高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)分類(lèi)自測(cè) 曲線與方程 理

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1、2015年高考理科數(shù)學(xué)考點(diǎn)分類(lèi)自測(cè)：曲線與方程 一、選擇題 1．已知||＝3，A、B分別在y軸和x軸上運(yùn)動(dòng)，O為原點(diǎn)，＝＋，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是(　　) A.＋y2＝1　　　　　　　B．x2＋＝1 C.＋y2＝1 D．x2＋＝1 2．已知兩個(gè)定點(diǎn)A(－2,0)，B(1,0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|＝2|PB|，則點(diǎn)P的軌跡所圍成的圖形的面積等于(　　) A．π B．4π C．8π D．9π 3．平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A(3,1)，B(－1,3)，若點(diǎn)C滿足＝λ1＋λ2 (O為原點(diǎn))，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，則點(diǎn)C的軌跡是(　　) A．直線 B．橢

2、圓 C．圓 D．雙曲線 4．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C為一個(gè)焦點(diǎn)作過(guò)A、B的橢圓，橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F的軌跡方程是(　　) A．y2－＝1(y≤－1) B．y2－＝1(y≥1) C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1(x≥1) 5．給出以下方程： ①2x＋y2＝0；②3x2＋5y2＝1；③3x2－5y2＝1；④|x|＋|y|＝2；⑤|x－y|＝2，則其對(duì)應(yīng)的曲線可以放進(jìn)一個(gè)足夠大的圓內(nèi)的方程的個(gè)數(shù)是(　　)A． 1 B．2 C．3 D．4 6．圓O：x2＋y2＝16，A(－2,0)，B(2,0)為兩個(gè)定點(diǎn)．直線l是圓O的一條切線，若經(jīng)過(guò)A

3、、B兩點(diǎn)的拋物線以直線l為準(zhǔn)線，則拋物線焦點(diǎn)所在的軌跡是(　　) A．雙曲線　　　　　　B．橢圓 C．拋物線 D．圓 二、填空題 7．直線＋＝1與x、y軸交點(diǎn)的中點(diǎn)的軌跡方程是____________． 8．△ABC的頂點(diǎn)A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是________． 9．曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1(－1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a＞1)的點(diǎn)的軌跡．給出下列三個(gè)結(jié)論： ①曲線C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)； ②曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)； ③若點(diǎn)P在曲線C上，則△F1PF2的面積不大于a2. 其

4、中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是____． 三、解答題 10．已知A、B分別是直線y＝x和y＝－x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB的長(zhǎng)為2，P是AB的中點(diǎn)． 求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程． 11．已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1. (1)求橢圓C的方程； (2)若P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，M為過(guò)P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，＝λ，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線． 12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：x＝－2交x軸于點(diǎn)A，設(shè)P是l上一點(diǎn)，M是線段OP的垂直平分線上一點(diǎn)，且滿足∠MPO＝∠

5、AOP. 當(dāng)點(diǎn)P在l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡E的方程． 詳解答案 一、選擇題 1．解析：設(shè)A(0，y0)，B(x0,0)，P(x，y)，則由||＝3得x＋y＝9，又因?yàn)椋?(x，y)，＝(0，y0)，＝(x0,0)，由＝＋得x＝，y＝，因此x0＝，y0＝3y，將其代入x＋y＝9得＋y2＝1. 答案：A 2．解析：設(shè)P(x，y)，則|PA|2＝(x＋2)2＋y2，|PB|2＝(x－1)2＋y2，又|PA|＝2|PB|， ∴(x＋2)2＋y2＝4(x－1)2＋4y2， ∴(x－2)2＋y2＝4，表示圓，∴S＝πr2＝4π. 答案：B 3．解析：設(shè)C(x

6、，y)，則＝(x，y)，＝(3,1)， ＝(－1,3)， ∵＝λ1＋λ2，∴，又λ1＋λ2＝1， ∴x＋2y－5＝0，表示一條直線． 答案：A 4．解析：由題意知|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14， 又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|， ∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2， 故點(diǎn)F的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的下支，又c＝7，a＝1，b2＝ 48，∴點(diǎn)F的軌跡方程為y2－＝1(y≤－1)． 答案：A 5．解析：所給出的方程中，①2x＋y2＝0是拋物線，②3x2＋5y2＝1是橢圓，③3x2－5y2＝1是雙曲線，④|x|＋|y|＝2是

7、一個(gè)正方形，⑤|x－y|＝2是兩條平行直線，只有②④兩個(gè)方程對(duì)應(yīng)的曲線是封閉曲線，可以放進(jìn)一個(gè)足夠大的圓內(nèi)． 答案：B 6．解析：設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，因?yàn)锳、B在拋物線上，所以由拋物線的定義知，A、B到F的距離AF、BF分別等于A、B到準(zhǔn)線l的距離AM、BN，于是|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|. 過(guò)O作OP⊥l，由于l是圓O的一條切線，所以四邊形AMNB是直角梯形，OP是中位線，故有|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝2|OP|＝8>4＝|AB|. 根據(jù)橢圓的定義知，焦點(diǎn)F的軌跡是一個(gè)橢圓． 答案：B 二、填空題 7．解析：(參數(shù)法)設(shè)直線＋＝1與x、y軸交點(diǎn)為A(a

8、,0)，B(0,2－a)，A、B中點(diǎn)為M(x，y)，則x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1，∵a≠0，a≠2，∴x≠0，x≠1.答案：x＋y＝1(x≠0，x≠1) 8．解析：如圖，|AD|＝|AE|＝8， |BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|， 所以|CA|－|CB|＝8－2＝6. 根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支， 方程為－＝1(x＞3)． 答案：－＝1(x＞3)． 9．解析：因?yàn)樵c(diǎn)O到兩個(gè)定點(diǎn)F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)的距離的積是1，而a＞1，所以曲線C不過(guò)原點(diǎn)，即①錯(cuò)誤；因?yàn)镕1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以|

9、PF1||PF2|＝a2對(duì)應(yīng)的軌跡關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即②正確；因?yàn)镾△F1PF2＝|PF1||PF2|sinF1PF2≤|PF1||PF2|＝a2，即面積不大于a2，所以③正確． 答案：②③ 三、解答題 10．解：設(shè)P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵P是線段AB的中點(diǎn)，∴ ∵A、B分別是直線y＝x和y＝－x上的點(diǎn)， ∴y1＝x1，y2＝－x2. ∴ 又|AB|＝2，∴(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝12. ∴12y2＋x2＝12. ∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為＋y2＝1. 11．解：(1)設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)及半焦距分別為a、c， 由已知得解得a＝4，c＝3.

10、 b2＝a2－c2＝16－9＝7. 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)設(shè)M(x，y)，其中x∈[－4,4]． 由已知＝λ2及點(diǎn)P在橢圓C上可得 ＝λ2， 整理得(16λ2－9)x2＋16λ2y2＝112，其中x∈[－4,4]． ①λ＝時(shí)，化簡(jiǎn)得9y2＝112，所以點(diǎn)M的軌跡方程為y＝±(－4 ≤x≤4)，軌跡是兩條平行于x軸的線段． ②λ≠時(shí)，方程變形為＋＝1， 其中x∈[－4,4]； 當(dāng)0＜λ＜時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在y軸上的雙曲線滿足－4≤x≤4的部分； 當(dāng)＜λ＜1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓滿足－4≤x≤4的部分； 當(dāng)λ≥1時(shí)，點(diǎn)M的

11、軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓． 12．解：如圖，可得直線l：x＝－2與x軸交于點(diǎn)A(－2,0)，設(shè)P(－2，m)， (1)當(dāng)m＝0時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，這時(shí)OP的垂直平分線為x＝－1，由∠AOP＝∠MPO＝0°，得M(－1,0)； (2)當(dāng)m≠0時(shí)，設(shè)M(x0，y0)， ①若x0>－1，由∠MPO＝∠AOP得MP∥OA，有y0＝m， 又kOP＝－，OP的中點(diǎn)為(－1，)， ∴OP的垂直平分線為y－＝(x＋1)，而點(diǎn)M在OP的垂直平分線上， ∴y0－＝(x0＋1)，又m＝y(tǒng)0， 于是y0－＝(x0＋1)，即y＝4(x0＋1)(x0>－1)． ②若x0<－1，如圖，由∠MPO＝∠AOP得點(diǎn)M為OP的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)，在y－＝(x＋1)中，令y＝0，有x＝－－1<－1，即M(－ －1,0)， ∴點(diǎn)M的軌跡E的方程為y2＝4(x＋1)(x≥－1)和y＝0(x<－1)． 內(nèi)容總結(jié)