高中數學 第二章 基本初等函數（Ⅰ）2.1.2.1 指數函數的圖象及性質課件 新人教A版必修1

2.1.2指數函數及其性質第1課時指數函數的圖象及性質主題主題1 1指數函數的定義指數函數的定義1.1.某種細胞分裂時某種細胞分裂時, ,由由1 1個分裂成個分裂成2 2個個,2,2個分裂成個分裂成4 4個個, , ,一個這樣的細胞分裂一個這樣的細胞分裂x x次以后次以后, ,得到的細胞個數得到的細胞個數y y與與x x滿滿足什么關系式足什么關系式? ?提示提示: :y y與與x x之間滿足之間滿足y=2y=2x x(x(xN N* *).).2.2.有一根有一根1 1米長的繩子米長的繩子, ,第一次剪去繩長的一半第一次剪去繩長的一半, ,第二次第二次再剪去剩余繩子的一半再剪去剩余繩子的一半, , ,剪去剪去x x次后剩余繩子的長度次后剩余繩子的長度為為y y米米, ,則則y y與與x x滿足什么關系式滿足什么關系式? ?提示提示: :y y與與x x之間滿足之間滿足y= (xy= (xN N* *).).x1( )23.3.上面問題上面問題1,21,2中滿足的關系式是否是函數關系中滿足的關系式是否是函數關系? ?它們它們與函數與函數y=xy=x2 2有什么區(qū)別有什么區(qū)別? ?提示提示: :因為對于每一個因為對于每一個x x都有唯一的都有唯一的y y與之對應與之對應, ,因此按因此按照函數的定義這兩個關系式都可構成函數照函數的定義這兩個關系式都可構成函數. .它們與函數它們與函數y=xy=x2 2的區(qū)別在于前者的自變量都在指數的位置上的區(qū)別在于前者的自變量都在指數的位置上, ,而而y=xy=x2 2的自變量在底數的位置上的自變量在底數的位置上. .結論結論: :指數函數的定義指數函數的定義函數函數_叫做指數函數叫做指數函數, ,其中其中_是自變量是自變量, ,函數的定義域是函數的定義域是_._.y=ay=ax x(a(a00且且a1)a1)x xR R【微思考【微思考】指數函數解析式有什么特征指數函數解析式有什么特征? ?提示提示: :特征特征1:1:底數底數a a為大于為大于0 0且不等于且不等于1 1的常數的常數. .特征特征2:2:自變量自變量x x的位置在指數上的位置在指數上, ,且且x x的系數是的系數是1.1.特征特征3:a3:ax x的系數是的系數是1.1.主題主題2 2指數函數的圖象與性質指數函數的圖象與性質在同一坐標系中用描點法畫出在同一坐標系中用描點法畫出y=2y=2x x及及y= y= 的圖象的圖象. .列表列表x x-2-2-1.5-1.5-1-1-0.5-0.50 00.50.51 11.51.52 2y=2y=2x x_0.350.35_0.710.71_ _1.411.41_2.832.83_y=y= _2.832.83_1.411.41_ _0.710.71_0.350.35_x1( )20.250.250.50.51 12 24 44 42 21 10.50.50.250.25x1( )2描點畫圖描點畫圖: :結合圖象你發(fā)現二者之間有什么關系結合圖象你發(fā)現二者之間有什么關系? ?提示提示: :共同點共同點: :都在都在x x軸上方軸上方; ;都過點都過點(0,1).(0,1).不同點不同點:y= :y= 的圖象是下降的的圖象是下降的,y=2,y=2x x的圖象是上升的的圖象是上升的. .聯(lián)系聯(lián)系: :二者關于二者關于y y軸對稱軸對稱. .x1( )2結論結論: :指數函數的圖象與性質指數函數的圖象與性質a1a10a10a00且且a1),a1),當底數當底數a a的值越來越的值越來越大時大時, ,圖象在第一象限內的位置關系有什么特點圖象在第一象限內的位置關系有什么特點? ?提示提示: :底數底數a a的取值越大時的取值越大時, ,函數的圖象在第一象限越靠函數的圖象在第一象限越靠近近y y軸軸; ;反之底數反之底數a a的取值越小的取值越小, ,函數的圖象在第一象限函數的圖象在第一象限越靠近越靠近x x軸軸. .2.2.指數函數的單調性取決于哪個量指數函數的單調性取決于哪個量? ?提示提示: :指數函數的單調性與其底數指數函數的單調性與其底數a a有關有關, ,當當a1a1時時,y=a,y=ax x在定義域上是增函數在定義域上是增函數, ,當當0a10a00且且a1)a1)的函數為指數函數的函數為指數函數. .2.2.已知已知1nm0,1nm0,則指數函數則指數函數y=my=mx x, ,y=ny=nx x的圖象為的圖象為( () )【解析【解析】選選C.C.由由1nm01nm0可知兩曲線應為遞減的函數可知兩曲線應為遞減的函數, ,故排除故排除A,B,A,B,再由再由nmnm可知應選可知應選C.C.3.3.若指數函數若指數函數f(xf(x) )的圖象過點的圖象過點(3,8),(3,8),則則f(xf(x) )的解析式的解析式為為( () )A.f(xA.f(x)=x)=x3 3B.f(xB.f(x)=2)=2x xC.f(x)= C.f(x)= D.f(xD.f(x)= )= x1( )213x【解析【解析】選選B.B.設設f(x)=af(x)=ax x(a(a00且且a1),a1),因為因為f(3)=8,f(3)=8,故故a a3 3=8,=8,所以所以a=2.a=2.4.4.若函數若函數f(xf(x)=(a-1)=(a-1)x x是指數函數是指數函數, ,則則a a的取值范圍是的取值范圍是_._.【解析【解析】由題意知由題意知 答案答案: :a1a1且且a2a2a10,a1,a11a2. 5.5.函數函數f(xf(x)= )= 的定義域是的定義域是_._.x21【解析【解析】要使函數要使函數f(xf(x) )有意義有意義, ,需需2 2x x-10,-10,即即2 2x x1,1,故故x0.x0.答案答案: :0,+)0,+)類型一指數函數的定義類型一指數函數的定義【典例【典例1 1】(1)(2017(1)(2017德州高一檢測德州高一檢測) )下列各函數中下列各函數中, ,是是指數函數的是指數函數的是( () )A.yA.y=x=x3 3 B.y B.y=(-4)=(-4)x xC.yC.y=5=5x+1x+1 D.y D.y=5=52x2x=25=25x x(2)(2017(2)(2017長沙高一檢測長沙高一檢測) )若函數若函數y=(ay=(a2 2-5a+5)a-5a+5)ax x是指數是指數函數函數, ,求求a a的值的值. .【解題指南【解題指南】(1)(1)觀察函數解析式的形式看是否滿足指觀察函數解析式的形式看是否滿足指數函數的定義數函數的定義, ,然后再下結論然后再下結論. .(2)(2)已知是指數函數時已知是指數函數時, ,需緊扣指數函數解析式的特點需緊扣指數函數解析式的特點, ,讓讓a ax x的系數為的系數為1,1,列出列出a a的方程的方程, ,進而求出進而求出a a的值的值, ,檢驗可檢驗可得答案得答案. .【解析【解析】(1)(1)選選D.AD.A中雖然是一個冪函數中雖然是一個冪函數, ,但自變量出現但自變量出現在底數上在底數上, ,故不是指數函數故不是指數函數;B;B中雖然是一個冪函數中雖然是一個冪函數, ,且且自變量出現在指數上自變量出現在指數上, ,但但-40,-40,0,且且a1)a1)這一結構特征這一結構特征. .(2)(2)明特征明特征: :指數函數的解析式具有三個特征指數函數的解析式具有三個特征, ,即即a0a0且且a1;a1;a ax x的系數為的系數為1;1;指數位置自變量指數位置自變量x x的系數為的系數為1.1.只要有一個特征不具備只要有一個特征不具備, ,就不是指數函數就不是指數函數. .2.2.已知某函數是指數函數求參數值的兩個步驟已知某函數是指數函數求參數值的兩個步驟(1)(1)列列: :根據底數大于根據底數大于0 0且不等于且不等于1,a1,ax x的系數是的系數是1 1且指數且指數位置自變量位置自變量x x的系數是的系數是1,1,列出方程列出方程( (組組) )或不等式或不等式( (組組).).(2)(2)解解: :解所列方程解所列方程( (組組) )或不等式或不等式( (組組),),求出參數的值求出參數的值. .【鞏固訓練【鞏固訓練】若函數若函數y=(a-2)y=(a-2)2 2a ax x是指數函數是指數函數, ,則則( () )A.aA.a=1=1或或a=3a=3 B.aB.a=1=1C.a=3C.a=3 D.a D.a00且且a1a1【解析【解析】選選C.C.令令(a-2)(a-2)2 2=1,=1,得得a=3a=3或或a=1,a=1,當當a=1a=1時不符合時不符合題意舍去題意舍去, ,故故a=3.a=3.【誤區(qū)警示【誤區(qū)警示】解答本題易出現選解答本題易出現選A A的錯誤的錯誤, ,出現這種錯出現這種錯誤的原因是忽略了指數函數的底數誤的原因是忽略了指數函數的底數a a需滿足需滿足a0a0且且a1.a1.【補償訓練【補償訓練】若若f(xf(x)=(a-1)=(a-1)a ax x+b+b是指數函數是指數函數, ,求求f(bf(b).).【解析【解析】因為因為f(xf(x)=(a-1)=(a-1)a ax x+b+b是指數函數是指數函數, ,所以所以 即即a=2,b=0,a=2,b=0,故故f(xf(x)=2)=2x x, ,所以所以f(bf(b)=f(0)=2)=f(0)=20 0=1.=1.a11,b0, 類型二指數函數的圖象問題類型二指數函數的圖象問題【典例【典例2 2】(1)(2017(1)(2017綿陽高一檢測綿陽高一檢測) )圖中曲線圖中曲線C C1 1,C,C2 2,C,C3 3,C,C4 4分別是指數函數分別是指數函數y=ay=ax x,y=b,y=bx x,y=c,y=cx x,y=d,y=dx x的圖象的圖象, ,則則a,b,c,da,b,c,d與與1 1之間的大小關系是之間的大小關系是( () )A.aA.ab1cdb1cdB.aB.ab1dcb1dcC.bC.ba1cda1cdD.bD.ba1dca1dc(2)(2)畫出函數畫出函數y=5y=5|x|x|的圖象的圖象. .【解題指南【解題指南】(1)(1)取特殊值取特殊值, ,令令x=1,x=1,得到的得到的y y值即為值即為a,b,c,da,b,c,d, ,通過觀察圖象即可確定大小關系通過觀察圖象即可確定大小關系. .(2)(2)先考慮去掉絕對值先考慮去掉絕對值, ,然后畫出函數的圖象然后畫出函數的圖象. .【解析【解析】(1)(1)選選D.D.過點過點(1,0)(1,0)作直線作直線x=1,x=1,在第一象限內在第一象限內分別與各曲線相交分別與各曲線相交, ,可知可知1dc,b1dc,ba1,a1,故故ba1dc.ba1dc.(2)(2)當當x0 x0時時,y=5,y=5|x|x|=5=5x x; ;當當x0 x0時時,y=5,y=5|x|x|=5=5-x-x= .= .所以所以函數函數y=5y=5|x|x|的圖象如圖所示的圖象如圖所示. .x1( )5【延伸探究【延伸探究】1.1.試根據本例試根據本例(2)(2)中所畫圖象中所畫圖象, ,指出函數指出函數y=5y=5|x|x|的圖象特的圖象特征征. .【解析【解析】由本例由本例(2)(2)圖象可知圖象可知, ,圖象最低點為圖象最低點為(0,1),(0,1),向向上無限延伸上無限延伸, ,且圖象關于且圖象關于y y軸對稱軸對稱. .2.2.若把本例若把本例(2)(2)中的函數改為中的函數改為y=5y=5|x+1|x+1|, ,請畫出它的圖象請畫出它的圖象. .【解題指南【解題指南】解答本題可先去絕對值號解答本題可先去絕對值號, ,把已知函數轉把已知函數轉化為分段函數化為分段函數, ,再用描點法作圖再用描點法作圖, ,也可以利用圖象變換也可以利用圖象變換來解題來解題. .【解析【解析】方法一方法一: :當當x-1x-1時時,y=5,y=5|x+1|x+1|=5=5x+1x+1; ;當當x-1x0,+b-1(a0,且且a1)a1)的圖象經的圖象經過第二、三、四象限過第二、三、四象限, ,則一定有則一定有( () )A.0a1,A.0a0b0 B.a1, B.a1,且且b0b0C.0a1,C.0a1,且且b0b0 D.a1, D.a0b0【解析【解析】選選C.C.根據題意畫出函數根據題意畫出函數y=ay=ax x+b-1(a0,+b-1(a0,且且a1)a1)的大致圖象的大致圖象, ,如圖所示如圖所示. .所以所以0a1,0a1,且且f(0)=1+b-10,f(0)=1+b-10,即即0a1,0a1,且且b0.b1,b1,b1,b01,b0C.0a0C.0a0D.0a1,b0D.0a1,b0【解析【解析】選選D.D.從曲線的變化趨勢從曲線的變化趨勢, ,可以得到函數可以得到函數f(xf(x) )為為減函數減函數, ,從而有從而有0a1;0a1;從曲線位置看從曲線位置看, ,是由函數是由函數y=ay=ax x(0a1)(0a0,-b0,即即b0.b0,0,且且y1.y1.1x 121x 121x 121x 11x 12(2)(2)要使函數要使函數y= y= 有意義有意義, ,則則2x-10,2x-10,所以所以x .x .所以函數所以函數y= y= 的定義域為的定義域為 因為因為2x-10,2x-10,所以所以 0,0,所以所以y= 1.y= 1.所以函數所以函數y= y= 的值域為的值域為y|y1.y|y1.2x 15122x 151x | x.22x 152x 12x 15(3)(3)函數函數y=9y=9x x+2+23 3x x-1-1的定義域為的定義域為R.R.令令t=3t=3x x, ,則則t0,t0,所以所以y=ty=t2 2+2t-1=(t+1)+2t-1=(t+1)2 2-2,-2,其對稱軸為直線其對稱軸為直線t=-1.t=-1.因為因為t0,t0,所以函數所以函數y=(t+1)y=(t+1)2 2-2-2單調遞增單調遞增, ,所以所以y=(t+1)y=(t+1)2 2-21-2=-1.-21-2=-1.所以函數所以函數y=9y=9x x+2+23 3x x-1-1值域為值域為y|yy|y-1.-1.【方法總結【方法總結】函數函數y=ay=af(xf(x) )定義域、值域的求法定義域、值域的求法(1)(1)定義域定義域: :形如形如y=ay=af(xf(x) )形式的函數的定義域是使得形式的函數的定義域是使得f(xf(x) )有意義的有意義的x x的取值集合的取值集合. .(2)(2)值域值域: :換元換元, ,令令t=f(xt=f(x););求求t=f(xt=f(x) )的定義域的定義域xDxD; ;求求t=f(xt=f(x) )的值域的值域tMtM; ;利用利用y=ay=at t的單調性求的單調性求y=ay=at t,tM,tM的值域的值域. .提醒提醒:(1):(1)通過建立不等關系求定義域時通過建立不等關系求定義域時, ,要注意解集為要注意解集為各不等關系解集的交集各不等關系解集的交集. .(2)(2)當指數型函數的底數含字母時當指數型函數的底數含字母時, ,在求定義域、值域在求定義域、值域時要注意分類討論時要注意分類討論. .【鞏固訓練【鞏固訓練】求函數求函數 的定義域和值域的定義域和值域. .12x 4y3【解析【解析】要使函數要使函數 有意義有意義, ,只需只需2x-40,2x-40,解得解得x2;x2;令令 則則t0,t0,由于函數由于函數y=3y=3t t在在t(0,+)t(0,+)上是增函數上是增函數, ,故故3 3t t1.1.故函數故函數 的定義域為的定義域為x|xx|x2,2,值域為值域為y|yy|y1.1.12x 4y31t2x4，12x 4y3【誤區(qū)警示【誤區(qū)警示】此題易忽略此題易忽略2x-40,2x-40,而誤認為而誤認為2x-402x-40從從而造成錯誤而造成錯誤. .【補償訓練【補償訓練】已知已知f(xf(x)=3)=3x-bx-b(2x4,b(2x4,b為常數為常數) )的圖象的圖象過點過點(2,1),(2,1),則則f(xf(x) )的值域為的值域為( () )A.9,81A.9,81B.3,9B.3,9C.1,9C.1,9D.1,+)D.1,+)【解析【解析】選選C.C.因為函數因為函數f(xf(x)=3)=3x-bx-b的圖象過點的圖象過點(2,1),(2,1),所所以以3 32-b2-b=1,=1,即即2-b=0,2-b=0,所以所以b=2,b=2,故故f(xf(x)=3)=3x-2x-2. .又因為又因為2x4,2x4,所以所以0 x-22,0 x-22,即即1313x-2x-29,9,故故f(xf(x) )的值域的值域為為1,9.1,9.【課堂小結【課堂小結】1.1.知識總結知識總結2.2.方法總結方法總結(1)(1)根據指數函數解析式的特征判斷函數是否為指數函根據指數函數解析式的特征判斷函數是否為指數函數數. .(2)(2)運用數形結合思想運用數形結合思想, ,借助指數函數圖象去研究指數借助指數函數圖象去研究指數函數的性質函數的性質. .