2018年中考數(shù)學(xué)模擬試卷有參考答案與試題解析

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2018 年中考數(shù)學(xué)模擬試卷有參考答案與試題解析一．選擇題（共 12 小題，滿分 36 分，每小題 3 分）1．的絕對值是（ ）A．﹣4 B． C．4 D．0.42．如圖所示的幾何體的主視圖是（ ）A． B． C． D．3．在一個直角三角形中，有一個銳角等于 45°，則另一個銳角的度數(shù)是（ ）A．75° B．60° C ． 45° D．30°4．人的頭發(fā)直徑約為 0.00007m，這個數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示（ ）A．0.7×10﹣4 B．7×10﹣5 C．0.7×104 D．7×1055．在聯(lián)歡會上，甲、乙、丙 3 人分別站在不在同一直線上的三點A、B、C 上，他們在玩搶凳子的游戲，要在他們中間放一個木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，凳子應(yīng)放的最恰當(dāng)?shù)奈恢檬恰鰽BC 的（ ）A．三條高的交點 B．重心 C．內(nèi)心 D．外心6．下列因式分解正確的是（ ）A．x2+1=（x+1）2 B．x2+2x ﹣1=（x﹣1）2 C． 2x2﹣2=2（x+1 ） （x﹣1） D．x2﹣x+2=x（x﹣1）+27．為豐富學(xué)生課外活動，某校積極開展社團活動，開設(shè)的體育社團有：A：籃球，B：排球，C：足球，D：羽毛球，E：乒乓球．學(xué)生可根據(jù)自己的愛好選擇一項，李老師對八年級同學(xué)選擇體育社團情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，制成了兩幅不完整的統(tǒng)計圖（如圖） ，則以下結(jié)論不正確的是（ ）A．選科目 E 的有 5 人 B．選科目 A 的扇形圓心角是 120° C．選科目 D 的人數(shù)占體育社團人數(shù)的 D．據(jù)此估計全校 1000 名八年級同學(xué)，選擇科目 B 的有 140 人8．有一組數(shù)據(jù)：6，4，6，5，3，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是（ ）A．4.8，6，5 B．5，5，5 C．4.8，6，6 D．5，6，59．有下列四個命題：①相等的角是對頂角；②兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；③同一種正五邊形一定能進(jìn)行平面鑲嵌；④垂直于同一條直線的兩條直線互相垂直．其中假命題的個數(shù)有（ ）A．1 個 B．2 個 C． 3 個 D．4 個10．將拋物線 y=x2 向左平移 2 個單位，再向下平移 5 個單位，平移后所得新拋物線的表達(dá)式為（ ）A．y=（x+2）2﹣5 B．y=（x+2）2+5 C．y=（x﹣2）2﹣5 D．y=（x﹣2）2+511．用尺規(guī)在一個平行四邊形內(nèi)作菱形 ABCD，下列作法中錯誤的是（ ）A． B． C． D．12．下列四個命題，正確的有（ ）個．①有理數(shù)與無理數(shù)之和是有理數(shù) ②有理數(shù)與無理數(shù)之和是無理數(shù)③無理數(shù)與無理數(shù)之和是無理數(shù) ④無理數(shù)與無理數(shù)之積是無理數(shù)．A．1 B．2 C ．3 D．4二．填空題（共 6 小題，滿分 18 分，每小題 3 分）13．若代數(shù)式的值不小于代數(shù)式的值，則 x 的取值范圍是 ．14．已知一紙箱中，裝有 5 個只有顏色不同的球，其中 2 個白球，3 個紅球，若往原紙箱中再放入 x 個白球，然后從箱中隨機取出一個白球的概率是，則 x 的值為 15．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，位于第一象限內(nèi)的點 A（1，2）在x 軸上的正投影為點 A′，則 cos∠AOA′= ．16．觀察如圖中的數(shù)列排放順序，根據(jù)其規(guī)律猜想：第 10 行第 8 個數(shù)應(yīng)該是 ．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知 C（1， ） ，△ABC 與△DEF位似，原點 O 是位似中心，要使△DEF 的面積是 △ABC 面積的 5倍，則點 F 的坐標(biāo)為 ．18．如圖，在等腰直角三角形 ABC 中，∠C=90°，點 D 為 AB 的中點，已知扇形 EAD 和扇形 FBD 的圓心分別為點 A、點 B，且AB=4，則圖中陰影部分的面積為 （結(jié)果保留 π） ．三．解答題（共 8 小題，滿分 66 分）19． （6 分）計算：sin30°﹣+（π﹣4）0+|﹣| ．20． （6 分）計算： 21． （6 分）反比例函數(shù) y=與 y=在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，過x 軸上點 A 作 y 軸的平行線，與函數(shù) y=， y=的圖象交點依次為P、Q 兩點．若 PQ=2，求 PA 的長．22． （8 分）如圖，在平行四邊形 ABCD 中，AE ⊥BC，CF⊥AD，垂足分別為 E，F(xiàn) ，AE，CF 分別與 BD 交于點 G 和 H，且 AB=2．（1）若 tan∠ABE=2，求 CF 的長；（2）求證：BG=DH ．23． （8 分）口袋里有紅球 4 個、綠球 5 個和黃球若干個，任意摸出一個球是綠色的概率是．求：（1）口袋里黃球的個數(shù)；（2）任意摸出一個球是紅色的概率．24． （10 分）正在建設(shè)的“漢十高鐵”竣工通車后，若襄陽至武漢段路程與當(dāng)前動車行駛的路程相等，約為 325 千米，且高鐵行駛的速度是當(dāng)前動車行駛速度的 2.5 倍，則從襄陽到武漢乘坐高鐵比動車所用時間少 1.5 小時．求高鐵的速度．25． （10 分）如圖，CD 為⊙O 的直徑，點 B 在⊙O 上，連接BC、 BD，過點 B 的切線 AE 與 CD 的延長線交于點 A，OE∥BD，交 BC 于點 F，交 AE 于點 E．（1）求證：△BEF∽△DBC ．（2）若⊙O 的半徑為 3，∠C=30°，求 BE 的長．26． （12 分）如圖，拋物線 y=﹣x2+bx+c 和直線 y=x+1 交于 A，B兩點，點 A 在 x 軸上，點 B 在直線 x=3 上，直線 x=3 與 x 軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）點 P 從點 A 出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿線段 AB 向點B 運動，點 Q 從點 C 出發(fā)，以每秒 2 個單位長度的速度沿線段 CA向點 A 運動，點 P，Q 同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，另一個點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為 t 秒（t＞0） ．以 PQ 為邊作矩形PQNM，使點 N 在直線 x=3 上．①當(dāng) t 為何值時，矩形 PQNM 的面積最?。坎⑶蟪鲎钚∶娣e；②直接寫出當(dāng) t 為何值時，恰好有矩形 PQNM 的頂點落在拋物線上．2018 年中考數(shù)學(xué)模擬試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共 12 小題，滿分 36 分，每小題 3 分）1．的絕對值是（ ）A．﹣4 B． C．4 D．0.4【分析】直接用絕對值的意義求解，【解答】解：的絕對值是．故選：B．【點評】此題是絕對值題，掌握絕對值的意識解本題的關(guān)鍵．2．如圖所示的幾何體的主視圖是（ ）A． B． C． D．【分析】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，可得答案．【解答】解：從正面看第一層是兩個小正方形，第二層左邊一個小正方形，第三層左邊一個小正方形，故選：B．【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，從正面看得到的圖形是主視圖．3．在一個直角三角形中，有一個銳角等于 45°，則另一個銳角的度數(shù)是（ ）A．75° B．60° C ． 45° D．30°【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可解決問題；【解答】解：∵直角三角形兩銳角互余，∴另一個銳角的度數(shù)=90°﹣45°=45 °，故選：C．【點評】本題考查直角三角形的性質(zhì)，記住直角三角形兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．4．人的頭發(fā)直徑約為 0.00007m，這個數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示（ ）A．0.7×10﹣4 B．7×10﹣5 C．0.7×104 D．7×105【分析】絕對值小于 1 的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為 a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的 0 的個數(shù)所決定．【解答】解：0.00007m，這個數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示 7×10﹣5．故選：B．【點評】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中 1≤|a| ＜10，n 為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的 0 的個數(shù)所決定．5．在聯(lián)歡會上，甲、乙、丙 3 人分別站在不在同一直線上的三點A、B、C 上，他們在玩搶凳子的游戲，要在他們中間放一個木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，凳子應(yīng)放的最恰當(dāng)?shù)奈恢檬恰鰽BC 的（ ）A．三條高的交點 B．重心 C．內(nèi)心 D．外心【分析】為使游戲公平，要使凳子到三個人的距離相等，于是利用線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等可知，要放在三邊中垂線的交點上．【解答】解：∵三角形的三條垂直平分線的交點到中間的凳子的距離相等，∴凳子應(yīng)放在△ABC 的三條垂直平分線的交點最適當(dāng)．故選：D．【點評】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用；利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實際問題是一種能力，要注意培養(yǎng)．想到要使凳子到三個人的距離相等是正確解答本題的關(guān)鍵．6．下列因式分解正確的是（ ）A．x2+1=（x+1）2 B．x2+2x ﹣1=（x﹣1）2 C． 2x2﹣2=2（x+1 ） （x﹣1） D．x2﹣x+2=x（x﹣1）+2【分析】各項分解得到結(jié)果，即可作出判斷．【解答】解：A、原式不能分解，不符合題意；B、原式不能分解，不符合題意；C、原式=2（x2﹣1） =2（x+1） （x﹣1） ，符合題意；D、原式不能分解，不符合題意，故選：C．【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．7．為豐富學(xué)生課外活動，某校積極開展社團活動，開設(shè)的體育社團有：A：籃球，B：排球，C：足球，D：羽毛球，E：乒乓球．學(xué)生可根據(jù)自己的愛好選擇一項，李老師對八年級同學(xué)選擇體育社團情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，制成了兩幅不完整的統(tǒng)計圖（如圖） ，則以下結(jié)論不正確的是（ ）A．選科目 E 的有 5 人 B．選科目 A 的扇形圓心角是 120° C．選科目 D 的人數(shù)占體育社團人數(shù)的 D．據(jù)此估計全校 1000 名八年級同學(xué)，選擇科目 B 的有 140 人【分析】A 選項先求出調(diào)查的學(xué)生人數(shù)，再求選科目 E 的人數(shù)來判定，B 選項先求出 A 科目人數(shù)，再利用×360°判定即可，C 選項中由 D 的人數(shù)及總?cè)藬?shù)即可判定，D 選項利用總?cè)藬?shù)乘以樣本中 B 人數(shù)所占比例即可判定．【解答】解：調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為：12÷24%=50 （人） ，選科目 E 的人數(shù)為：50×10%=5（人） ，故 A 選項正確，選科目 A 的人數(shù)為 50﹣（7+12+10+5）=16 人，選科目 A 的扇形圓心角是×360°=115.2°，故 B 選項錯誤，選科目 D 的人數(shù)為 10，總?cè)藬?shù)為 50 人，所以選科目 D 的人數(shù)占體育社團人數(shù)的，故 C 選項正確，估計全校 1000 名八年級同學(xué)，選擇科目 B 的有 1000×=140 人，故D 選項正確；故選：B．【點評】本題主要考查了條形統(tǒng)計圖及扇形統(tǒng)計圖，解題的關(guān)鍵是讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中找到準(zhǔn)確信息．8．有一組數(shù)據(jù)：6，4，6，5，3，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是（ ）A．4.8，6，5 B．5，5，5 C．4.8，6，6 D．5，6，5【分析】根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念求解．【解答】解：這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為：3，4，5，6，6，則平均數(shù)為：（3+4+5+6+6）÷5=4.8，眾數(shù)為：6，中位數(shù)為：5．故選：A．【點評】本題屬于基礎(chǔ)題，考查了確定一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的能力．平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù)．找中位數(shù)的時候一定要先排好順序，然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個來確定中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個，則正中間的數(shù)字即為所求，如果是偶數(shù)個則找中間兩位數(shù)的平均數(shù)．一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．9．有下列四個命題：①相等的角是對頂角；②兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；③同一種正五邊形一定能進(jìn)行平面鑲嵌；④垂直于同一條直線的兩條直線互相垂直．其中假命題的個數(shù)有（ ）A．1 個 B．2 個 C． 3 個 D．4 個【分析】根據(jù)對頂角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，鑲嵌的知識，逐一判斷．【解答】解：①對頂角有位置及大小關(guān)系，相等的角不一定是對頂角，假命題；②只有當(dāng)兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，假命題；③同一種正五邊形一定能進(jìn)行平面鑲嵌，假命題；④在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，假命題．故選：D．【點評】本題考查了命題與證明．對頂角，垂線，同位角，鑲嵌的相關(guān)概念．關(guān)鍵是熟悉這些概念，正確判斷．10．將拋物線 y=x2 向左平移 2 個單位，再向下平移 5 個單位，平移后所得新拋物線的表達(dá)式為（ ）A．y=（x+2）2﹣5 B．y=（x+2）2+5 C．y=（x﹣2）2﹣5 D．y=（x﹣2）2+5【分析】先求出平移后的拋物線的頂點坐標(biāo)，再利用頂點式拋物線解析式寫出即可．【解答】解：拋物線 y=x2 的頂點坐標(biāo)為（0，0） ，先向左平移 2 個單位再向下平移 5 個單位后的拋物線的頂點坐標(biāo)為（﹣2，﹣5） ，所以，平移后的拋物線的解析式為 y=（x+2）2﹣5．故選：A．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并根據(jù)規(guī)律利用點的變化確定函數(shù)解析式．11．用尺規(guī)在一個平行四邊形內(nèi)作菱形 ABCD，下列作法中錯誤的是（ ）A． B． C． D．【分析】根據(jù)菱形的判定和作圖根據(jù)解答即可．【解答】解：A、由作圖可知，AC⊥BD，且平分 BD，即對角線平分且垂直的四邊形是菱形，正確；B、由作圖可知 AB=BC，AD=AB，即四邊相等的四邊形是菱形，正確；C、由作圖可知 AB=DC，AD=BC，只能得出 ABCD 是平行四邊形，錯誤；D、由作圖可知對角線 AC 平分對角，可以得出是菱形，正確；故選：C．【點評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．12．下列四個命題，正確的有（ ）個．①有理數(shù)與無理數(shù)之和是有理數(shù) ②有理數(shù)與無理數(shù)之和是無理數(shù)③無理數(shù)與無理數(shù)之和是無理數(shù) ④無理數(shù)與無理數(shù)之積是無理數(shù)．A．1 B．2 C ．3 D．4【分析】根據(jù)無理數(shù)、有理數(shù)的定義及實數(shù)的混合運算進(jìn)行解答即可．【解答】解：①有理數(shù)與無理數(shù)的和一定是有理數(shù)，故本小題錯誤；②有理數(shù)與無理數(shù)的和一定是無理數(shù)，故本小題正確；③例如﹣+=0，0 是有理數(shù)，故本小題錯誤；④例如（﹣）×= ﹣2，﹣2 是有理數(shù)，故本小題錯誤．故選：A．【點評】本題考查的是實數(shù)的運算及無理數(shù)、有理數(shù)的定義，熟知以上知識是解答此題的關(guān)鍵．二．填空題（共 6 小題，滿分 18 分，每小題 3 分）13．若代數(shù)式的值不小于代數(shù)式的值，則 x 的取值范圍是 x≥ ．【分析】根據(jù)題意列出不等式，依據(jù)解不等式得基本步驟求解可得．【解答】解：根據(jù)題意，得：≥，6（3x﹣1）≥5（1﹣5x） ，18x﹣6≥5﹣25x，18x+25x≥5+6，43x≥11，x≥，故答案為：x≥．【點評】本題主要考查解不等式得基本技能，熟練掌握解一元一次不等式的基本步驟是解題的關(guān)鍵．14．已知一紙箱中，裝有 5 個只有顏色不同的球，其中 2 個白球，3 個紅球，若往原紙箱中再放入 x 個白球，然后從箱中隨機取出一個白球的概率是，則 x 的值為 4 【分析】先根據(jù)概率公式得到=，解得 x=4．【解答】解：根據(jù)題意得=，解得 x=4，故答案為：4．【點評】本題考查了概率公式：隨機事件 A 的概率 P（A ）=事件 A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．15．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，位于第一象限內(nèi)的點 A（1，2）在x 軸上的正投影為點 A′，則 cos∠AOA′= ．【分析】依據(jù)點 A（1，2）在 x 軸上的正投影為點 A′，即可得到A'O=1，AA'=2，AO=，進(jìn)而得出 cos∠AOA′的值．【解答】解：如圖所示，點 A（1，2）在 x 軸上的正投影為點A′，∴A'O=1，AA'=2，∴AO= ，∴cos ∠AOA′=== ，故答案為：．【點評】本題主要考查了平行投影以及平面直角坐標(biāo)系，過已知點向坐標(biāo)軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長，是解決這類問題的基本方法和規(guī)律．16．觀察如圖中的數(shù)列排放順序，根據(jù)其規(guī)律猜想：第 10 行第 8 個數(shù)應(yīng)該是 53 ．【分析】由 n 行有 n 個數(shù)，可得出第 10 行第 8 個數(shù)為第 53 個數(shù)，結(jié)合奇數(shù)為正偶數(shù)為負(fù)，即可求出結(jié)論．【解答】解：第 1 行 1 個數(shù)，第 2 行 2 個數(shù)，第 3 行 3 個數(shù)，…，∴第 9 行 9 個數(shù)，∴第 10 行第 8 個數(shù)為第 1+2+3+…+9+8=53 個數(shù)．又∵第 2n﹣1 個數(shù)為 2n﹣1，第 2n 個數(shù)為﹣2n，∴第 10 行第 8 個數(shù)應(yīng)該是 53．故答案為：53．【點評】本題考查了規(guī)律型中數(shù)字的變化類，根據(jù)數(shù)的變化找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知 C（1， ） ，△ABC 與△DEF位似，原點 O 是位似中心，要使△DEF 的面積是 △ABC 面積的 5倍，則點 F 的坐標(biāo)為 （， ） ．【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出相似比，根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算即可．【解答】解：∵△ABC 與△DEF 位似，原點 O 是位似中心，要使△DEF 的面積是△ABC 面積的 5 倍，則△DEF 的邊長是△ABC 邊長的倍，∴點 F 的坐標(biāo)為（ 1×，×） ，即（， ） ，故答案為：（， ） ．【點評】本題考查的是位似變換，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為 k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于 k 或﹣k．18．如圖，在等腰直角三角形 ABC 中，∠C=90°，點 D 為 AB 的中點，已知扇形 EAD 和扇形 FBD 的圓心分別為點 A、點 B，且AB=4，則圖中陰影部分的面積為 4﹣π （結(jié)果保留 π） ．【分析】由在等腰直角三角形 ABC 中，∠C=90°，AB=4，可求得直角邊 AC 與 BC 的長，繼而求得△ABC 的面積，又由扇形的面積公式求得扇形 EAD 和扇形 FBD 的面積，繼而求得答案．【解答】解：∵在等腰直角三角形 ABC 中，∠C=90°，AB=4，∴AC=BC=AB?sin45° =AB=2，∴S△ABC=AC?BC=4，∵點 D 為 AB 的中點，∴AD=BD=AB=2，∴S 扇形 EAD=S 扇形 FBD=×π×22= π，∴S 陰影=S△ABC﹣S 扇形 EAD﹣S 扇形 FBD=4﹣π．故答案為：4﹣π．【點評】此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及扇形的面積．注意S 陰影=S△ABC﹣S 扇形 EAD﹣S 扇形 FBD．三．解答題（共 8 小題，滿分 66 分）19． （6 分）計算：sin30°﹣+（π﹣4）0+|﹣| ．【分析】原式利用特殊角角的三角函數(shù)值，平方根定義，零指數(shù)冪法則，以及絕對值的代數(shù)意義化簡，計算即可求出值．【解答】解：原式= ﹣2+1+=0．【點評】此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．20． （6 分）計算： 【分析】根據(jù)分式的運算法則即可求出答案．【解答】解：原式= ﹣===【點評】本題考查分式的運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．21． （6 分）反比例函數(shù) y=與 y=在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，過x 軸上點 A 作 y 軸的平行線，與函數(shù) y=， y=的圖象交點依次為P、Q 兩點．若 PQ=2，求 PA 的長．【分析】設(shè) P（m，n） ，則 Q（m，n+2 ） ，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，將 P（m ，n） ，則 Q（m，n+2）兩點分別代入 y=與y=，列出關(guān)于 m、n 的方程組，解方程組即可．【解答】解：設(shè) P（m ，n） ，則 Q（m，n+2） ．根據(jù)題意，知，解得， ；∴PA=．【點評】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．本題采用了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，使問題變得直觀化，降低了題的難度．22． （8 分）如圖，在平行四邊形 ABCD 中，AE ⊥BC，CF⊥AD，垂足分別為 E，F(xiàn) ，AE，CF 分別與 BD 交于點 G 和 H，且 AB=2．（1）若 tan∠ABE=2，求 CF 的長；（2）求證：BG=DH ．【分析】 （1）由平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)的定義，在 Rt△CFD 中，可求得 CF=2DF，利用勾股定理可求得 CF 的長；（2）利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合條件可證得△AGD≌△CHB，則可求得 BH=DG，從而可證得 BG=DH．【解答】 （1）解：∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，∴∠CDF=∠ ABE，DC=AB=2，∵tan∠ABE=2，∴tan∠CDF=2，∵CF⊥AD，∴△CFD 是直角三角形，∴=2，設(shè) DF=x，則 CF=2x，在 Rt△CFD 中，由勾股定理可得（2x）2+x2=（2）2，解得 x=2 或x=﹣2（舍去） ，∴CF=4；（2）證明：∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ADB= ∠CBD ，∵AE ⊥BC，CF⊥AD，∴AE ⊥AD ，CF⊥BC，∴∠GAD= ∠HCB=90°，∴△AGD≌△CHB ，∴BH=DG，∴BG=DH．【點評】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的對邊平行且相等是解題的關(guān)鍵，注意全等三角形的應(yīng)用．23． （8 分）口袋里有紅球 4 個、綠球 5 個和黃球若干個，任意摸出一個球是綠色的概率是．求：（1）口袋里黃球的個數(shù)；（2）任意摸出一個球是紅色的概率．【分析】 （1）用綠球個數(shù)除以其概率即可得總數(shù)量，用總數(shù)量減去其它顏色球的個數(shù)即可得黃球的個數(shù)；（2）根據(jù)概率公式即可得．【解答】解：（1）總球數(shù)：5÷=15，黃球：15﹣4﹣5=6 個；（2）∵紅球有 4 個，一共有 15 個，∴P（紅球） =．【點評】此題考查概率的求法：如果一個事件有 n 種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件 A 出現(xiàn) m 種結(jié)果，那么事件 A 的概率 P（A） =．24． （10 分）正在建設(shè)的“漢十高鐵”竣工通車后，若襄陽至武漢段路程與當(dāng)前動車行駛的路程相等，約為 325 千米，且高鐵行駛的速度是當(dāng)前動車行駛速度的 2.5 倍，則從襄陽到武漢乘坐高鐵比動車所用時間少 1.5 小時．求高鐵的速度．【分析】設(shè)高鐵的速度為 x 千米/小時，則動車速度為 0.4x 千米/ 小時，根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可．【解答】解：設(shè)高鐵的速度為 x 千米/小時，則動車速度為 0.4x 千米/小時，根據(jù)題意得：﹣=1.5 ，解得：x=325 ，經(jīng)檢驗 x=325 是分式方程的解，且符合題意，則高鐵的速度是 325 千米/小時．【點評】此題考查了分式方程的應(yīng)用，弄清題中的等量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．25． （10 分）如圖，CD 為⊙O 的直徑，點 B 在⊙O 上，連接BC、 BD，過點 B 的切線 AE 與 CD 的延長線交于點 A，OE∥BD，交 BC 于點 F，交 AE 于點 E．（1）求證：△BEF∽△DBC ．（2）若⊙O 的半徑為 3，∠C=30°，求 BE 的長．【分析】 （1）連接 OB，根據(jù)切線的性質(zhì)可得出∠ABO=90°，由OB=OD 可得出 ∠OBD=∠ODB ，根據(jù)等角的余角相等可得出∠EBF=∠CDB ，根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合直徑對的圓周角為 90 度，即可得出∠EFB=∠CBD=90 °，進(jìn)而即可證出△BEF∽△DCB；（2）通過解直角三角形可得出 BD、BC 的長，由三角形中位線定理可得出 BF 的長，再利用相似三角形的性質(zhì)即可求出 BE 的長．【解答】 （1）證明：連接 OB，如圖所示．∵AE 與⊙O 相切，∴∠ABO=90 °．∵OB=OD，∴∠OBD= ∠ODB．∵∠ABO= ∠ABD+ ∠ OBD=90°，∴∠ODB+ ∠ABD=90°．∵CD 為直徑，∴∠CBD=90°，∴∠EBF+∠ABD=90 °，∴∠EBF=∠ODB，即∠EBF=∠CDB．∵OE ∥BD，∴∠CFO=90 °，∴∠EFB=∠CBD=90° ，∴△BEF ∽△ DCB．（2）解：在 Rt△BCD 中，∠CBD=90 °， ∠C=30 °，CD=6 ，∴BD=3，BC=3．∵OE ∥BD，點 O 為 CD 的中點，∴OF 為△BCD 的中位線，∴OF=BD=，BF=BC=．∵△BEF ∽△ DCB，∴=，即=，∴BE=3．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、切線的性質(zhì)、三角形的中位線以及解含 30 度角的直角三角形，解題的關(guān)鍵是：（1）利用等角的余角相等找出∠EBF= ∠CDB ；（2）通過角直角三角形及三角形中位線定理，求出 BD、BC、BF 的長．26． （12 分）如圖，拋物線 y=﹣x2+bx+c 和直線 y=x+1 交于 A，B兩點，點 A 在 x 軸上，點 B 在直線 x=3 上，直線 x=3 與 x 軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）點 P 從點 A 出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿線段 AB 向點B 運動，點 Q 從點 C 出發(fā)，以每秒 2 個單位長度的速度沿線段 CA向點 A 運動，點 P，Q 同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，另一個點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為 t 秒（t＞0） ．以 PQ 為邊作矩形PQNM，使點 N 在直線 x=3 上．①當(dāng) t 為何值時，矩形 PQNM 的面積最小？并求出最小面積；②直接寫出當(dāng) t 為何值時，恰好有矩形 PQNM 的頂點落在拋物線上．【分析】 （1）利用待定系數(shù)法即可；（2）①分別用 t 表示 PE、PQ、EQ，用△PQE∽△QNC 表示 NC及 QN，列出矩形 PQNM 面積與 t 的函數(shù)關(guān)系式問題可解；②由①利用線段中點坐標(biāo)分別等于兩個端點橫縱坐標(biāo)平均分的數(shù)量關(guān)系，表示點 M 坐標(biāo)，分別討論 M、N、Q 在拋物線上時的情況，并分別求出 t 值．【解答】解：（1）由已知，B 點橫坐標(biāo)為 3∵A、B 在 y=x+1 上∴A（﹣1，0） ，B（3，4）把 A（﹣1，0） ，B（3，4）代入 y=﹣x2+bx+c 得解得∴拋物線解析式為 y=﹣x2+3x+4；（2）①過點 P 作 PE⊥x 軸于點 E∵直線 y=x+1 與 x 軸夾角為 45°，P 點速度為每秒個單位長度∴t 秒時點 E 坐標(biāo)為（﹣1+t，0） ，Q 點坐標(biāo)為（3﹣2t ，0）∴EQ=4﹣3t，PE=t∵∠PQE+∠NQC=90 °∠PQE+∠EPQ=90°∴∠EPQ=∠NQC∴△PQE ∽△QNC∴∴矩形 PQNM 的面積 S=PQ?NQ=2PQ2∵PQ2=PE2+EQ2∴S=2（）2=20t2 ﹣48t+32當(dāng) t=時，S 最小=20×（）2﹣48×+32=②由①點 Q 坐標(biāo)為（3﹣2t，0） ，P 坐標(biāo)為（﹣1+t，t ）∴△PQE ∽△QNC ，可得 NC=2QO=8﹣6t∴N 點坐標(biāo)為（3，8﹣6t）由矩形對角線互相平分∴點 M 坐標(biāo)為（3t﹣1，8﹣5t）當(dāng) M 在拋物線上時8﹣5t=﹣（3t﹣1）2+3（3t﹣1）+4解得 t=當(dāng)點 Q 到 A 時，Q 在拋物線上，此時 t=2當(dāng) N 在拋物線上時，8﹣6t=4∴t=綜上所述當(dāng) t=、或 2 時，矩形 PQNM 的頂點落在拋物線上．【點評】本題是代數(shù)幾何綜合題，考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、三角形相似和矩形的有關(guān)性質(zhì)，解答時應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想．