高考數(shù)學(xué) 備考沖刺之易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛系列專題 概率與統(tǒng)計(jì)理科學(xué)生版

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1、 概率與統(tǒng)計(jì) 一、高考預(yù)測(cè) 計(jì)數(shù)原理、概率統(tǒng)計(jì)部分是高中數(shù)學(xué)中使用課時(shí)最多的一個(gè)知識(shí)板塊，高考對(duì)該部分的考查分值也較多．從近幾年的情況看，該部分考查的主要問(wèn)題是排列組合應(yīng)用問(wèn)題，二項(xiàng)式定理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用，隨機(jī)抽樣，樣本估計(jì)總體，線性回歸分析，獨(dú)立性檢驗(yàn)，古典概型，幾何概型，事件的獨(dú)立性，隨機(jī)變量的分布、期望和方差，正態(tài)分布的簡(jiǎn)單應(yīng)用，在試卷中一般是2～3個(gè)選擇題、填空題，一個(gè)解答題，試題難度中等或者稍易．預(yù)計(jì)20xx年該部分的基本考查方向還是這樣，雖然可能出現(xiàn)一些適度創(chuàng)新，但考查的基本點(diǎn)不會(huì)發(fā)生大的變化．計(jì)數(shù)原理、概率統(tǒng)計(jì)部分的復(fù)習(xí)要從整體上，從知識(shí)的相互關(guān)系上進(jìn)行．概率試題的核心是

2、概率計(jì)算，其中事件之間的互斥、對(duì)立和獨(dú)立性是概率計(jì)算的核心，排列組合是進(jìn)行概率計(jì)算的工具，在復(fù)習(xí)概率時(shí)要抓住概率計(jì)算的核心和這個(gè)工具；統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的核心是樣本數(shù)據(jù)的分布，反映樣本數(shù)據(jù)的方法：樣本頻數(shù)表、樣本頻率分布表、頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，得到樣本數(shù)據(jù)的方法是隨機(jī)抽樣，在復(fù)習(xí)統(tǒng)計(jì)部分時(shí)，要緊緊抓住這些圖表和方法，把圖表的含義弄清楚，這樣剩下的問(wèn)題就是有關(guān)的計(jì)算和對(duì)統(tǒng)計(jì)思想的理解，如樣本均值和方差的計(jì)算，用樣本估計(jì)總體等． 二、知識(shí)導(dǎo)學(xué) (4)解決概率問(wèn)題要注意“四個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)合”：求概率的步驟是：第一步，確定事件性質(zhì)即所給的問(wèn)題歸結(jié)為四類事件中的某一種.第二步，判斷事件的運(yùn)算

3、即是至少有一個(gè)發(fā)生，還是同時(shí)發(fā)生，分別運(yùn)用相加或相乘事件.第三步，運(yùn)用公式求解第四步，答，即給提出的問(wèn)題有一個(gè)明確的答復(fù). （1）二項(xiàng)分布 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，其所有可能的取值為0，1，2，…n，并且，其中，，隨機(jī)變量的分布列如下： 0 1 … … P … 稱這樣隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作，其中、為參數(shù)，并記：. （2） 幾何分布 在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，某事件第一次發(fā)生時(shí)所作的試驗(yàn)的次數(shù)是一個(gè)取值為正整數(shù)的離散型隨機(jī)變量，“”表示在第k次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)事件第一次發(fā)生. 隨機(jī)變量的概率分布

4、為： 1 2 3 … k … P p qp … … 要點(diǎn)3 離散型隨機(jī)變量的期望與方差 要點(diǎn)4 抽樣方法與總體分布的估計(jì) 3．分層抽樣：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣. 要點(diǎn)5 正態(tài)分布與線性回歸 1.正態(tài)分布的概念及主要性質(zhì) 2.線性回歸 簡(jiǎn)單的說(shuō)，線性回歸就是處理變量與變量之間的線性關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法. 變量和變量之間的關(guān)系大致可分為兩種類型：確定性的函數(shù)關(guān)系和不確定的函數(shù)關(guān)系.不確定性的兩個(gè)變量之間往往仍有規(guī)律可循.回歸分析就是處理變量之間的相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)

5、量統(tǒng)計(jì)方法.它可以提供變量之間相關(guān)關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式.具體說(shuō)來(lái)，對(duì)n個(gè)樣本數(shù)據(jù)（），（），…，（），其回歸直線方程，或經(jīng)驗(yàn)公式為：.其中，其中分別為||、||的平均數(shù). 三、易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛 【易錯(cuò)點(diǎn)2】二項(xiàng)式展開(kāi)式中的項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的概念掌握不清，容易混淆，導(dǎo)致出錯(cuò) 1、在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為 ，二項(xiàng)式系數(shù)為 。 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】在通項(xiàng)公式中，是二項(xiàng)式系數(shù)，是項(xiàng)的系數(shù)。 解析：令，得，則項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，項(xiàng)的系數(shù)為。 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】在二項(xiàng)展開(kāi)式中，利用通項(xiàng)公式求展開(kāi)式中具有某些特性的項(xiàng)是一類典型問(wèn)題，其通常做法就是確定通項(xiàng)公式中r的取值或取值范圍，

6、須注意二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系 2、如果的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128，則展開(kāi)式中的系數(shù)是（ ） （A）7 （B） （C）21 （D） 解析：當(dāng)時(shí)即,根據(jù)二項(xiàng)式通項(xiàng)公式得 時(shí)對(duì)應(yīng),即故項(xiàng)系數(shù)為. 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】在的展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是中間項(xiàng)，但當(dāng)a，b的系數(shù)不為1時(shí)，最大系數(shù)值的位置不一定在中間，可通過(guò)解不等式組來(lái)確定之 2.在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)為 。（結(jié)果用數(shù)值表示） 解析：展開(kāi)式中第r+1項(xiàng)為，要使項(xiàng)的系數(shù)最小，則r為奇數(shù)，且使為最大，由此得，所以項(xiàng)的系

7、數(shù)為。 （1） 在問(wèn)題（3）的基礎(chǔ)上，再分配即可，共有分配方式種。 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】本題是有關(guān)分組與分配的問(wèn)題，是一類極易出錯(cuò)的題型，對(duì)于此類問(wèn)題的關(guān)鍵是搞清楚是否與順序有關(guān)，分清先選后排，分類還是分步完成等，對(duì)于平均分組問(wèn)題更要注意順序，避免計(jì)算重復(fù)或遺漏。 2.從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到三個(gè)班擔(dān)任班主任（每班一位班主任），要求這三位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方法共有（ ） A、 210種 B、420種 C、630種 D、840種 解析：首先選擇3位教師的方案有：①一男兩女；計(jì)；②兩男一女：計(jì)=40。 其次派出3位教師的方案是=6。故不同

8、的選派方案共有種。 （3）甲、乙2人先排好，共有種排法；再?gòu)挠嘞碌?人中選三人排在甲、乙2人中間，有種排法，這時(shí)把已排好的5人看作一個(gè)整體，與剩下的2人再排，又有種排法；這樣，總共有種不同的排法。 【易錯(cuò)點(diǎn)6】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，事件A發(fā)生k次的概率：二項(xiàng)分布列的概率公式：，三者在形式上的相似，在應(yīng)用容易混淆而導(dǎo)致出錯(cuò)。 1.某同學(xué)參加科普知識(shí)競(jìng)賽，需回答三個(gè)問(wèn)題，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得—100分。假設(shè)這名同學(xué)每題回答正確的概率均為0.8，且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響。(1)求這名同學(xué)回答這三個(gè)問(wèn)題的總得分的概率分布和數(shù)學(xué)期望。(2)求這名同學(xué)總得

9、分不為負(fù)分（即）的概率。 解析：（1）的可能取值為—300，—100，100，300。 所以的概率分布為 —300 —100 100 300 P 0.008 0.096 0.384 0.512 根據(jù)的概率分布，可得的期望 （2）這名同學(xué)總得分不為負(fù)分的概率為 。 從而的分布列為 0 1 2 3 4 P （2）。 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】在正態(tài)分布中，為總體的平均數(shù)，為總體的標(biāo)準(zhǔn)差，另外，正態(tài)分布在的概率為，在內(nèi)取值的概率為。解題時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意正態(tài)分布在各個(gè)區(qū)間的取值概率，不可混淆，否則，將出現(xiàn)計(jì)算失誤。 四

10、、典型習(xí)題導(dǎo)練 1、一籠子中裝有2只白貓，3只黑貓，籠門打開(kāi)每次出來(lái)一只貓，每次每只貓都有可能出來(lái)。（Ⅰ）第三次出來(lái)的是只白貓的概率；（Ⅱ）記白貓出來(lái)完時(shí)籠中所剩黑貓數(shù)為，試求的概率分布列及期望。 2、深圳市某校中學(xué)生籃球隊(duì)假期集訓(xùn)，集訓(xùn)前共有6個(gè)籃球，其中3個(gè)是新球（即沒(méi)有用過(guò)的球）， 3 個(gè)是舊球（即至少用過(guò)一次的球）．每次訓(xùn)練，都從中任意取出2 個(gè)球，用完后放回．（Ⅰ）設(shè)第一次訓(xùn)練時(shí)取到的新球個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）求第二次訓(xùn)練時(shí)恰好取到一個(gè)新球的概率． 5、某學(xué)生參加跳高和跳遠(yuǎn)兩項(xiàng)體育測(cè)試，測(cè)試評(píng)價(jià)設(shè)三個(gè)等級(jí)，如果他這兩項(xiàng)測(cè)試得到的概率分別依次為和。(Ⅰ)求該學(xué)生恰好

11、得到一個(gè)和一個(gè)的概率；（Ⅱ）如果得到一個(gè)記15分，一個(gè)記10分，一個(gè)記5分，設(shè)該學(xué)生這兩項(xiàng)測(cè)試得分之和為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望。 6、某電視臺(tái)有A、B兩種智力闖關(guān)游戲，甲、乙、丙、丁四人參加，其中甲乙兩人各自獨(dú)立進(jìn)行游戲A，丙丁兩人各自獨(dú)立進(jìn)行游戲B.已知甲、乙兩人各自闖關(guān)成功的概率均為，丙、丁兩人各自闖關(guān)成功的概率均為.(Ⅰ)求游戲A被闖關(guān)成功的人數(shù)多于游戲B被闖關(guān)成功的人數(shù)的概率；（Ⅱ） 記游戲A、B被闖關(guān)成功的總?cè)藬?shù)為，求的分布列和期望. 7、盒內(nèi)有大小相同的9個(gè)球，其中2個(gè)紅色球，3個(gè)白色球，4個(gè)黑色球. 規(guī)定取出1個(gè)紅色球得1分，取出1個(gè)白色球得0分，取出1個(gè)黑色球得－1分 .

12、現(xiàn)從盒內(nèi)任取3個(gè)球（Ⅰ）求取出的3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率；（Ⅱ）求取出的3個(gè)球得分之和恰為1分的概率；（Ⅲ）設(shè)為取出的3個(gè)球中白色球的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 8、如圖3，兩點(diǎn)之間有條網(wǎng)線連接，它們能通過(guò)的最大信息量分別為. 從中任取三條網(wǎng)線且使每條網(wǎng)線通過(guò)最大信息量, 設(shè)這三條網(wǎng)線通過(guò)的最大信息量之和為 （Ⅰ）當(dāng)時(shí),則保證線路信息暢通,求線路信息暢通的概率; （Ⅱ）求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 11、20xx年2月份，從銀行房貸部門得到好消息，首套住房貸款利率將回歸基準(zhǔn)利率. 某大型銀行在一個(gè)星期內(nèi)發(fā)放貸款的情況統(tǒng)計(jì)如圖所示： ⑴求在本周內(nèi)該銀行所借貸客戶的平均貸款年

13、限（取過(guò)剩近似整數(shù)值）；⑵從本周內(nèi)該銀行所借貸客戶中任意選取兩位，求他們貸款年限相同的概率； ⑶假設(shè)該銀行此星期的貸款業(yè)績(jī)一共持續(xù)10個(gè)星期不變，在這段時(shí)間里，每星期都從借貸客戶中選出一人，記表示其中貸款年限不超過(guò)20年得人數(shù)，求. 12、為增強(qiáng)市民節(jié)能環(huán)保意識(shí)，某市面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者．現(xiàn)從符合條件的500名志愿者中隨機(jī)抽取100名志愿者，他們的年齡情況如下表所示．（Ⅰ）頻率分布表中的①、②位置應(yīng)填什么數(shù)據(jù)？并在答題卡中補(bǔ)全頻率分布直方圖（如圖），再根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這500名志愿者中年齡在[30，35)歲的人數(shù)；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年齡再采用分層抽樣法抽取20人參

14、加中心廣場(chǎng)的宣傳活動(dòng)，從這20人中選取2名志愿者擔(dān)任主要負(fù)責(zé)人，記這2名志愿者中“年齡低于30歲”的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望． 分組（單位：歲） 頻數(shù) 頻率 [20，25) 5 0.05 [25，30) ① 0.20 [30，35) 35 ② [35，40) 30 0.30 [40，45] 10 0.10 合計(jì) 100 1.00 13、某高校在20xx年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績(jī)，按成績(jī)共分五組，得到頻率分布表如下表所示。 14、空氣質(zhì)量指數(shù)(單位:)表示每立方米空

15、氣中可入肺顆粒物的含量,這個(gè)值越高,就代表空氣污染越嚴(yán)重: 日均濃度 空氣質(zhì)量級(jí)別 一級(jí) 二級(jí) 三級(jí) 四級(jí) 五級(jí) 六級(jí) 空氣質(zhì)量類別 優(yōu) 良 輕度污染 中度污染 重度污染 嚴(yán)重污染 某市年月日—月日(天)對(duì)空氣質(zhì)量指數(shù)進(jìn)行監(jiān)測(cè),獲得數(shù)據(jù)后得到如下條形圖:（Ⅰ）估計(jì)該城市一個(gè)月內(nèi)空氣質(zhì)量類別為良的概率； （Ⅱ）在上述個(gè)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中任取個(gè),設(shè)為空氣 質(zhì)量類別為優(yōu)的天數(shù),求的分布列. 級(jí)別 O 5 16 8 天數(shù) 4 2 10 15 15、戶外運(yùn)動(dòng)已經(jīng)成為一種時(shí)

16、尚運(yùn)動(dòng)，某單位為了了解員工喜歡戶外運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，對(duì)本單位的50名員工進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到了如下列聯(lián)表： 喜歡戶外運(yùn)動(dòng) 不喜歡戶外運(yùn)動(dòng) 合計(jì) 男性 5 女性 10 合計(jì) 50 已知在這50人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡戶外運(yùn)動(dòng)的員工的概率是.（Ⅰ）請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；（Ⅱ）是否有99.5﹪的把握認(rèn)為喜歡戶外運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)？并說(shuō)明你的理由；（Ⅲ）經(jīng)進(jìn)一步調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在喜歡戶外運(yùn)動(dòng)的10名女性員工中，有4人還喜歡瑜伽.若從喜歡戶外運(yùn)動(dòng)的10位女性員工中任選3人，記表示抽到喜歡瑜伽的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.下面的臨界值表僅供參考： 0.15

17、 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （） 喜歡戶外運(yùn)動(dòng) 不喜歡戶外運(yùn)動(dòng) 合計(jì) 男性 20 5 25 女性 10 15 25 16、在某醫(yī)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，某實(shí)驗(yàn)小組為了分析某種藥物用藥量與血液中某種抗體水平的關(guān)系，選取六只實(shí)驗(yàn)動(dòng)物進(jìn)行血檢，得到如下資料： 動(dòng)物編號(hào) 1 2 3 4 5 6 用藥量x（單位） 1 3 4 5 6 8 抗體指標(biāo)y (單位） 3.4 3.7 3.8 4

18、.0 4.2 4.3 記為抗體指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差，若抗體指標(biāo)落在內(nèi)則稱該動(dòng)物為有效動(dòng)物，否則稱為無(wú)效動(dòng)物.研究方案規(guī)定先從六只動(dòng)物中選取兩只，用剩下的四只動(dòng)物的數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對(duì)被選取的兩只動(dòng)物數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn). 17、一個(gè)盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個(gè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)：，，，，，． （１）現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得一個(gè)新函數(shù)，求所得函數(shù)是奇函數(shù)的概率；（２）現(xiàn)從盒子中進(jìn)行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，求抽取次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望． 18、“肇實(shí)，正名芡實(shí)，因肇慶所產(chǎn)之芡實(shí)顆粒大、藥力強(qiáng)，故名?！蹦晨蒲兴鶠檫M(jìn)

19、一步改良肇實(shí)，為此對(duì)肇實(shí)的兩個(gè)品種（分別稱為品種A和品種B）進(jìn)行試驗(yàn)．選取兩大片水塘，每大片水塘分成n小片水塘，在總共2n小片水塘中，隨機(jī)選n小片水塘種植品種A，另外n小片水塘種植品種B． （1）假設(shè)n=4，在第一大片水塘中，種植品種A的小片水塘的數(shù)目記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望； （2）試驗(yàn)時(shí)每大片水塘分成8小片，即n=8，試驗(yàn)結(jié)束后得到品種A和品種B在每個(gè)小片水塘上的每畝產(chǎn)量（單位：kg/畝）如下表： 號(hào)碼 1 2 3 4 5 6 7 8 品種A 101 97 92 103 91 100 110 106 品種B 115 107 112 10

20、8 111 120 110 113 分別求品種A和品種B的每畝產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該種植哪一品種？（12分） 20、甲、乙兩同學(xué)進(jìn)行下棋比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分（無(wú)平局），比賽進(jìn)行到有一個(gè)人比對(duì)方多2分或比滿8局時(shí)停止，設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立．已知第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為． （I）如右圖為統(tǒng)計(jì)這次比賽的局?jǐn)?shù)n和甲、乙的總得分S，T的程序框圖． 其中如果甲獲勝，輸人a=l．b=0;如果乙獲勝，則輸人a=0，b=1． 請(qǐng)問(wèn)在①②兩個(gè)判斷框中應(yīng)分別填寫什么條件？（Ⅱ）求p的值； （Ⅲ）設(shè)表示比賽停止時(shí)已比賽的局?jǐn)?shù)，求隨機(jī)變量的分布列和 【解析】（Ⅰ）程序框圖中的①應(yīng)填，②應(yīng)填.