2019年春新人教版八年級數學下冊第十八章平行四邊形章末提升練習

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2019 年春新人教版八年級數學下冊第十八章平行四邊形章末提升練習平行四邊形章末小結與提升四邊形 平行四邊形 正方形類型 1 平行四邊形的性質和判定典例 1 如圖,已知 AB∥DE,AB=DE,AF=DC,求證:四邊形 BCEF 是平行四邊形.【解析】如圖,連接 AE,DB,BE,設 BE 交 AD 于點 O.∵AB∥DE,AB=DE,∴四邊形 ABDE 是平行四邊形,∴OB=OE,OA=OD.∵AF=DC,∴OF=OC,∴四邊形 BCEF 是平行四邊形.【針對訓練】1.如圖,在平行四邊形 ABCD 中,AD=7,CE 平分∠BCD 交 AD 邊于點 E,且 AE=3,則 AB 的長為 (A)A.4 B.3 C.5/2 D.22.如圖,P 為?ABCD 的邊 AD 上一點,E,F 分別是 PB,PC 的中點,△PEF,△PDC,△PAB 的面積分別為 S,S1,S2,若 S=3,則 S1+S2 的值是 12 .3.在?ABCD 中,點 E 在 CD 邊上,點 F 在 AB 邊上,連接AE,CF,DF,BE,∠DAE=∠BCF.(1)如圖 1,求證:四邊形 DFBE 是平行四邊形;(2)如圖 2,設 AE 交 DF 于點 G,BE 交 CF 于點 H,連接 GH,若 E 是 CD 邊的中點,在不添加任何輔助線的情況下,請直接寫出圖中以 GH 為邊或對角線的所有平行四邊形.解:(1)∵四邊形 ABCD 是平行四邊形,∴AB∥CD,∠ADE=∠CBF,AD=BC,在△ADE 和△CBF 中,{■(∠ADE=∠CBF“,“ @AD=BC“,“ @∠DAE=∠BCF“,“ )┤∴△ADE≌△CBF(ASA),∴DE=BF,又∵DE∥BF,∴四邊形 DFBE 是平行四邊形.(2)以 GH 為邊的平行四邊形有?GHFA、?GHBF、?GHED、?GHCE;以 GH為對角線的平行四邊形是?GFHE.類型 2 三角形的中位線典例 2 如圖,等邊△ABC 的邊長是 4,D,E 分別為 AB,AC 的中點,延長BC 至點 F,使 CF=1/2BC,連接 CD 和 EF.(1)求證:DE=CF;(2)求 EF 的長;(3)求四邊形 DEFC 的面積.【解析】(1)在△ABC 中,∵D,E 分別為 AB,AC 的中點,∴DE 為△ABC 的中位線,∴DE=1/2BC,∵CF=1/2BC,∴DE=CF.(2)∵AC=BC,AD=BD,∴CD⊥AB.∵BC=4,BD=2,∴CD=√(4^2 “-“ 2^2 )=2√3.∵DE∥CF,DE=CF,∴四邊形 DEFC 是平行四邊形,∴EF=CD=2√3.(3)過點 D 作 DH⊥BC 于點 H.∵∠DHC=90°,∠DCB=30°,∴DH=1/2DC=√3,∵DE=CF=2,∴S 四邊形 DEFC=CF?DH=2×√3=2√3.【針對訓練】1.以一個面積為 1 的三角形的三條中位線為三邊的三角形的面積為 (C)A.4 B.2 C.1/4 D.1/22.如圖,D,E 分別是 AB,AC 的中點,BE 是∠ABC 的平分線,對于下列結論:①BC=2DE;②DE∥BC;③BD=DE;④BE⊥AC.其中正確的是 (D)A.①② B.①②③C.①②④ D.①②③④3.(曲靖中考)如圖,在△ABC 中,AB=13,BC=12,D,E 分別是 AB,BC 的中點,連接 DE,CD,如果 DE=2.5,那么△ACD 的周長是 18 .4.如圖,在四邊形 ABCD 中,AB=CD,M,N,P 分別是 AD,BC,BD 的中點,∠ABD=20°,∠BDC=70°,求∠PMN 的度數.解:∵在四邊形 ABCD 中,M,N,P 分別是 AD,BC,BD 的中點,∴PN,PM 分別是△CDB 與△DAB 的中位線,∴PM=1/2AB,PN=1/2DC,PM∥AB,PN∥DC,∴∠MPD=∠ABD=20°,∠BPN=∠BDC=70°,∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=20°+(180-70)°=130°,∵AB=CD,∴PM=PN,∴∠PMN=(180“°-“ 130“°“ )/2=25°.類型 3 直角三角形斜邊上的中線典例 3 如圖,△ABC 中,AB=AC,D 是 BC 上一點,DE⊥AB 于點E,FD⊥BC 于點 D,G 是 FC 的中點,連接 GD.求證:GD⊥DE.【解析】∵FD⊥BC,G 是 FC 的中點,∴GD 是 Rt△FCD 斜邊上的中線,∴GD=GC,∴∠GDC=∠C.又∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠B=∠GDC,∴GD∥AB,∴∠BED=∠GDE.∴∠GDE=90°,∴GD⊥DE.【針對訓練】1.如圖,公路 AC,BC 互相垂直,公路 AB 的中點 M 與點 C 被湖隔開,若測得 AB 的長為 2.4 km,則 M,C 兩點間的距離為 (B)A.0.6 km B.1.2 km C.0.9 km D.4.8 km2.如圖,在三角形 ABC 中,AB=AC,BC=6,△DEF 的周長是 7,AF⊥BC 于點 F,BE⊥AC 于點 E,且 D 是 AB 的中點,則 AF 的長為 (A)A.√7 B.√5 C.√3 D.73.如圖,在△ABC 中,D 是 BC 上一點,AB=AD,E,F 分別是 AC,BD 的中點,EF=2,則 AC 的長是(B)A.3 B.4 C.5 D.6類型 4 特殊的平行四邊形的性質和判定典例 4 如圖,在四邊形 ABCD 中,BD 為一條對角線,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E 為 AD 的中點,連接 BE.(1)求證:四邊形 BCDE 為菱形;(2)連接 AC,若∠ADB=30°,BC=1,求 AC 的長.【解析】(1)∵AD=2BC,E 為 AD 的中點,∴DE=BC.∵AD∥BC,∴四邊形 BCDE 是平行四邊形,∵∠ABD=90°,AE=DE,∴BE=DE,∴平行四邊形 BCDE 是菱形.(2)連接 AC.∵∠ADB=30°,∠ABD=90°,∴AD=2AB,∵AD=2BC,∴AB=BC,∴∠BAC=∠BCA.∵AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA,∴∠CAB=∠CAD=30°,∴AB=BC=DC=1,AD=2BC=2.∵∠DAC=30°,∠ADC=60°,∴在 Rt△ACD 中,AC=√(AD^2 “-“ CD^2 )=√3.【針對訓練】1.如圖,在邊長為 2 的正方形 ABCD 中,M 為邊 AD 的中點,延長 MD 至點 E,使 ME=MC,以 DE 為邊作正方形 DEFG,點 G 在邊 CD 上,則 DG 的長為 (D)A.√3-1 B.3-√5 C.√5+1 D.√5-12.如圖,在△ABC 中,AB=3,AC=4,BC=5,P 為邊 BC 上一動點,PE⊥AB 于點 E,PF⊥AC 于點 F,M 為 EF 的中點,則 AM 的最小值為 6/5 .3.如圖,四邊形 ABCD 是菱形,CE⊥AB 交 AB 延長線于點 E,CF⊥AD 交AD 延長線于點 F,請猜想 CE 和 CF 的大小有什么關系?并證明你的猜想.解:CE=CF.∵四邊形 ABCD 是菱形,∴AD∥BC,AB∥CD,CD=BC,∴∠A=∠CBE,∠A=∠FDC,∴∠CBE=∠FDC.∵CF⊥AD,CE⊥AB,∴∠CEB=∠CFD=90°,在△CDF 和△CBE 中,{■(∠CDF=∠CBE“,“ @∠CFD=∠CEB“,“ @CD=CB“,“ )┤∴△CDF≌△CBE(AAS),∴CE=CF.4.定義:若 P 為四邊形 ABCD 內一點,且滿足∠APB+∠CPD=180°,則稱點 P 為四邊形 ABCD 的一個“互補點”.(1)如圖 1,點 P 為四邊形 ABCD 的一個“互補點”,∠APD=63°,求∠BPC 的度數.(2)如圖 2,點 P 是菱形 ABCD 對角線上的任意一點.求證:點 P 為菱形ABCD 的一個“互補點”.解:(1)由題可知∠BPC=180°-∠APD=180°-63°=117°.(2)連接 AP,CP.∵四邊形 ABCD 是菱形,∴AD=CD,∠ADP=∠CDP.在△ADP 與△CDP 中,{■(AD=CD“,“ @∠ADP=∠CDP“,“ @PD=PD“,“ )┤∴△ADP≌△CDP(SAS),∴∠APD=∠CPD.又∵∠APB+∠APD=180°,∴∠APB+∠CPD=180°,∴點 P 為菱形 ABCD 的一個“互補點”.