《機械優(yōu)化設計》試卷及答案復習過程

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1、精品文檔 《機械優(yōu)化設計》復習題及答案 一、填空題 1、用最速下降法求f(X)=100(X2-Xi2)2+(Lxi)2的最優(yōu)解時,設XG=H).5,0.5]t,第一 步迭代的搜索方向為 卜47;-50] o 2、機械優(yōu)化設計采用數(shù)學規(guī)劃法,其核心一是建立搜索方向 二是計算最佳步長因 子 o 3、當優(yōu)化問題是一凸規(guī)劃 的情況下，任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。 4、應用進退法來確定搜索區(qū)間時，最后得到的三點，即為搜索區(qū)間的始點、中間點和 終點，它們的函數(shù)值形成高-低-高 趨勢。 5、包含n個設計變量的優(yōu)化問題，稱為_n 維優(yōu)化問題。 1 6、函數(shù)一XWX BTX C的梯度

2、為 HX+B o 2 7、設G為n>n對稱正定矩陣，若n維空間中有兩個非零向量d。，d1,滿足(d^GcT=0,則 d。、cP之間存在一共規(guī)■關系。 8、 設計變量 、 約束條件、目標函數(shù) 是優(yōu)化 設計問題數(shù)學模型的基本要素。 9、對于無約束二元函數(shù)若在Xo(Xio,X2。)點處取得極小值，其必要條件是梯度為 雯 ，充分條件是 海塞矩陣正定 o 10、 條件可以敘述為在極值點處目標函數(shù)的梯度為起作 用的各約束函數(shù)梯度的非負線性組合。 11、用黃金分割法求一元函數(shù)f(xHx2-10x36的極小點，初始搜索區(qū)間 [a,b] =[-10,10],經(jīng)第一次區(qū)間消去后得到的新區(qū)間為 [

3、236236] 。 12、優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型的基本要素有設 、 13、牛頓法的搜索方向dk=,其計算量大，且要求初始點在極小點逼近位置。 14、將函數(shù) f(X)=x 12+X22-X1X2-10X1-4X2+60 表示成-XTHX BTX C 的形 2 式 O 15、存在矩陣H,向量ch,向量d2,當滿足 ,向量由和向量d2 是關于H共規(guī)。 16、采用外點法求解約束優(yōu)化問題時，將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為外點形式時引入的懲罰因 子r數(shù)列，具有 由小到大趨于無窮 特點。 17、采用數(shù)學規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點時，根據(jù)迭代公式需要進行一維搜索，即 求 O 二、選擇題 1、下

4、面 方法需要求海賽矩陣。 A、最速下降法 B、 共加梯度法 C、牛頓型法 D、 DFP法 2、對于約束問題 22 min f X 4卷 X2 -4X2 4 2 gi X —. Xi—X2— 1 A 0 Q2 X ]=3 - Xi 0 g 3 x =o 根據(jù)目標函數(shù)等值線和約束曲線，判斷 X[二[1,1]為 ， X 234 =[5,.「 C只含有等式的優(yōu)化問題 D含有不等式和等式約束的優(yōu)化問題 4對于一維搜索，搜索區(qū)間為[a, b],中間插入兩個點ai、bi, aivb,計算出f(ai) vf(bi), 則縮短后的搜索區(qū)間為 o A [ai, bi] B[b

5、i, b] C[ai, b] D[a, bi]_ 5 是優(yōu)化設計問題數(shù)學模型的基本要素。 A設計變量 B半正定 C負定 D半負定 10、下 列關于最常用的一維搜索試探方法一一黃金分割法的敘述，錯誤的是 假設要求在區(qū)間[a, b]插入兩點a、a,且ava。 A、其縮短率為0.618 B、 a=b-入(b-a) 22 為 O A ?內(nèi)點；內(nèi)點 B.外點；外點 C.內(nèi)點；外點 D.外點；內(nèi)點 3、內(nèi)點懲罰函數(shù)法可用于求解 化問題。 A無約束優(yōu)化問題 B只含有不等式約束的優(yōu)化問題 B約束條件 C目標函數(shù) D最佳步長 6、變尺度法的迭代公式為xk+Zxk

6、.aHNf(xk),下列不屬于Hk必須滿足的條件的是 O A. Hk之間有簡單的迭代形式 B.擬牛頓條件 C.與海塞矩陣正交 D.對稱正定 7、函數(shù)f(X)在某點的梯度方向為函數(shù)在該點的 o N、最速上升方向 B、上升方向 C、最速下降方向 D、下降方向 &下面四種無約束優(yōu)化方法中， 構(gòu)成搜索方向時沒有使用到目標函數(shù)的 一階或二階導數(shù)。 A梯度法 B牛頓法 C變尺度法 C、a = a+入(b-a) D第一步迭代的搜索方向為初始點的負梯度 D坐標輪換法 9、設f(X)為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導數(shù)的函數(shù)，則f(X)在R上為凸函數(shù)的 充分必要條件是海塞矩陣

7、G(X)在R上處處 o A正定 D、在該方法中縮短搜索區(qū)間采用的是外推法。 11、與梯度成銳角的方向為函數(shù)值 上ft方向，與負梯度成銳角的方向為函數(shù)值工 降方向，與梯度成直角的方向為函數(shù)值 丕變 方向。 A、上升 B、下降 C、不變 D、為零 12、二維目標函數(shù)的無約束極小點就是 o 4、等值線族的一個共同中心 B、梯度為0的點 C、全局最優(yōu)解 D、海塞矩陣正定的點 13、最速下降法相鄰兩搜索方向dk和dk+i必為 向量。 A相切 B正交 C成銳角 D共胡 14、下列關于內(nèi)點懲罰函數(shù)法的敘述，錯誤的是 o A可用來求解含不等式約束和等式約束的最優(yōu)化問題。

8、 B懲罰因子是不斷遞減的正值 C初始點應選擇一個離約束邊界較遠的點。 D初始點必須在可行域內(nèi) 15、通常情況下，下面四種算法中收斂速度最慢的是 A牛頓法B梯度法C共貌梯度法 D變尺度法 16、一維搜索試探方法一一黃金分割法比二次插值法的收斂速度 A、慢B、快C、一樣D、不確定 17、下列關于共規(guī)梯度法的敘述，錯誤的是 。A需要求海賽矩陣 B除第一步以外的其余各步的搜索方向是將負梯度偏轉(zhuǎn)一個角度 C共除梯度法具有 二次收斂性 三、問答題 1、 試述兩種一維搜索方法的原理，它們之間有何區(qū) 答：搜索的原理是：區(qū)間消去法原理 區(qū)別：（1）、試探法：給定的規(guī)定來確定插入點的位置

9、，此點的位置確定僅僅按照區(qū)間的 縮短如何加快，而不顧及函數(shù)值的分布關系，如黃金分割法 （2）、插值法：沒有函數(shù)表達式，可以根據(jù)這些點處的函數(shù)值，利用插值方法建立函數(shù)的 某種近似表達式，近而求出函數(shù)的極小點，并用它作為原來函數(shù)的近似值。這種方法 稱為插 值法，又叫函數(shù)逼近法。 2、懲罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問題的基本原理是什么？ 答，基本原理是將優(yōu)化問題的不等式和等式約束函數(shù)經(jīng)過加權(quán)轉(zhuǎn)化后，和原目標函數(shù) 結(jié)合 形成新的目標函數(shù)一一懲罰函數(shù) 求解該新目標函數(shù)的無約束極值，以期得到原問 題的約束最優(yōu)解 3、試述數(shù)值解法求最佳步長因子的基本思路。 答主要用數(shù)值解法，利用計算機通過反復迭代計算求

10、得最 佳步長因子的近似值 4、試述求解無約束優(yōu)化問題的最速下降法與牛頓型方法的優(yōu)缺點。 答：最速下降法此法優(yōu)點是直接、簡單，頭幾步下降速度快。缺點是收斂速度慢，越到 后面收斂越慢。牛頓法優(yōu)點是收斂比較快，對二次函數(shù)具有二次收斂性。缺點是每次迭代需 要求海塞矩陣及其逆矩陣，維數(shù)高時及數(shù)量比較大。 5、寫出用數(shù)學規(guī)劃法求解優(yōu)化設計問題的數(shù)值迭代公式，并說明公式中各變量的意義， 并說明迭代公式的意義。 四、解答題 1、試用梯度法求目標函數(shù)f （X） =1.5xi2+0.5x22.XiX2-2Xi的最優(yōu)解，設初始點x[2, 4]t, 選代精度& =0.02 （迭代一步）。 取初酷直f I

11、T 則初始力i處神敷值尺樣度殳別為 2 12 二凡 A 4 O -2 +乜 J -『 v/(jrt)= * 一 J?& y/ (Ar)- 其中嶼為(ESB索晝性步? 卜 I 打“24 4? 0 ?、iff — 17 1一 26-I73817 rmnlL IM } = 50&a； -l&(taih + 26= 0.4

12、706 2、試用牛頓法求f(X)=(x卜2)2+(x卜2X2)2的最優(yōu)解，設初始點x(o)=[2,1]T。 3、設有函數(shù)f(X)=XH2X22-2XiX2-4Xj試利用極值條件求其極值點和極值。 22 4、求目標函數(shù)f( X )=x i+XiX2+2X2+4X1+6X2+10的極值和極值點。 G(A) = a 丁 / kacbr. 1 02 102 1 1 -2 Uj5x,曲曲 4盡 + 2TYJ ,IL 10jf：*2曲一血=0,初駐白為兒二 ?.冏 2每*2氐， 冉"戰(zhàn)化的打第普.刑斷也卜山出音為桃但點.由I 創(chuàng)國耳、的，階主TA>jt .

13、階 fA>i： M-l。io -4U>0 - ■:階主子咖 5、試證明函數(shù)f(X)=2X|2+5X22+X32+2X3X2+2X3Xi?6X2+3在點［1, 1,?27處具有極小值。 6、 給定約束優(yōu)化問題 22 min f(X)=(x i-3)2+(X2-2)2 22 S.t. gi(X)=— Xi— X2+ 5> 0 g2(X)= 一 Xi— 2X2 + 4》0 ga(X)= Xi> 0 g4(X)=X 2> 0 驗證在點X =[2,i]TKuhn-Tucker條件成立。 7、設非線性規(guī)劃問題 min f (X) =(% -2. x； s.t. gjX) =

14、% _0 92 (X) = X2_0 ga(X) -x： 1_0 用K-T條件驗證X* = 1,0 丁為其約束最優(yōu)點。 10、如圖，有一塊邊長為6m的正方形鋁板，四角截去相等的邊長為x的方塊并折轉(zhuǎn)，造一 個無蓋的箱子，問如何截法(x取何值)才能獲得最大容器的箱子。試寫出這一優(yōu) 化問題的數(shù) 學模型以及用MATLAB軟件求解的程序。 這個簡單的最優(yōu)化問題可把箱子的容積V表成變星參數(shù) 令其-階導數(shù)為零(即刈 x的函數(shù),V=v(6-2a)2, 得極大點ml、函數(shù)極 大值匕.二16,從而獲 得四角截去邊長1m的 止方形使折轉(zhuǎn)的箱子 容積最大(16m3)最優(yōu) 方案。 11、某廠生產(chǎn)一個容

15、積為8000cm3的平底無蓋的圓柱形容器，要求設計此容器消耗原材 料 最少，試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學模型以及用 MATLAB軟件求解的程序。 12、一根長I的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形，問應以怎樣的比例 截斷 鉛絲，才能使圓和方形的面積之和為最大，試寫出這一優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型以及用 MATLAB軟件求解的程序。 4.設以2的比例截取鉛絲，能使問題達到皿優(yōu)煙, 如圖眇示：其中竺二力，解得：AC = — , Cfi = — CB 1 +2 14Z 折成的同形和方形的血積之和為： 則這個問題的優(yōu)化數(shù)學模型為： ）》（_L + 八-）->niin 16 4zr sA 2>0 13、求表面積為300m2的體積最大的圓柱體體積。試寫出這一優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型以 及用MATLAB軟件求解的程序。 14、薄鐵板寬20cm,折成梯形槽 ，求梯形側(cè)邊多長及底角多大，才會使槽的斷面 積最大。寫出這一優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型，并用matlab軟件的優(yōu)化工具箱求解（寫出M 文件和求解命令）。 判斷題 1,二元函數(shù)等值線密集的區(qū)域函數(shù)值變化慢 x 2海塞矩陣正定的充要條件是它的各階主子式大于零x3;當?shù)c接近極小點時，步長變得 很小，越走越慢v 4二元函數(shù)等值線疏密程度變化 5變尺度法不需海塞矩陣v 6梯度法兩次的梯度相互垂直v