勾股定理的逆定理 教學設計(一) 第一課時

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1、 教育城中考網： 第12頁 勾股定理的逆定理 教學設計（一） 第一課時 教學設計思路 本節(jié)從古埃及人畫直角的方法談起，然后讓學生畫一些三角形（已知三邊，并且兩邊的平方和等于第三邊的平方）．從而發(fā)現(xiàn)畫出的三角形是直角三角形．猜想如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形，即教科書中的命題2，把命題2的條件、結論與上節(jié)命題1的條件、結論作比較，引出逆命題的概念． 教學目標 知識與技能 1．研究直角三角形的判別條件； 2．熟記一些勾股數； 3．研究勾股定理的逆定理的探究方法。 過程與方法 用三邊

2、的數量關系來判斷一個三角形是否為直角三角形，體會數形結合的思想。 情感態(tài)度與價值觀 1．通過對Rt判別條件的研究，樹立大膽猜想，勇于探索的創(chuàng)新精神。 2．通過介紹有關歷史資料，激發(fā)解決問題的愿望。 教學重點和難點 教學重點：探究勾股定理的逆定理，理解互逆命題，原命題、逆命題的有關概念及關系。 教學難點：歸納、猜想出命題2的結論。 教學方法 啟發(fā)引導、分組討論 教學媒體 多媒體課件演示。 教學過程設計 （一）創(chuàng)設問題情境，引入新課 （1）總結直角三角形有哪些性質。 （2）一個三角形，滿足什么條件是直角三角形？ 通過對前面所學知識的歸納總結，聯(lián)想到用三邊的關系是否可以

3、判斷一個三角形為直角三角形，提高學生發(fā)現(xiàn)反思問題的能力。 學生分組討論，交流總結；教師引導學生回憶。 （1）直角三角形有如下性質： ①有一個角是直角；②兩個銳角互余；③兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；④在含30°角的直角三角形中，30°的角所對的直角邊是斜邊的一半。 （2）有一個內角是90°，那么這個三角形就為直角三角形． 大家思考一下還有沒有其他的方法來說明一個三角形是直角三角形呢？ 前面我們學習了勾股定理，可不可以用三角形三邊的關系來判定它是否為直角三角形呢？ 我們來看一下古埃及人如何做？ （二）講授新課 活動1 問題：據說古埃及人用下圖的方法畫直角：把一根長繩打上等距

4、離的13個結，然后以3個結、4個結、5個結的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角。 這個問題意味著，如果圍成的三角形的三邊分別為3、4、5．有下面的關系“32+42=52”．那么圍成的三角形是直角三角形。 大家畫一畫、量一量，看看這樣做出的三角形是直角三角形嗎？ 再畫畫看，如果三角形的三邊分別為2.5 cm、6 cm、6.5 cm，有下面的關系，“2.52+62=6.52，畫出的三角形是直角三角形嗎？換成三邊分別為4 cm、7.5cm、8.5 cm．再試一試。 讓學生在小組內共同合作，協(xié)手完成此活動。 用尺規(guī)作圖的方法作出三角形，經過測量后，發(fā)現(xiàn)以上兩組數組成的三

5、角形是直角三角形，而且三邊滿足a2+b2=c2。 我們進而會想：是不是三角形的三邊只要有兩邊的平方和等于第三邊的平方，就能得到一個直角三角形呢？ 活動2 下面的三組數分別是一個三角形的三邊長a，b，c。 5，12，13；7，24，25；8，15，17。 （1）這三組數都滿足a2+b2=c2嗎？ （2）分別以每組數為三邊長作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？ 學生進一步以小組為單位．按給出的三組數作出三角形，從而更加堅信前面猜想出的結論。 從而得出一個命題： 命題2 如果三角形的三邊長：a，b，c滿足a2+b2=c2那么這個三角形是直角三角形。 同時，我們也

6、進一步明白了古埃及人那樣做的道理．實際上，古代中國人也曾利用相似的方法得到直角。直至科技發(fā)達的今天——人類已跨入21世紀．建筑工地上的工人師傅們仍然離不開“三四五放線法”。 “三四五放線法”是一種古老的歸方操作。所謂“歸方”就是“做成：直角”譬如建造房屋，房角—般總是成90°，怎樣確定房角的縱橫兩線呢？ 如右圖，欲過基線MN上的一點C作它的垂線，可由三名工人操作：一人手拿布尺或測繩的0和12尺處，固定在C點；另一人拿4尺處，把尺拉直，在MN上定出A點，再由一人拿9尺處。把尺拉直，定出B點，于是連結BC，就是MN的垂線。 建筑工人用了3，4，5作出了一個直角，能不能用其他的整數組作出直角

7、呢？ 生：可以，例如7，24，25；8，15，17等． 據說，我國古代大禹治水測量工程時，也用類似的方法確定直角。 滿足a2＋b2＝c2的三個正整數，稱為勾股數。如3，4，5；5，12，13 活動3 問題：命題1 如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2。 命題2 如果三角形的三邊長分別為a，b，c，滿足a2+b2=c2那么這個三角形是直角三角形。 它們的題設和結論各有何關系？ 學生閱讀課本，并回憶前面學過的一些命題，得出命題和逆命題的概念。 教師認真傾聽學生的分析。 教師在本活動中應重點關注學生； ①能否發(fā)現(xiàn)互逆命題的題沒和結論之

8、間的關系。 ②能否積極主動地回憶我們前面學過的互逆命題。 （三）課時小結 問題：你對本節(jié)內容有哪些認識？ 教師課前準備卡片，卡片上寫出三個數，讓學生隨意抽出，判斷以這三個數為邊的三角形能否構成直角三角形。 （四）板書設計 勾股定理的逆定理（一） 2．互逆命題、原命題、逆命題。 勾股定理的逆定理 教學設計（一） 第二課時 教學設計思路 本節(jié)主要學習勾股定理逆定理的證明，經歷證明勾股定理逆定理的過程，得出命題2是正確的，引出勾股定理的逆定理的概念，最后是利用勾股定理的逆定理解決實際問題的例子，可以進一步理解勾股定理的逆定理，體會數學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系。 教學目標 知識

9、與技能 1．說出證明勾股定理逆定理的方法。 2．敘述逆定理，互逆定理的概念。 過程與方法 1．經歷證明勾股定理逆定理的過程，發(fā)展邏輯思維能力和空間想象能力。 2．經歷互為逆定理的討論，樹立嚴謹的治學態(tài)度和實事求是求學精神。 情感態(tài)度與價值觀 1．經歷探索勾股定理逆定理證明的過程，樹立克服困難的勇氣和堅強的意志。 2．樹立與人合作、交流的團隊意識。 教學重點和難點 教學重點：勾股定理逆定理的證明，及互逆定理的概念。 教學難點：互逆定理的概念。 教學方法 合作探究 教學媒體 多媒體課件演示。 教學過程設計 （一）創(chuàng)設問題情境，引入新課 以下列各組線段為邊長，能構

10、成三角形的是___________（填序號）．能構成直角三角形的是___________． ①3，4，5 ②1，3，4 ③4，4，6 ④6，8，10 ⑤5，7，2 ⑥13，5，12 ⑦7，25，24 幫助學生回憶構成三角形的條件和判定一個三角形為直角三角形的條件。 能構成三角形的是：①③④⑥⑦； 能構成直角三角形的是；①④⑥⑦ （二）講授新課 活動1 命題2正確嗎？如何證明呢？ 讓學生試著尋找解題思路；教師可引導學生發(fā)現(xiàn)證明的思路。 師：ABC的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，如果ABC是直角三角形，它應與直角邊是a，b的直角三角形全等．實際情況是這樣嗎？

11、 我們畫一個直角三角形，使（如下圖）把畫好的 剪下，放在 ABC上，它們重合嗎？ 生 我們所畫的Rt，又因為c2=a2+b2，所以即。 和三邊對應相等，所以兩個三角形全等，為直角三角形。 即命題2是正確的。 活動2 當我們證明了命題2是正確的，那么命題就成為一個定理．由于命題1證明正確以后稱為勾股定理，命題2又是命題l的逆命題，在此．我們就稱定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理稱為互為逆定理。 師：但是不是原命題成立，逆命題一定成立嗎？ 生 不一定，如命題“對頂角相等”成立，它的逆命題“如果兩個角相等，那么它們是對頂角”不成立。 師 你還能舉出類似

12、的例子嗎？ 生 例如：如果兩個實數相等，那么它們的絕對值也相等。 逆命題：如果兩個數的絕對值相等，那么這兩個實數相等。 顯示原命題成立，而逆命題不成立。 活動3 練習：1．如果三條線段長a，b，c滿足a2=c2－b2。這三條線段組成的三角形是不是直角三角形？為什么？ 2．說出下列命題的逆命題．這些命題的逆命題成立嗎？ （1）兩條直線平行，內錯角相等。 （2）如果兩個實數相等，那么它們的絕對值相等。 （3）全等三角形的對應角相等。 （4）在角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。 進一步理解和掌握勾股定理的逆定理的本質特征，以及互為逆命題的關系及正確性；提高學生的數學應用意

13、識和邏輯推理能力。 （三）鞏固提高 [例1]—個零件的形狀如下圖所示，按規(guī)定這個零件中 和都應為直角．工人師傅量出了這個零件各邊尺寸，那么這個零件符合要求嗎？ [例2] （1）判斷題以a=10，b=8，c=6為邊組成的三角形是不是直角三角形。 解：因為a2+b2=100+64=164c2， 即所以由a，b，c不能組成直角三角形。 請問：上述解法對嗎？為什么？ （2）已知：在中，AB=13cm ，BC=10cm，BC邊上的中線AD=12cm 。 求證：AB=AC。 這是利用勾股定理的逆定理解決實際問題的例子，可以使學生進一步理解勾股定理的逆定理，體會數學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系。

14、 例1：分析：這是一個利用直角三角形的判定條件解決實際問題的例子。 解：在中，所以是直角三角形。是直角。 在中，所以是直角三角形。是直角。 因此這個零件符合要求。 例2：（1）解：上述解法是不對的．因為a=10，b=8，c=6，b2+c2=64+36=100=102=a2，即b2+c2=a2。所以由 a，b，c組成的三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，利用勾股定理的逆定理可知a，b，c可構成直角三角形，其中a是斜邊，b，c是兩直角邊。 評注：在解題時，我們不能簡單地看兩邊的平方和是否等于第三邊的平方，而應先判斷哪一條邊有可能作為斜邊．往往只需看最大邊的平方是否等于另外兩邊的平方和。

15、 （2）證明：根據題意，畫出圖形AB=13cm，BC=10cm 。 AD是BC邊上的中線→BD=CD=5cm，在中AD=12cm ，BD=5cm，AB=13cm，AB2=169，AD2+BD2=122+52=169。所以AB2=AD2+BD2。 則。 在Rt中， 所以。 （四）課時小結 你對本節(jié)的內容有哪些認識？掌握勾股定理的逆定理及其應用．熟記幾組勾股數 。 （五）板書設計 勾股定理的逆定理（二） 1．勾股定理的逆定理的證明 構造Rt，使兩直角邊為a，b，，從而得斜邊，得到≌，所以為直角三角形。 2．鞏固提高 勾股定理的逆定理 教學設計（一） 第三課時

16、 教學設計思路 本節(jié)進一步學習勾股定理的逆定理在實際生活中的廣泛應用，經歷將實際問題轉化為數學模型的過程，給學生充分交流的時間和空間，學會自主學習。 教學目標 知識與技能 能運用勾股定理的逆定理解決簡單的實際問題。 過程與方法 1．經歷將實際問題轉化為數學模型的過程，體會用勾股定理的逆定理解決實際問題的方法，發(fā)展應用意識。 2．在解決實際問題的過程中，體驗解決問題的策略，發(fā)展實踐能力和創(chuàng)新精神。 情感態(tài)度與價值觀 1．在用勾股定理的逆定理探索解決實際問題的過程中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立學習數學的自信心。 2．在解決實際問題的過程中，形成實事求是的態(tài)度以及進

17、行質疑和獨立思考問題的習慣。 教學重點和難點 教學重點：運用勾股定理的逆定理解決實際問題。 教學難點：將實際問題轉化成用勾股定理的逆定理解決的數學問題。 教學方法 合作探究、小組討論 教學媒體 多媒體課件演示。 教學過程設計 （一）創(chuàng)設問題情境，引入新課 問題1：小紅和小軍周日去郊外放風箏，風箏飛得又高又遠，他倆很想知道風箏離地面到底有多高，你能幫助他們嗎？ 問題2：如下圖所示是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要檢測正面的AD邊和BC邊是否垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺。 （1）你能替他想想辦法完成任務嗎？ （2）李叔叔量得AD的長是30厘米，AB的長是40厘米

18、，BD的長是50厘米，AD邊垂直于AB邊嗎？ （3）小明隨身只有一個長度為20厘米的刻度尺，他能有辦法檢驗AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？ 通過對兩個實際問題的探究，讓學生進一步體會到勾股定理和勾股定理的逆定理在實際生活中的廣泛應用，提高學生的應用意識，發(fā)展學生的創(chuàng)新精神和應用能力。 在將實際問題轉化為數學問題時，肯定要有一定的困難，教師要給學生充分的時間和空間去思考，從而發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑。 生：對于問題1，我們組是這樣考慮的：小紅拉著風箏站在原地，小軍到風箏的正下方也就是說小軍的頭頂就是風箏。小紅放線，使線端到達他所站的位置，然后在線段做一記號，最后收回風箏，量出放出的

19、風箏線的總長度AB，再量出小明和小軍所站位置的兩點間的距離BC，利用勾股定理便可以求出AB的長度（如下圖所示） 生：對于問題2，我們組是這樣考慮的：李叔叔隨身只帶卷尺檢測AD，BC是否與底邊垂直，也就是要檢測∠DAB=90°，∠CBA=90°，連接BD或AC，也就是要檢測△DAB和△CBA是否為直角三角形。很明顯，這是一個需要用勾股定理的逆定理來解決的實際問題。 根據我們的分析，用勾股定理的逆定理來解決，要檢測△DAB是否為直角三角形，即∠DAB=90°，李叔叔只需用卷尺分別量出AB、BD、DA的長度，然后計算AB2+DA2和BD2，看他們是否相等，若相等，則說明AD⊥AB，同理可檢測

20、BC是否垂直于AB。 師：很好，對于問題2中的第（2）個小問題，李叔叔已量得AD，AB，BD的長度，根據他量出的長度能說明DA和AB垂直嗎？ 生：可以，因為AD2+AB2=302+402=2500，而BD2=2500，所以AD2+AB2=BD2?？墒茿D與AB垂直。 師：小明帶的刻度尺長度只有20厘米，他有辦法檢驗AD與AB邊的垂直嗎？ 生：可以利用分段相加的方法量出AD，AB，BD的長度。 生：這樣做誤差太大，可以AB，AD上各量一小段教小的長度，例如在AB邊上量一小段AE=8cm在AD邊上量一小段AF=6cm，而AE2+AF2=82+62=64+36=100=102，這時只要量一

21、下EF是否等于10cm即可。 如果EF=10cm，EF2=100，則有AE2+AF2=EF2，根據勾股定理的逆定理可知△AEF是直角三角形，∠EAF=90°即∠DAB=90°所以AD⊥AB；如果EF≠10cm，則EF2≠100，所以AE2+AF2≠EF2，△AEF不是直角三角形，即AD不垂直于AB。 師：看來，同學們方法還真多，沒有被困難嚇倒，祝賀你們。 接下來，我們繼續(xù)用勾股定理的逆定理解決幾個問題。 （二）教授新課 例1 判斷由線段a、b、c組成的三角形是不是直角三角形。 （1）a=15，b=8，c=17； （2）a=13，b=14，c=15； （3）求證m2－n2，m2

22、+n2，2mn（m﹥n，m，n是正整數）是直角三角形的三條邊長。 進一步讓學生體會用勾股定理的逆定理，實現(xiàn)數和形的統(tǒng)一，第（3）題又讓學生從一次從一般形式上去認識勾股數，如果能讓學生熟記幾組勾股數，我們在判斷三角形的形狀時，就可以避開很麻煩的運算。 生：根據勾股定理的逆定理，判斷一個三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小的邊長的平方和是否等于最大邊長的平方。 解：（1）因為152+82=225+64=289， 172=289， 所以152+82=172，這個三角形是直角三角形。 （2）因為132+142=169+196=365 152=225 所以132+142≠152。這個三

23、角形不是直角三角形。 生：要證明它們是直角三角形的三邊，首先應判斷這三條線段是否組成三角形，然后再根據勾股定理的逆定理來判斷它們是否是直角三角形的三邊長。 （3）證明：m﹥n、m、n是正整數 （m2－n2）+（m2+n2）=2m2﹥2mn， 即（m2－n2）+（m2+n2）﹥2mn。 又因為（m2－n2）+2mn=m2+n（2m－n）， 而2m－n=m+（n－n﹥0，） 所以（m2－n2）+2mn﹥m2+n2 這三條線段能組成三角形。 又因為（m2－n2）2=m4+n4－2m2n2 （m2+n2）2=m4+n4+2m2n2 （2mn）2=4m2n2， 所以（m2－n2）

24、2+（2mn）2 =m4+n4－2m2n2+4m2n2 =m4+n4+2m2n2 =（m2+n2）2 所以，此三角是直角三角形，m2－n2、2mn、m2+n2（m﹥n、m、n是正整數）這三邊是直角三角形的三邊。 師：我們把像15、8、7這樣，能夠成為三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股數。 而且我們不難發(fā)現(xiàn)m2－n2、m2+n2、2mn也是一組勾股數，而且這組勾股數由于m、n取值的不同會得到不同的勾股數。 例如m=2，n=1時，m2－n2=22－12=3，m2+n2=22+12=5，2mn=2×2×1=4，而3、4、5就是一組勾股數。 你還能找到不同的勾股數嗎？ 生：當m=3

25、，n=2時，m2－n2=32－22=5，m2+n2=13，2mn=2×3×2，所以5、12、13也是一組勾股數。 當m=4，n=2時，m2－n2=42－22=12，m2+n2=20，2mn=2×4×2=16，所以12、16、20也是一組勾股數。 …… 師：由此我們發(fā)現(xiàn)，勾股數組有無數個，而上面介紹的就是尋找勾股數組的一種方法。 17世紀，法國數學家費馬也研究了勾股數組的問題，并且在這個問題的啟發(fā)下，向導了一個更一般的問題，1637年，他提出了數學史上的一個著名猜想－－－－－費馬大定理，即當n﹥2時，周布道任何的正整數組，使等式xn+yn=zn成立，費馬大定理公布以后，引起了各國優(yōu)秀數學

26、家的關注，他們圍繞著這個定理頑強的探索著，試圖來證明它。1995年，英籍數學家懷爾斯終于證明了費馬大定理，解開了這個困惑世間無數智者300多年的迷。 例2 “遠航”號，“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里，它們離開港口一個半小時后相距30海里，如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？ 教師先鼓勵學生根據題意畫出圖形，然后小組內交流討論，教師需巡視，對有困難的學生一個啟示，幫助它們尋找解題的途徑。 生：我們根據題意畫出圖形（如下圖），可以看到，由于“遠航”號的航向已知，如果求出兩艘輪船的航

27、向所成的角，就能知道“海天”號的航向了 解：根據題意畫出下圖 PQ=16×1.5=24， PR=12×1.5=18， QR=30 因為242+182=302，即PQ2+PR2=QR2。 所以∠QPR=90° 由“遠航”號沿東北方向航行可知，∠QPS=45°，所以∠RPS=45°，即“海天號沿西北或東南方向航向。” （三）鞏固提高 問題：A、B、C三地兩兩距離如下圖所示，A地在B地的正東方向，C地在B地的什么方向？ 由學生獨立完成后，由一個學生板演，教師講解。 解：BC2+AB2=52+122=169， AC2=132=169 所以BC2+AB2=AC2，即BC的方向與BA方向成直角，∠ABC=90°，C地應在B地的正北方向。 （四）課時小結 談談這節(jié)課的收獲有那些？掌握勾股定理及逆定理，來解決簡單的應用題，會判斷一個三角形是直角三角形。 （五）板書設計 勾股定理的逆定理（三） 1．勾股定理的逆定理→實際問題（判定直角三角形的形狀） 2．勾股數組 3．在實際生活中的應用。 本資料由教育城編輯整理 更多資料：