《機械優(yōu)化設計》試卷答案

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1、《機械優(yōu)化設計》復習題 、填空 1、用最速下降法求f(X)=100(X2-Xi2)2+(Lxi)2的最優(yōu)解時,設X，。)4-0.5,0,5]T,第一 步迭代的搜索方向為[-47;-50]o 2、機械優(yōu)化設計采用數(shù)學規(guī)劃法，其核心一是建立搜索方向 二是計算最佳步長因 子 o 3、當優(yōu)化問題是一凸規(guī)劃 的情況下，任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。 4、應用進退法來確定搜索區(qū)間時，最后得到的三點，即為搜索區(qū)間的始點、中間點和 終點，它們的函數(shù)值形成高-低-高 趨勢。 5、包含n個設計變量的優(yōu)化問題，稱為_n 維優(yōu)化問題。 1 6、函數(shù)一X『X BTX C的梯度為 HX+B o 2

2、7、設G為n>n對稱正定矩陣，若n維空間中有兩個非零向量d。，d1,滿足(d^Gd—=0,則 d。、cP之間存在一共胡■關(guān)系。 8、 設計變量 、 約束條件、目標函數(shù) 是優(yōu)化 設計問題數(shù)學模型的基本要素。 9、對于無約束二元函數(shù)f(Xi,X2),若在Xo(Xio,X2。)點處取得極小值，其必要條件是梯 度為 雯 ，充分條件是 海塞矩陣正定 o 10、 條件可以敘述為在極值點處目標函數(shù)的梯度為起作 用的各約束函數(shù)梯度的非負線性組合。 11、用黃金分割法求一元函數(shù)f(x)x2 10x36的極小點，初始搜索區(qū)間 [a,b][ 10,10],經(jīng)第一次區(qū)間消去后得到的新區(qū)間為 卜2.362

3、36] 。 12、優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型的基本要素有設 、 13、牛頓法的搜索方向dk= ,其計算量大，且要求初始點在極小點逼近位置。 14、 將函數(shù) f(X)=x i2+X22-XiX2-1 0x1-4x2+60 表示成-XWX BTX C 的形 2 式 O 15、存在矩陣H,向量由，向量d2,當滿足(d1)TGd2=0 ,向量由和向量d2 是關(guān)于H共拆。 16、采用外點法求解約束優(yōu)化問題時，將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為外點形式時引入的懲罰因 子r數(shù)列，具有 由小到大趨于無窮 特點。 17、采用數(shù)學規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點時，根據(jù)迭代公式需要進行一維搜索，即 求 。 、選擇題

4、 1、下面 方法需要求海賽矩陣 A、最速下降法 B、 共桃梯度法 C、牛頓型法 D、 DFP法 2、對于約束問題 2 o min f X Xi x 4X2 4 o giX x x2 1 0 g2X 3 Xi 0 g 3 X X2 0 根據(jù)目標函數(shù)等值線和約束曲線，判斷 為 為 O A?內(nèi)點；內(nèi)點 B.外點;外點 C.內(nèi)點；外點 D.外點；內(nèi)點 3、內(nèi)點懲罰函數(shù)法可用于求解 化問題。 A無約束優(yōu)化問題 B只含有不等式約束的優(yōu)化問題 C只含有等式的優(yōu)化問題 D含有不等式和等式約束的優(yōu)化問題 4、對于一維搜索，搜索區(qū)間為[a, b],中間插入兩個點ai

5、、bi, aivbi,計算出f(ai)vf(bi),則 縮短后的搜索區(qū)間為 o A [ai, bi] B [bi, b] C [ai, b] D [a, bi] 5、 是優(yōu)化設計問題數(shù)學模型的基本要素 A設計變量 B約束條件 C目標函數(shù) D最佳步長 6、變尺度法的迭代公式為xk+」xk-aHkVf(xk),下列不屬于Hk必須滿足的條件的是 O A. Hk之間有簡單的迭代形式 B.擬牛頓條件 C.與海塞矩陣正交 D.對稱正定 7、函數(shù)f(X)在某點的梯度方向為函數(shù)在該點的 o 人、最速上升方向 B、上升方向 C、最速下降方向 D、下降方向 &下面四種無約

6、束優(yōu)化方法中， 構(gòu)成搜索方向時沒有使用到目標函數(shù)的 一階或二階導數(shù)。 A梯度法 B牛頓法 C變尺度法 D坐標輪換法 9、設f(X)為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導數(shù)的函數(shù)，則 f(X)在R上為凸函數(shù)的 充分必要條件是海塞矩陣G(X)在R上處處 o A正定 B半正定 C負定 D半負定 10、下 列關(guān)于最常用的一維搜索試探方法一一黃金分割法的敘述，錯誤的是 假設要求在區(qū)間［a, b］插入兩點a、a,且ava。 A、其縮短率為0.618 B、a=b-入(b-a) C、a=a+入(b - a) D、在該方法中縮短搜索區(qū)間采用的是外推法。 11、與梯度成銳角的方向為函

7、數(shù)值 上升方向，與負梯度成銳角的方向為函數(shù)值下 降方向，與梯度成直角的方向為函數(shù)值 丕變 方向。 A、上升 B、下降 C、不變 D、為零 12、二維目標函數(shù)的無約束極小點就是 o 4等值線族的一個共同中心 B、梯度為。的點 C、全局最優(yōu)解 D、海塞矩陣正定的點 13、最速下降法相鄰兩搜索方向dk和dk+i必為 向量。 A相切 B正交 C成銳角 D共挽 14、下列關(guān)于內(nèi)點懲罰函數(shù)法的敘述，錯誤的是 o A可用來求解含不等式約束和等式約束的最優(yōu)化問題。 B懲罰因子是不斷遞減的正值 C初始點應選擇一個離約束邊界較遠的點。 D初始點必須在可行域內(nèi) 15、通常情況

8、下，下面四種算法中收斂速度最慢的是 A牛頓法B梯度法C共規(guī)梯度法 D變尺度法 16、一維搜索試探方法一一黃金分割法比二次插值法的收斂速度 A、慢B、快C、一樣D、不確定 17、下列關(guān)于共飄梯度法的敘述，錯誤的是 。A需要求海賽矩陣 B除第一步以外的其余各步的搜索方向是將負梯度偏轉(zhuǎn)一個角度 C共飄梯度法具有 二次收斂性 D第一步迭代的搜索方向為初始點的負梯度 、問答題 1、 試述兩種一維搜索方法的原理，它們之間有何區(qū) 答：搜索的原理是：區(qū)間消去法原理 區(qū)別：（1）、試探法：給定的規(guī)定來確定插入點的位置，此點的位置確定僅僅按照區(qū)間的 縮短如何加快，而不顧及函數(shù)值的分布關(guān)系，如

9、黃金分割法 （2）、插值法：沒有函數(shù)表達式，可以根據(jù)這些點處的函數(shù)值，利用插值方法建立函數(shù)的 某種近似表達式，近而求出函數(shù)的極小點，并用它作為原來函數(shù)的近似值。這種方法 稱為插 值法，又叫函數(shù)逼近法。 2、懲罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問題的基本原理是什么？ 答，基本原理是將優(yōu)化問題的不等式和等式約束函數(shù)經(jīng)過加權(quán)轉(zhuǎn)化后，和原目標函數(shù)結(jié)合 形成新的目標函數(shù)一一懲罰函數(shù) 求解該新目標函數(shù)的無約束極值，以期得到原問 題的約束最優(yōu)解 3、 試述數(shù)值解法求最佳步長因子的基本思路。 答主要用數(shù)值解法，利用計算機通過反復迭代計算求得最 佳步長因子的近似值 4、 試述求解無約束優(yōu)化問題的最速下降法與牛頓

10、型方法的優(yōu)缺點。 答：最速下降法此法優(yōu)點是直接、簡單，頭幾步下降速度快。缺點是收斂速度慢，越到 后面收斂越慢。牛頓法優(yōu)點是收斂比較快，對二次函數(shù)具有二次收斂性。缺點是每次迭代需 要求海塞矩陣及其逆矩陣，維數(shù)高時及數(shù)量比較大。 5、寫出用數(shù)學規(guī)劃法求解優(yōu)化設計問題的數(shù)值迭代公式，并說明公式中各變量的意義， 并說明迭代公式的意義。 四、解答題 1、試用梯度法求目標函數(shù)f（X） =1.5xi2+o.5X22.xiX2-2xi的最優(yōu)解，設初始點x=卜2, 4]t, 選代精度& =0.02 （迭代一步）。 n： 1、期初始點嚴? [Y 4f 12 -2+4u 斗 1 -om 、 1

11、1. -x -11 —12 時2)? A JTw -X, O 沿町果殳方燈許〃開占素?(i ,a -2 12 2 V 也」 4 A 響 葺申礁淘。索量隔步忙Y通過八點二血!?祖m J=。求封ii /(.C> = 3tK5Lf -lauu,, +邛 f(A*) = JOCwJ ? J $0uk *26 =-0H470 審 ?,十 % — J W 3 2、試用牛頓法求f( X )=(x卜2)，(Xi-2X2)2的最優(yōu)解，設初始點X()=[2,1]To 3、設有函數(shù)f(X)=Xi24-2x22-2xiX2-4xi,試利用極值條件求其極值點和極值。 11 1 4、求目標

12、函數(shù)f( X )=X i2+XiX2+2X22 +4X1+6X2+10的極值和極值點。 4x(-2. in<.+Zrr6 二射卯疔對氐_ 二幾 * 2.1 /2x a ■M nt->4于iJtut曲墾吾為粵■ L 亦應t fi rr. 2LL 2 刖V51山*知一階斗f 干式 A■，了直 5、試證明函數(shù) f( X )=2Xi2+5X22 +X32+2X3X2+2X3Xi-6X2+3 在點［1, 1, -2『處具有極小值。 6、給定約束優(yōu)化問題 min f(X)=(x i-3)2+(X2-2)2 s.t. g,(X)= — Xi2—X22 + 5> 0

13、 Q2(X)= — Xi— 2X2 + 4> 0 g3(X)= x 1 > 0 g4(X)=X 2> 0 驗證在點X [2,i]TKuhn-Tucker條件成立。 7、設非線性規(guī)劃問題 min f (X) (% 2)2 x； s.t. gi(X) % 0 g： (X) x； 0 gs(X) x2 xt 1 0 用K-T條件驗證X- 1,0T為其約束最優(yōu)點 10、如圖，有一塊邊長為6m的正方形鋁板，四角截去相等的邊長為 造一 x的方塊并折 個無蓋的箱子，問如何截法(x取何值)才能獲得最大容器的箱子 化問題 轉(zhuǎn)，。試寫出這 的數(shù)學模型以及用MATLAB軟件求解的程序。 這個

14、簡即的垠優(yōu)化"J 題⑴把箱了的容積忖表 成變屋參數(shù)兀的西數(shù)， V=x (6-2v) :t得極大點了 的數(shù)報大從而蕊得四 角截去邊氏1血的正力 形使折轉(zhuǎn)的箱子容積最 Ait方軋 11、某廠生產(chǎn)一個容積為8000cm3的平底無蓋的圓柱形容器，要求設計此容器消耗原材料最 少，試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學模型以及用 MATLAB軟件求解的程序。 12、一根長I的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形，問應以怎樣的比例截斷 鉛絲，才能使圓和方形的面積之和為最大，試寫出這一優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型以及用 MATLAB軟件求解的程序。 4.設以2的比例截取鉛絲，能使何題達到就優(yōu)斛 如圖斯示具中竺二2

15、,解得：AC = — A Cff = — CB 11+2 3 + 2 折成的圓形磊方形的血枳Z和為匕 s 二近 2JT（1+2）F *〔4（1 + 2 J =（_La1+a 1 +2 16 4Ar 則這個問題的優(yōu)化數(shù)學模型為： = ->min 1 + Z 16 4A sJ A > 0 13、求表面積為300m2的體積最大的圓柱體體積。試寫出這一優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型以 及用MATLAB軟件求解的程序。 14、薄鐵板寬20cm,折成梯形槽 ，求梯形側(cè)邊多長及底角多大，才會使槽的斷面 積最大。寫出這一優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型，并用matlab軟件的優(yōu)化工具箱求解（寫出M 文件和求解命令）o 判斷題 1,二元函數(shù)等值線密集的區(qū)域函數(shù)值變化慢 X 2海塞矩陣正定的充要條件是它的各階主子式大于零x3;當?shù)c接近極小點時?，步長變得 很小，越走越慢v 4二元函數(shù)等值線疏密程度變化 5變尺度法不需海塞矩陣v 6梯度法兩次的梯度相互垂直v