新版高中數(shù)學(xué)北師大版選修22教案:第1章 教材解讀:反證法

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1、新版數(shù)學(xué)北師大版精品資料 《反證法》教材解讀 一、重點(diǎn)知識(shí)梳理 反證法(間接證明)是不同于綜合法與分析法(直接證明)的又一種證明方法,它不是從原命題的條件逐步推得命題成立。反證法就是一種常用的間接證明方法。反證法的證明過程可以概括為“否定—推理—否定”,即從否定結(jié)論開始,經(jīng)過正確的推理,導(dǎo)致邏輯矛盾,從而達(dá)到新的否定(即肯定原命題)的過程。用反證法證明“若p則q”的過程可以用以下框圖表示: 肯定條件p 否定結(jié)論q 導(dǎo) 致 邏輯矛盾 “若p則q” 為 真 “p且┐q” 為 假 這個(gè)過程包括下面三個(gè)步驟: (1)

2、反設(shè)——假設(shè)命題的結(jié)論不成立,即假定原結(jié)論的反面為真; (2)歸謬——從反設(shè)和已知條件出發(fā),經(jīng)過一系列正確的邏輯推理,得出矛盾結(jié)果; (3)存真——由矛盾結(jié)果,斷定反設(shè)不真,從而肯定原結(jié)論成立。 說明:1、反證法的原理:否定之否定等于肯定 2、反證法的實(shí)質(zhì):原命題和它的逆否命題是等價(jià)命題 二、疑、難點(diǎn)解析 利用反證法證明不等式,如何依據(jù)題設(shè)條件和不等式的結(jié)論制造矛盾是本節(jié)內(nèi)容的一個(gè)難點(diǎn)。 例1、若、,且,求證:與至少有一個(gè)小于 證明:假設(shè)與均不小于,即,且 ∵ 、,∴且 ∴ ,∴ 這與已知相矛盾 ∴假設(shè)不成立,故原命題正確 點(diǎn)評(píng):證明的結(jié)論中若有

3、“至多”“至少”等字詞時(shí),??梢钥紤]用反證法解決。 注意:(1)利用反證法證明時(shí),第一步“假設(shè)”不要寫成“設(shè)”。 (2)應(yīng)用反證法證題要充分理解兩個(gè)否定:第一個(gè)否定是指“否定結(jié)論”;第二個(gè)否定是指“邏輯推理結(jié)果否定了假設(shè)”。 例2、已知函數(shù) 試用反證法證明方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根。 證法1 假設(shè)存在滿足,則 ∵ ∴,即與假設(shè)矛盾, 故方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根。 證法2 假設(shè)存在滿足, ①若,則, ∴,這與矛盾;

4、 ②若,則, ∴,這與矛盾。 故方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根。 點(diǎn)評(píng): 命題中含有否定詞時(shí),常用反證法。 注意:(1)由以上證明過程可以看出,用反證法證明問題時(shí),推出矛盾的途徑多種多樣。一定要明確矛盾的所在,不可稀里糊涂。 總之無論是在日常生活中還是在數(shù)學(xué)中,都經(jīng)常應(yīng)用反證法.而且對(duì)于處理正面復(fù)雜性問題、至多至少性問題、否定性問題、唯一性問題、存在性問題以及無理性問題等,反證法都具有特殊的優(yōu)越性。 反證法的證題過程其實(shí)是證明原命題“若p則q”的否定“若p則 q”是錯(cuò)誤的 我們?cè)趯W(xué)習(xí)反證法時(shí)會(huì)出現(xiàn)兩方面的困難: 1 “

5、否定結(jié)論”部分,把握不清結(jié)論的“反”是什么。 使用反證法證明問題時(shí),準(zhǔn)確地做出反設(shè)(即否定結(jié)論)是正確運(yùn)用反證法的前提,常用的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”列表如下: 詞 語 等于 大于 小于 都是 一定是 至少有一個(gè) 至 少 n 個(gè) 至多一個(gè) 至 多 n 個(gè) 只有一個(gè) P或q P且q 對(duì)所 有x 成立 詞 語的否定 不等于 小于等于 大于等于 不都是 一定不是 一個(gè)也沒有 至 多n-1個(gè) 至少兩個(gè) 至 少n+1個(gè) 沒有或至少有兩個(gè) P且 q P或q 存在 某個(gè)x不 成立 2、“導(dǎo)出矛盾”部分,有時(shí)與已知條件相矛盾;有時(shí)與假設(shè)相矛盾;而有時(shí)又是與某個(gè)定義、公理、定理或事實(shí)相矛盾,還有的是自相矛盾.因此我們有時(shí)弄不明白究竟是與什么矛盾.

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