華理高數(shù)全部復(fù)習(xí)資料之重積分

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1、第12章 重積分 內(nèi)容提要 （一）二重積分概念和性質(zhì) 1．二重積分定義：設(shè)二元函數(shù)定義在有界閉區(qū)域上。將任意劃分成除公共邊界外沒有其它公共部分的個(gè)子區(qū)域（），在每個(gè)中任取一點(diǎn)（），作和式。令表示各子區(qū)域直徑的最大值，若極限存在，且極限值和區(qū)域的分割方式以及各子區(qū)域中點(diǎn)的取法無關(guān)，則稱函數(shù)在區(qū)域上可積，并稱此極限為在區(qū)域上的二重積分，記作，即 其中，稱為被積函數(shù)，為被積表達(dá)式，為面積元素，、是積分變量，是積分區(qū)域，并稱為積分和式。 2．二重積分的幾何意義：設(shè)在區(qū)域上連續(xù)，當(dāng)時(shí)，二重積分表示以曲面為頂，底面區(qū)域是的曲頂柱體的體積。 3．性質(zhì) （1

2、）線性性質(zhì) 若，在上可積，和為任意常數(shù)，則在上可積，且 。 （2）積分區(qū)域可加性質(zhì) 若，且和除邊界外沒有公共部分，則在上可積的充要條件是在和上都可積，且 。 （3）不等式性質(zhì) 設(shè)，在上可積，則 （i）若，，則 ， 特別有 。 （ii）若，是的面積，則有 。 （4）積分中值定理 設(shè)為有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，則存在，使得 ， 其中是的面積。 （5）對稱區(qū)域上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì) 設(shè)在有界閉區(qū)域上可積， （i）若關(guān)于軸對稱，則 ， 其中。 （ii）若關(guān)于軸對稱，則 ， 其中。 （二）二重積分的計(jì)算 1．利用直角坐標(biāo)系計(jì)算

3、二重積分 設(shè)在平面有界閉區(qū)域上連續(xù)： （i）若，其中、在上連續(xù)。區(qū)域的特點(diǎn)是：穿過內(nèi)與軸平行的直線與的邊界相交不多于兩點(diǎn)，稱為型區(qū)域。則 。 （ii）若，其中、在上連續(xù)。區(qū)域的特點(diǎn)是：穿過內(nèi)與軸平行的直線與的邊界相交不多于兩點(diǎn)，稱為型區(qū)域。則 。 如果區(qū)域不滿足以上條件，可以將區(qū)域分成若干個(gè)部分區(qū)域，使每個(gè)部分區(qū)域滿足以上條件，再利用積分關(guān)于區(qū)域的可加性來計(jì)算。 2．利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為，極坐標(biāo)系中的面積元素為。在極坐標(biāo)系下，二重積分可變?yōu)? （i）極點(diǎn)在區(qū)域外。區(qū)域在極坐標(biāo)下可表示為 ， 其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù)，則 （ii）極點(diǎn)在區(qū)

4、域邊界上。區(qū)域在極坐標(biāo)下可表示為 ， 其中函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則 （iii）極點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)。區(qū)域在極坐標(biāo)下可表示為 ， 其中在區(qū)間上連續(xù)，從而有 （三）二重積分的應(yīng)用 1．曲面面積：設(shè)曲面是由方程給出，在平面上的投影區(qū)域?yàn)?，且函?shù)在上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。則曲面的面積為 2．物理應(yīng)用：設(shè)平面薄片在平面上所占的區(qū)域?yàn)?，其面密度為? （1） 薄片質(zhì)量：。 （2） 一階矩：薄片關(guān)于、軸的一階矩、分別為 ， （3） 薄片質(zhì)心：，。 （4） 薄片關(guān)于、軸和原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為： ， （四）三重積分的定義 設(shè)為空間閉區(qū)域上的有界函數(shù)，將任意分成個(gè)子域，以表示第個(gè)子域的

5、體積。在每一個(gè)子域上任取一點(diǎn)，作和式，如果當(dāng)所有子域直徑中的最大值趨于零時(shí)，這和式的極限存在，則稱此極限值為函數(shù)在區(qū)域上的三重積分，記作，即 (五) 三重積分的性質(zhì) （1）線性性質(zhì) ，其中在上可積，為常數(shù)。 （2）分域性質(zhì) ， 其中在上可積，且無公共內(nèi)點(diǎn)。 （3）若在上可積且，則有 （4）估值公式 設(shè)在有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，其最大值為，最小值，則 上式中表示閉區(qū)域的體積。 （5）中值定理 設(shè)在有界連通閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，則，使 （六）三重積分的計(jì)算 （1）在直角坐標(biāo)系中的計(jì)算方法 （a）先單后重法 若先對積分，則將積分區(qū)域向平面投影，記投影區(qū)域?yàn)椋?/p>

6、可表示為，則 類似可以先對y積分或先對x積分。 （b）先重后單法 將積分區(qū)域向子軸投影得，再用垂直于軸的平面去截積分區(qū)域，得，則有 （2）在柱面坐標(biāo)系中的算法 設(shè) 若，則 （3）在球坐標(biāo)系中的方法 設(shè)，若 則一 （七）三重積分的應(yīng)用 （1）體積 （2）物體的質(zhì)量 若物體所占空間區(qū)域?yàn)?，密度函?shù)為，則質(zhì)量 （3）質(zhì)心坐標(biāo) （4）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 復(fù)習(xí)指導(dǎo)： 第12章 重積分 學(xué)習(xí)指導(dǎo) 1． 掌握二重積分的概念。 2． 會(huì)用聯(lián)立不等式表示平面區(qū)域。 3． 熟練掌握直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算。能按照積分區(qū)域的特征將二重

7、積分轉(zhuǎn)化為二次積分，也能由二次積分的積分限確定二重積分的積分區(qū)域，并進(jìn)一步變換二次積分的次序。 4． 會(huì)將直角坐標(biāo)系中簡單曲線的方程改寫為極坐標(biāo)系下的方程，會(huì)確定極坐標(biāo)系中積分區(qū)域的參數(shù)變化范圍，會(huì)在極坐標(biāo)系下計(jì)算簡單區(qū)域的二重積分。 5． 掌握二重積分的幾何意義，能用二重積分計(jì)算平面區(qū)域的面積和空間中簡單立體的體積。 6． 會(huì)用二重積分計(jì)算質(zhì)量、質(zhì)心、一階矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等。 7． 掌握第一型曲面積分的概念，會(huì)確定曲面在坐標(biāo)平面上的投影區(qū)域，會(huì)計(jì)算簡單曲面上的第一型曲面積分。 8．對三重積分可以理解為密度函數(shù)為的所占的區(qū)域?yàn)榈奈矬w的質(zhì)量。理解這一點(diǎn)對三重積分的許多性質(zhì)的理解有極大的幫助

8、。 還應(yīng)將三重積分和以前各類積分比較，一方面可以加強(qiáng)理解，另一方面也使同學(xué)不易忘記和混淆。 三重積分 變密度三維空間立體的質(zhì)量 定積分dx 變密度一維直剛絲的質(zhì)量 第一型曲線積分 變密度彎曲剛絲的質(zhì)量 二重積分 變密度二維平面薄片的質(zhì)量 第一型曲面積分 變密度空間曲面薄片的質(zhì)量 9．對稱性 當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于面對稱時(shí)，若被積函數(shù)關(guān)于為偶函數(shù)，即 ，則 其中為在面之上方的部分 若被積函數(shù)關(guān)于為奇函數(shù), ，即，則 當(dāng)關(guān)于其他坐標(biāo)面對稱時(shí)有類似結(jié)論。 10．各類坐標(biāo)系的選擇 （1）當(dāng)積分區(qū)域是圓柱形或圓錐形區(qū)域，或在某坐標(biāo)面上的投影是圓域，被積函數(shù)具有的形式，常采用柱坐標(biāo)系。 （2）當(dāng)積分區(qū)域是與球相關(guān)的區(qū)域，而被積函數(shù)具有的形式時(shí)，常采用球坐標(biāo)。 （3）其他如平面或拋物面構(gòu)成的區(qū)域，可選用直角坐標(biāo)系。 9 / 9文檔可自由編輯打印