《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第五章 :第五節(jié) 數(shù)列的綜合問題回扣主干知識(shí)提升學(xué)科素養(yǎng)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第五章 :第五節(jié) 數(shù)列的綜合問題回扣主干知識(shí)提升學(xué)科素養(yǎng)(5頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 精品資料
第五節(jié) 數(shù)列的綜合問題
【考綱下載】[來源:]
能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系,并能用相關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題.
1.?dāng)?shù)列綜合應(yīng)用題的解題步驟
(1)審題——弄清題意,分析涉及哪些數(shù)學(xué)內(nèi)容,在每個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容中,各是什么問題.
(2)分解——把整個(gè)大題分解成幾個(gè)小題或幾個(gè)“步驟”,每個(gè)小題或每個(gè)“步驟”分別是數(shù)列問題、函數(shù)問題、解析幾何問題、不等式問題等.[來源:]
(3)求解——分別求解這些小題或這些“步驟”,從而得到整個(gè)問題的解答.
具體解題步驟如下框圖:
2、 ,
還原 數(shù)學(xué)化
標(biāo)準(zhǔn)化
2.常見的數(shù)列模型
(1)等差數(shù)列模型:通過讀題分析,由題意抽象出等差數(shù)列,利用等差數(shù)列有關(guān)知識(shí)解決問題.
(2)等比數(shù)列模型:通過讀題分析,由題意抽象出等比數(shù)列,利用等比數(shù)列有關(guān)知識(shí)解決問題.
(3)遞推公式模型:通過讀題分析,由題意把所給條件用數(shù)列遞推式表達(dá)出來,然后通過分析遞推關(guān)系式求解.
1.設(shè)本金為a,每期利率為r,存期為n,若按單利計(jì)算,本利和是多少?此模型是等差數(shù)列模型還是等比數(shù)列模型?
提示:本利和為a(1+rn
3、),屬等差數(shù)列模型.
2.設(shè)本金為a,每期利率為r,存期為n,若按復(fù)利計(jì)算,本利和是多少?此模型是等差數(shù)列模型還是等比數(shù)列模型?
提示:本利和為a(1+r)n,屬等比數(shù)列模型.
1.設(shè){an}是公差不為0的等差數(shù)列,a1=2且a1,a3,a6成等比數(shù)列,則{an}的前n項(xiàng)和Sn=( )
A.+ B.+
C.+ D.n2+n
解析:選A 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.
∵a1,a3,a6成等比數(shù)列,
∴a=a1a6,即(a1+2d)2=a1(a1+5d).
又a1=2,
∴(2+2d)2=2(2+5
4、d),
解之得d=或d=0(舍).
∴Sn=na1+d=2n+=+.
2.已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差數(shù)列,x,c,d,y成等比數(shù)列,則的最小值是( )
A.0 B.1 C.2 D.4
解析:選D ∵x,a,b,y成等差數(shù)列,∴a+b=x+y,又x,c,d,y成等比數(shù)列,∴cd=xy.∴==2+≥2+=4.
當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí)取等號(hào),所以的最小值是4.
3.
在如圖所示的表格中,如果每格填上一個(gè)數(shù)后,每一行成等差數(shù)列,每一列成等比數(shù)列,那么x+y+z的值為( )
A.1 B.2
5、C.3 D.4
解析:選C 由題意知,第三列各數(shù)成等比數(shù)列,故x=1;第一行第五個(gè)數(shù)為6,第二行第五個(gè)數(shù)為3,故z=;
第一行第四個(gè)數(shù)為5,第二行第四個(gè)數(shù)為,故y=,從而x+y+z=3.
4.已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}滿足:an+1+an-1=a(n≥2),等比數(shù)列{bn}滿足:bn+1bn-1=2bn(n≥2),則log2(a2+b2)=________.
解析:由題意可知an+1+an-1=2an=a,解得an=2(n≥2)(由于數(shù)列{an}每項(xiàng)都是正數(shù),故an=0舍去),
又bn+1bn-1=b=2bn(n≥2),
所以bn=2(n≥2),
所以log2(a
6、2+b2)=log24=2.
答案:2
5.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,對(duì)任意n∈N*都有Sn=an-,若1<Sk<9(k∈N*),則k的值為________.
解析:由Sn=an-,得
當(dāng)n=1時(shí),S1=a1=a1-,則a1=-1.
當(dāng)n≥2時(shí),Sn=(Sn-Sn-1)-,
即Sn=-2Sn-1-1.
令Sn+p=-2(Sn-1+p),得
Sn=-2Sn-1-3p,可知p=.
故數(shù)列是以-為首項(xiàng),-2為公比的等比數(shù)列.[來源:]
則Sn+=-(-2)n-1,
即Sn=-(-2)n-1-.
由1<-(-2)k-1-<9,k∈N*,得k=4.
答案:4
前
7、沿?zé)狳c(diǎn)(七)
數(shù)列中的三類探索性問題
1.條件探索性問題
此類問題的基本特征是:針對(duì)一個(gè)結(jié)論,條件未知需探求,或條件增刪需確定,或條件正誤需判定;解決此類問題的基本策略是:執(zhí)果索因,先尋找結(jié)論成立的必要條件,再通過檢驗(yàn)或認(rèn)證找到結(jié)論成立的充分條件,在“執(zhí)果索因”的過程中,常常會(huì)犯的一個(gè)錯(cuò)誤是不考慮推理過程的可逆與否,誤將必要條件當(dāng)作充分條件,應(yīng)引起注意.
[典例1] 已知數(shù)列{an}中,a1=2,a2=3,其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn+2+Sn=2Sn+1+1(n∈N*);數(shù)列{bn}中,b1=a1,bn+1=4bn+6(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2
8、)設(shè)cn=bn+2+(-1)n-1λ2an(λ為非零整數(shù),n∈N*),試確定λ的值,使得對(duì)任意n∈N*,都有cn+1>cn成立.[來源:]
[解題指導(dǎo)] 處理第(2)問中的cn+1>cn恒成立問題,可通過構(gòu)造函數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,再來研究所構(gòu)造的函數(shù)的最值.
[解] (1)由已知得Sn+2-Sn+1-(Sn+1-Sn)=1,
所以an+2-an+1=1(n≥1).
又a2-a1=1,
所以數(shù)列{an}是以a1=2為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.
所以an=n+1.
因?yàn)閎n+1=4bn+6,即bn+1+2=4(bn+2),
又b1+2=a1+2=4,
所以數(shù)列{b2+2
9、}是以4為首項(xiàng),4為公比的等比數(shù)列.
所以bn=4n-2.
(2)因?yàn)閍n=n+1,bn=4n-2,
所以cn=4n+(-1)n-1λ2n+1.要使cn+1>cn成立,
需cn+1-cn=4n+1-4n+(-1)nλ2n+2-(-1)n-1λ2n+1>0恒成立,
化簡(jiǎn)得34n-3λ(-1)n-12n+1>0恒成立,
即(-1)n-1λ<2n-1恒成立,
①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),即λ<2n-1恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí),2n-1有最小值1,所以λ<1;
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),即λ>-2n-1恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí),-2n-1有最大值-2,所以λ>-2,即-2<λ<1.[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
又λ
10、為非零整數(shù),則λ=-1.
綜上所述,存在λ=-1,使得對(duì)任意n∈N*,都有cn+1>cn成立.
[名師點(diǎn)評(píng)] 對(duì)于數(shù)列問題,一般要先求出數(shù)列的通項(xiàng),不是等差數(shù)列和等比數(shù)列的要轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列.遇到Sn要注意利用Sn與an的關(guān)系將其轉(zhuǎn)化為an,再研究其具體性質(zhì).遇到(-1)n型的問題要注意分n為奇數(shù)與偶數(shù)兩種情況進(jìn)行討論,本題易忘掉對(duì)n的奇偶性的討論而致誤.
2.結(jié)論探索性問題
此類問題的基本特征是:有條件而無結(jié)論或結(jié)論的正確與否需要確定;解決此類問題的策略是:先探索結(jié)論而后去論證結(jié)論,在探索過程中??上葟奶厥馇樾稳胧?,通過觀察、分析、歸納、判斷來猜測(cè),得出結(jié)論,再就一般情形去認(rèn)
11、證結(jié)論.
[典例2] 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足:a=2a+anan+1,且a2+a4=2a3+4,其中n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足:bn=,是否存在正整數(shù)m,n(1
12、)=0.
又an>0,所以2an-an+1=0,即2an=an+1.
所以數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列.
由a2+a4=2a3+4,得2a1+8a1=8a1+4,解得a1=2.
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n(n∈N*).
(2)因?yàn)閎n==,
所以b1=,bm=,bn=.
若b1,bm,bn成等比數(shù)列,則2=,
即=.
由=,可得=,
所以-2m2+4m+1>0,從而1-1,所以m=2,此時(shí)n=12.
故當(dāng)且僅當(dāng)m=2,n=12時(shí),b1,bm,bn成等比數(shù)列.
[名師點(diǎn)評(píng)] 對(duì)于結(jié)論探索性問題,需要先得出一個(gè)結(jié)論,再進(jìn)行證明
13、.注意含有兩個(gè)變量的問題,變量歸一是常用的解題思想,一般把其中的一個(gè)變量轉(zhuǎn)化為另一個(gè)變量,根據(jù)題目條件,確定變量的值.遇到數(shù)列中的比較大小問題可以采用構(gòu)造函數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明,這是解決復(fù)雜問題常用的方法.
3.存在探索性問題
此類問題的基本特征是:要判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學(xué)對(duì)象(數(shù)值、圖形、函數(shù)等)是否存在或某一結(jié)論是否成立;解決此類問題的一般方法是:假定題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在或結(jié)論成立或暫且認(rèn)可其中的一部分結(jié)論,然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理,若由此導(dǎo)出矛盾,則否定假設(shè),否則,給出肯定結(jié)論,其中反證法在解題中起著重要的作用.
[典例3] 已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=,an+1
14、=,n∈N*.
(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(2)是否存在互不相等的正整數(shù)m,s,n,使m,s,n成等差數(shù)列,且am-1,as-1,an-1成等比數(shù)列?如果存在,請(qǐng)給以證明;如果不存在,請(qǐng)說明理由.
[解題指導(dǎo)] 第(1)問中an+1與an的關(guān)系以分式形式給出,可以通過取倒數(shù)處理,目的仍然是變?yōu)榈炔顢?shù)列或等比數(shù)列;第(2)問可先假設(shè)所探求問題存在再去求解,注意應(yīng)用重要不等式進(jìn)行判斷.
[解] (1)證明:因?yàn)椋剑?
所以-1=.
又因?yàn)椋?≠0,所以-1≠0(n∈N*).
所以數(shù)列為等比數(shù)列.
(2)假設(shè)存在,則m+n=2s,
(am-1)(an-1)=(as-1)2,
由(1)知-1=(a1-1)n-1=,
則an=,
所以=2,
化簡(jiǎn)得3m+3n=23s.
因?yàn)?m+3n≥2=23s,當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)等號(hào)成立,又m,s,n互不相等,所以不存在.
[名師點(diǎn)評(píng)] 數(shù)列問題是以分式形式給出條件的,一般采用取倒數(shù),再轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列,通過等差數(shù)列與等比數(shù)列的橋梁作用求出通項(xiàng).遇到多個(gè)變量的存在性問題,一般假設(shè)存在,求出滿足的關(guān)系,再尋找滿足的條件,一般可以利用重要不等式、值域或范圍等判斷是否存在.