高中數(shù)學(xué) 第一章 §2 綜合法與分析法課件 北師大版選修22

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1、第第一一章章2 2 理解教理解教材新知材新知把握熱把握熱點(diǎn)考向點(diǎn)考向應(yīng)用創(chuàng)新演練應(yīng)用創(chuàng)新演練 考點(diǎn)一考點(diǎn)一 考點(diǎn)二考點(diǎn)二 考點(diǎn)三考點(diǎn)三 知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一一 知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二二提示：從已知到結(jié)論提示：從已知到結(jié)論提示：基本不等式提示：基本不等式 綜合法綜合法 (1)含義：從命題的含義：從命題的 出發(fā)，利用定義、公理、定理出發(fā)，利用定義、公理、定理及運(yùn)算法則，通過及運(yùn)算法則，通過 推理，一步一步地接近要證明推理，一步一步地接近要證明的的 ，直到完成命題的證明的思維方法，稱為綜合法，直到完成命題的證明的思維方法，稱為綜合法 (2)思路：綜合法的基本思路是思路：綜合法的基本思路是“由因?qū)Ч梢驅(qū)Ч?(3

2、)模式：綜合法可以用以下的框圖表示：模式：綜合法可以用以下的框圖表示： 其中其中P為條件，為條件，Q為結(jié)論為結(jié)論條件條件演繹演繹結(jié)論結(jié)論 你們看過偵探小說你們看過偵探小說福爾摩斯探案集福爾摩斯探案集嗎？尤其是福嗎？尤其是福爾摩斯在探案中的推理，給人印象太深刻了有時(shí)，他先爾摩斯在探案中的推理，給人印象太深刻了有時(shí)，他先假定一個(gè)結(jié)論成立，然后逐步尋找這個(gè)結(jié)論成立的一個(gè)充假定一個(gè)結(jié)論成立，然后逐步尋找這個(gè)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件，直到找到一個(gè)明顯的證據(jù)分條件，直到找到一個(gè)明顯的證據(jù) 問題問題1：他的推理如何入手？：他的推理如何入手？ 提示：從結(jié)論成立入手提示：從結(jié)論成立入手 問題問題2：他又是如何分析

3、的？：他又是如何分析的？ 提示：逐步探尋每一結(jié)論成立的充分條件提示：逐步探尋每一結(jié)論成立的充分條件 問題問題3：這種分析問題方法在數(shù)學(xué)問題證明可以借鑒嗎？：這種分析問題方法在數(shù)學(xué)問題證明可以借鑒嗎？ 提示：可以提示：可以 分析法分析法 (1)含義：從求證的含義：從求證的 出發(fā)，一步一步地探索保證出發(fā)，一步一步地探索保證前一個(gè)結(jié)論成立的前一個(gè)結(jié)論成立的 ，直到歸結(jié)為這個(gè)命題的，直到歸結(jié)為這個(gè)命題的 ，或者歸結(jié)為，或者歸結(jié)為 等這種證明問等這種證明問題的思維方法稱為分析法題的思維方法稱為分析法 (2)思路：分析法的基本思路是思路：分析法的基本思路是“執(zhí)果索因執(zhí)果索因” (3)模式：若用模式：若用Q

4、表示要證明的結(jié)論，則分析法可以用表示要證明的結(jié)論，則分析法可以用如下的框圖來表示：如下的框圖來表示：結(jié)論結(jié)論充分條件充分條件條件條件定義、公理、定理定義、公理、定理 1綜合法是從綜合法是從“已知已知”看看“可知可知”逐步推向未知，由逐步推向未知，由因?qū)Чㄟ^逐步推理尋找問題成立的必要條件它的證因?qū)Чㄟ^逐步推理尋找問題成立的必要條件它的證明格式為：因?yàn)槊鞲袷綖椋阂驗(yàn)?，所以，所以，所以，所以所以所以成立成?2分析法證明問題時(shí)，是從分析法證明問題時(shí)，是從“未知未知”看看“需知需知”，執(zhí)，執(zhí)果索因逐步靠攏果索因逐步靠攏“已知已知”，通過逐步探索，尋找問題成立，通過逐步探索，尋找問題成立的充分條件它

5、的證明格式：要證的充分條件它的證明格式：要證，只需證，只需證，只需證，只需證因?yàn)橐驗(yàn)槌闪?，所以成立，所以成立成?思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥由已知條件出發(fā)，結(jié)合基本不等式，即可由已知條件出發(fā)，結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)論得出結(jié)論 一點(diǎn)通一點(diǎn)通從從“已知已知”看看“可知可知”，逐步推向，逐步推向“未知未知”，由，由因?qū)Ч?，其逐步推理，?shí)際上是尋找每一步的必要條件，因?qū)Ч渲鸩酵评?，?shí)際上是尋找每一步的必要條件，如何找到如何找到“切入點(diǎn)切入點(diǎn)”和有效的推理途徑是利用綜合法證明問和有效的推理途徑是利用綜合法證明問題的關(guān)鍵題的關(guān)鍵2已知點(diǎn)已知點(diǎn)P是直角三角形是直角三角形ABC所在平面外的一點(diǎn)，所在平面外的一點(diǎn)

6、，O是斜邊是斜邊AB的中點(diǎn)，并且的中點(diǎn)，并且PAPBPC.求證：求證：PO平面平面ABC.證明：證明：連接連接OC，如圖所示，如圖所示，AB是是RtABC的斜邊，的斜邊，O是是AB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，OAOBOC.又又PAPBPC，POAB，且且POA POC，POAPOC.POC90.即即POAB，POOC，且，且ABOCO，所以，所以PO平面平面ABC. 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥條件和結(jié)論的聯(lián)系不明確，考慮用分析法條件和結(jié)論的聯(lián)系不明確，考慮用分析法證明，將要證明的不等式一步步轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的不等式證明，將要證明的不等式一步步轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的不等式 一點(diǎn)通一點(diǎn)通分析法是分析法是“執(zhí)果索因執(zhí)果索因”，一步步

7、尋找結(jié)論成，一步步尋找結(jié)論成立的充分條件它是從求證的結(jié)論出發(fā)，逆著分析，由未立的充分條件它是從求證的結(jié)論出發(fā)，逆著分析，由未知想需知，由需知逐漸地靠近已知，這種證明的方法關(guān)鍵知想需知，由需知逐漸地靠近已知，這種證明的方法關(guān)鍵在于需保證分析過程的每一步都是可以逆推的，它的常見在于需保證分析過程的每一步都是可以逆推的，它的常見書寫表達(dá)式是書寫表達(dá)式是“要證要證，只需證，只需證”4如圖所示，如圖所示，SA平面平面ABC，AB BC，過，過A作作SB的垂線，垂足為的垂線，垂足為E， 過過E作作SC的垂線，垂足為的垂線，垂足為F，求證：，求證： AFSC.證明：證明：要證要證AFSC，只需證，只需證SC

8、平面平面AEF，只需證只需證AESC(因?yàn)橐驗(yàn)镋FSC)只需證只需證AE平面平面SBC，只需證只需證AEBC(因?yàn)橐驗(yàn)锳ESB)，只需證只需證BC平面平面SAB，只需證只需證BCSA(因?yàn)橐驗(yàn)锳BBC)，由由SA平面平面ABC可知，可知，BCSA成立成立AFSC.所以只需證所以只需證c(bc)a(ab)(ab)(bc)，即證明即證明c2a2acb2.(*)ABC的三個(gè)內(nèi)角的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，成等差數(shù)列，B60.由余弦定理，得由余弦定理，得b2c2a22accos 60.b2c2a2ac.代入代入(*)式，等式成立式，等式成立c2a2acb2成立故命題得證成立故命題得證 一點(diǎn)通一點(diǎn)通

9、綜合法推理清晰，易于書寫，分析法從結(jié)綜合法推理清晰，易于書寫，分析法從結(jié)論入手，易于尋找解題思路，在實(shí)際證明命題時(shí)，常把分論入手，易于尋找解題思路，在實(shí)際證明命題時(shí)，常把分析法與綜合法結(jié)合起來使用，稱為分析綜合法，其結(jié)構(gòu)特析法與綜合法結(jié)合起來使用，稱為分析綜合法，其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論點(diǎn)是：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論P(yáng)；若由；若由P可推出可推出Q，即可得證，即可得證 分析法與綜合法的優(yōu)缺點(diǎn)：分析法與綜合法的優(yōu)缺點(diǎn)： 綜合法和分析法是直接證明的兩種基本方法，兩種方綜合法和分析法是直接證明的兩種基本方法，兩種方法各有優(yōu)缺點(diǎn)分析法解題方向較為明確，容易尋找到解法各有優(yōu)缺點(diǎn)分析法解題方向較為明確，容易尋找到解題的思路和方法，缺點(diǎn)是思路逆行，敘述較繁；綜合法從題的思路和方法，缺點(diǎn)是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡(jiǎn)捷地解決問題，但不便于思考實(shí)際條件推出結(jié)論，較簡(jiǎn)捷地解決問題，但不便于思考實(shí)際證題時(shí)常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后用證題時(shí)常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后用綜合法有條理地表述解題過程綜合法有條理地表述解題過程