin θ. ∵sin＝， ∴ρ＝－4sin θ＝－4sin＝－2， ∴點(diǎn)在此圓上． 1．求曲線的極坐標(biāo)方程通常有以下五個步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)?/p>

15、極坐標(biāo)系(本題無需建)；(2)在曲線上任取一點(diǎn)M(ρ，θ)；(3)根據(jù)曲線上的點(diǎn)所滿足的條件寫出等式；(4)用極坐標(biāo)(ρ，θ)表示上述等式，并化簡得曲線的極坐標(biāo)方程；(5)證明所得的方程是曲線的極坐標(biāo)方程(一般只要對特殊點(diǎn)加以檢驗即可)． 2．求曲線的極坐標(biāo)方程，關(guān)鍵是找出曲線上的點(diǎn)滿足的幾何條件，并進(jìn)行坐標(biāo)表示． [再練一題] 4．曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為________． 【解析】　直角坐標(biāo)方程x2＋y2－2x＝0可化為x2＋y2＝2x，將ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ代入整理得ρ＝2c

16、os θ. 【答案】　ρ＝2cos θ [構(gòu)建體系] 極坐標(biāo)方程— 1．圓心在(1,0)且過極點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程為(　　) A．ρ＝1　　　 B．ρ＝cos θ C．ρ＝2cos θ D．ρ＝2sin θ 【解析】　圓的直角坐標(biāo)方程是(x－1)2＋y2＝1，將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入上式，整理得，ρ＝2cos θ，即為此圓的極坐標(biāo)方程． 【答案】　C 2．極坐標(biāo)方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的圖形是(　　) A．兩個圓 B．兩條直線 C．一個圓和一條射線 D．一條直線和一條射線 【解析】　由題設(shè)，得ρ＝1，或θ＝π， ρ＝1表示圓，θ

17、＝π(ρ≥0)表示一條射線． 【答案】　C 3．極坐標(biāo)方程分別為ρ＝2cos θ和ρ＝sin θ的兩個圓的圓心距為________. 【解析】　兩圓方程分別為x2＋y2＝2x，x2＋y2＝y(tǒng)，知兩圓圓心C1(1,0)，C2，∴|C1C2|＝＝. 【答案】　 4．(2016佛山質(zhì)檢)在極坐標(biāo)系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，直線θ＝被圓ρ＝2sin θ截得的弦長是________． 【解析】　直線為y＝x(x≥0)，圓的方程為x2＋(y－1)2＝1，交于原點(diǎn)和點(diǎn)A(1,1)，弦長為. 【答案】　 5．求過(－2,3)點(diǎn)且斜率為2的直線的極坐標(biāo)方程． 【解】　由題意知，直線的

18、直角坐標(biāo)方程為y－3＝2(x＋2)， 即：2x－y＋7＝0. 設(shè)M(ρ，θ)為直線上任意一點(diǎn)， 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入直角坐標(biāo)方程 2x－y＋7＝0得：2ρcos θ－ρsin θ＋7＝0， 這就是所求的極坐標(biāo)方程． 我還有這些不足： (1)　 (2)　 我的課下提升方案： (1)　

19、 (2)　 學(xué)業(yè)分層測評(三) (建議用時：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．極坐標(biāo)方程ρ＝1表示(　　) A．直線　 B．射線 C．圓 D．橢圓 【解析】　由ρ＝1，得ρ2＝1，即x2＋y2＝1，故選C. 【答案】　C 2．過極點(diǎn)且傾斜角為的直線的極坐標(biāo)方程可以為(　　) A．θ＝ B．θ＝，ρ≥0 C．θ＝，ρ≥0 D．θ＝和θ＝，ρ≥0

20、【解析】　以極點(diǎn)O為端點(diǎn)，所求直線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)分成兩條射線． ∵兩條射線的極坐標(biāo)方程為θ＝和θ＝π， ∴直線的極坐標(biāo)方程為θ＝和θ＝π(ρ≥0)． 【答案】　D 3．在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝－2sin θ的圓心的極坐標(biāo)是(　　) A. B. C．(1,0) D．(1，π) 【解析】　由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝－2y，化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y＋1)2＝1，圓心坐標(biāo)為(0，－1)，其對應(yīng)的極坐標(biāo)為. 【答案】　B 4．在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝2cos θ的垂直于極軸的兩條切線方程分別為(　　) A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝

21、2 B．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2 C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1 D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1 【解析】　由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，其垂直于極軸的兩條切線方程為x＝0和x＝2，相應(yīng)的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2. 【答案】　B 5．在極坐標(biāo)系中與圓ρ＝4sin θ相切的一條直線的方程為(　　) A．ρcos θ＝ B．ρcos θ＝2 C．ρ＝4sin D．ρ＝4sin 【解析】　極坐標(biāo)方程ρ＝4sin θ化為ρ2＝4ρsin θ，即x2＋y2＝4y，

22、即x2＋(y－2)2＝4. 由所給的選項中ρcos θ＝2知，x＝2為其對應(yīng)的直角坐標(biāo)方程，該直線與圓相切． 【答案】　B 二、填空題 6．在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝4被直線θ＝分成兩部分的面積之比是________． 【解析】　∵直線θ＝過圓ρ＝4的圓心， ∴直線把圓分成兩部分的面積之比是1∶1. 【答案】　1∶1 7．(2016惠州模擬)若直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ－＝3，曲線C：ρ＝1上的點(diǎn)到直線l的距離為d，則d的最大值為________． 【解析】　直線的直角坐標(biāo)方程為x＋y－6＝0，曲線C的方程為x2＋y2＝1，為圓；d的最大值為圓心到直線的距離加半徑，即為dmax

23、＝＋1＝3＋1. 【答案】　3＋1 8．在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝4sin θ的圓心到直線θ＝(ρ∈R)的距離是________． 【解析】　極坐標(biāo)系中的圓ρ＝4sin θ轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的一般方程為：x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，其圓心為(0,2)，直線θ＝轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的方程為y＝x，即x－3y＝0， ∴圓心(0,2)到直線x－3y＝0的距離為＝. 【答案】　 三、解答題 9．(2016銀川月考)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos＝1，M，N分別為C與x軸，y軸的交點(diǎn)． (1)寫出C的直角坐標(biāo)方程

24、，并求M，N的極坐標(biāo)； (2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程． 【解】　(1)由ρcos＝1， 得ρ＝1. 又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為＋y＝1， 即x＋y－2＝0. 當(dāng)θ＝0時，ρ＝2，∴點(diǎn)M(2,0)． 當(dāng)θ＝時，ρ＝，∴點(diǎn)N. (2)由(1)知，M點(diǎn)的坐標(biāo)(2,0)，點(diǎn)N的坐標(biāo). 又P為MN的中點(diǎn)， ∴點(diǎn)P，則點(diǎn)P的極坐標(biāo)為. 所以直線OP的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)． 10．(2016南通期中)在極坐標(biāo)系下，已知圓O：ρ＝cos θ＋sin θ和直線l：ρsin＝， (1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程； (2)

25、當(dāng)θ∈(0，π)時，求直線l與圓O公共點(diǎn)的一個極坐標(biāo)． 【解】　(1)由ρ＝cos θ＋sin θ，可得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 又代入得⊙O：x2＋y2－x－y＝0， 由l：ρsin＝，得：ρsin θ－ρcos θ＝，ρsin θ－ρcos θ＝1， 又代入得：x－y＋1＝0. (2)由解得 又得 又因為θ∈(0，π)，則θ＝，故為. [能力提升] 1．在極坐標(biāo)系中，曲線ρ＝4sin關(guān)于(　　) A．直線θ＝對稱 B．直線θ＝對稱 C．點(diǎn)對稱 D．極點(diǎn)對稱 【解析】　由方程ρ＝4sin， 得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ， 即x2＋y2＝2y－2

26、x， 配方，得(x＋)2＋(y－1)2＝4. 它表示圓心在(－，1)、半徑為2且過原點(diǎn)的圓， 所以在極坐標(biāo)系中，它關(guān)于直線θ＝成軸對稱． 【答案】　B 2．(2016湛江模擬)在極坐標(biāo)方程中，曲線C的方程是ρ＝4sin θ，過點(diǎn)作曲線C的切線，則切線長為(　　) A．4 B. C．2 D．2 【解析】　ρ＝4sin θ化為直角坐標(biāo)方程為x2＋(y－2)2＝4，點(diǎn)化為直角坐標(biāo)為(2，2)，切線長、圓心到定點(diǎn)的距離及半徑構(gòu)成直角三角形，由勾股定理：切線長為＝2. 【答案】　C 3．在極坐標(biāo)系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲線ρ＝2sin θ與ρcos θ＝－1的交點(diǎn)的極坐標(biāo)

27、為________． 【解析】　由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 其直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝2y， ρcos θ＝－1的直角坐標(biāo)方程為x＝－1， 聯(lián)立 解得點(diǎn)(－1,1)的極坐標(biāo)為. 【答案】　 4．在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，已知圓C的圓心為，半徑r＝1，P在圓C上運(yùn)動． (1)求圓C的極坐標(biāo)方程； (2)在直角坐標(biāo)系(與極坐標(biāo)系取相同的長度單位，且以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，以極軸為x軸正半軸)中，若Q為線段OP的中點(diǎn)，求點(diǎn)Q軌跡的直角坐標(biāo)方程． 【解】　(1)設(shè)圓C上任一點(diǎn)坐標(biāo)為(ρ，θ)，由余弦定理得12＝ρ2＋22－22ρcos， 所以圓的極坐標(biāo)方程為ρ2－4ρcos＋3＝0. (2)設(shè)Q(x，y)，則P(2x,2y)，由于圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋(y－)2＝1，P在圓C上，所以(2x－1)2＋(2y－)2＝1，則Q的直角坐標(biāo)方程為2＋2＝. 最新精品資料