《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》§導(dǎo)集,閉集,閉包

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1、§2.4 導(dǎo)集，閉集，閉包 本節(jié)重點(diǎn)： 熟練掌握凝聚點(diǎn)、導(dǎo)集、閉集、閉包的概念； 區(qū)別一個點(diǎn)屬于導(dǎo)集或閉包的概念上的不同； 掌握一個點(diǎn)屬于導(dǎo)集或閉集或閉包的充要條件; 掌握用“閉集”敘述的連續(xù)映射的充要條件. 如果在一個拓?fù)淇臻g中給定了一個子集，那么拓?fù)淇臻g中的每一個點(diǎn)相對于 這個子集而言“處境”各自不同，因此可以對它們進(jìn)行分類處理. 定義2.4.1 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，A_X.如果點(diǎn)x€X的每一個鄰域U中 都有A中異于x的點(diǎn)，即Un（ A-{x}）工二，則稱點(diǎn)x是集合A的一個凝聚點(diǎn) 或極限點(diǎn).集合A的所有凝聚點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為 A的導(dǎo)集，記作d（A） ?如果x€A 并且x不是A的凝聚點(diǎn)

2、，即存在x的一個鄰域U使得Un（A-{x}）=匚，則稱x 為A的一個孤立點(diǎn). 即:（牢記） 疋/⑷ 0￥卩芒乞刀仃（/ —〔町）=0 在上述定義之中，凝聚點(diǎn)、導(dǎo)集、以及孤立點(diǎn)的定義無一例外地都依賴于它 所在的拓?fù)淇臻g的那個給定的拓?fù)?因此，當(dāng)你在討論問題時涉及了多個拓?fù)涠?又談到某個凝聚點(diǎn)時，你必須明確你所談的凝聚點(diǎn)是相對于哪個拓?fù)涠裕?不容 許產(chǎn)生任何混淆.由于我們將要定義的許多概念絕大多數(shù)都是依賴于給定拓?fù)?的，因此類似于這里談到的問題今后幾乎時時都會發(fā)生， 我們不每次都作類似的 注釋，而請讀者自己留心. 某些讀者可能已經(jīng)在諸如歐氏空間中接觸過剛剛定義的這些概念， 但絕不要

3、以為對歐氏空間有效的性質(zhì)，例如歐氏空間中凝聚點(diǎn)的性質(zhì)，對一般的拓?fù)淇臻g 都有效?以下兩個例子可以幫助讀者澄清某些不正確的潛在印象. 例241 離散空間中集合的凝聚點(diǎn)和導(dǎo)集. 設(shè)X是一個離散空間，A是X中的一個任意子集.由于X中的每一個單點(diǎn)集 都是開集，因此如果x€X,則X有一個鄰域｛X｝，使得 匚…二匸.-門4，以上論證說明，集合A沒有任何一個凝聚點(diǎn)，從 而A的導(dǎo)集是空集，即d (A)二二. 例2.4.2 平庸空間中集合的凝聚點(diǎn)和導(dǎo)集. 設(shè)X是一個平庸空間，A是X中的一個任意子集.我們分三種情形討論： 第1種情形：A二二.這時A顯然沒有任何一個凝聚點(diǎn)，亦即 d (A)二二.(可以參

4、見定理中第(I )條的證明.) 第2種情形：A是一個單點(diǎn)集，令A(yù) =「〕｝如果x€ X，，點(diǎn)x只有惟 一的一個鄰域X,這時 --:, 所以 ;因此x是A 的一個凝聚點(diǎn)，即x €d ( A).然而對于T的惟一鄰域X有： 二所以 d (A) =X-A. 第3種情形：A包含點(diǎn)多于一個.請讀者自己證明這時 X中的每一個點(diǎn)都是 A的凝聚點(diǎn)，即d (A)= X. 定理2.4.1 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，A—X.貝U (I ) d (二)=二; (2) A —B 蘊(yùn)涵 d (A) — d (B); (3) d (AU B)= d (A)U d ( B); (4) d (d (A)) _

5、AU d ( A). 證明 (1)由于對于任何一點(diǎn)x€ X和點(diǎn)x的任何一個鄰域U, 有 un ■' ■ 、「門 - ■' (2) 設(shè)A_B.如果，「二「廠:一謂 ■ ' - - ■：-''二-門「這證明了 d( A) _ d( B). (3) 根據(jù)(2),因?yàn)?A, B_AU B,所以有 d (A), d (B) _ d (AU B), 從而 d (A)U d ( B) _ d (AU B) 另一方面，如果 3U^U,3Un{A-(x)) = 0 ?rn(5-{x}) = 0 =>D m Dn(Zu^-?) = De((蟲-u (B -(x))) = (Z?n僅「"

6、}))u(D -(x)y)c (y n(-4- {對))「仏})) -0 ..Z)n(j4u5 - {x}) = 0 n x毎 = d(j4uE) VyerXn(J -(y)) = 0 v^e ?/'. VeVy ：.y^ d{A), =薩門出(/) = 0；.Fn(rf(4) -(

7、i)) = 0 ：^^d(d{A)) n d(df^)) cA^jd(A) 即(4)成立. 定義2.4.2 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，A_X.如果A的每一個凝聚點(diǎn)都屬于 A, 即d (A) _A,則稱A是拓?fù)淇臻gX中的一個閉集. 例如，根據(jù)例241和例中的討論可見，離散空間中的任何一個子集 都是閉集，而平庸空間中的任何一個非空的真子集都不是閉集. 定理242 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，A_X.則A是一個閉集，當(dāng)且僅當(dāng)A的 補(bǔ)集二是一個開集. 證明必要性：設(shè) A是一 一個閉集 川,今開蒞 c A Ax^^(^^3E/et/^E/n(J4-U)) = 0 .\UcyA = 0t^U QA\^

8、AfeT 充分性：設(shè)： A e Tf￥x 隹耳 x e A,A^ q A = 0, An(A -{x}) = 0今 xg d(4) 即A是一個閉集. 例243 實(shí)數(shù)空間R中作為閉集的區(qū)間. 設(shè)a, b€ R, avb.閉區(qū)間[a , b]是實(shí)數(shù)空間R中的一個閉集，因?yàn)閇a , b] 的補(bǔ)集庇討二( -X, a)A( b,x)是一個開集. 同理，(-x, a] , [b , X)都是閉集，(-x, x) = r顯然更是一個閉集.然 而開區(qū)間(a, b)卻不是閉集，因?yàn)閍是(a, b)的一個凝聚點(diǎn)，但a- (a, b).同 理區(qū)間(a, b] , [a , b),( - x, &)和

9、(b,x)都不是閉集. 定理2.4.3 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g.記F為所有閉集構(gòu)成的族.貝U: (1) X,二 € F (2) 如果 A, B€ F,則 AUBE F (從而如果 ---- ■■■■ -1 -1 -三-) (3) 如果:-：乞「八 在此定理的第(3)條中，我們特別要求二工：的原因在于當(dāng) 二='-時所涉及的交運(yùn)算沒有定義. 證明 根據(jù)定理，我們有T={「|U € F}其中，T為X的拓?fù)? (1)v X,二 € T,a - ■' '■ ■-二■；八 (2) 若 A、B€ F,則 (3) 令: T,=(A\Ae瑋二T、cTf=>仏AfeT. =門金"?門屆昇'■

10、(u&討y e f 定理證明完成. 總結(jié)：(i)有限個開集的交是開集，任意個開集的并是開集?其余情形不 一 —疋. (2)有限個閉集的并是閉集，任意個閉集的交是閉集?其余情形不一定. 定義2.4.3 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,A — X,集合A與A的導(dǎo)集d(A)的并AU d(A) 稱為集合A的閉包,記作一或亠 容易看出* —「 ■ ' ■ ■：：'(注意：與x€ d(A)的區(qū)別) 定理244 拓?fù)淇臻gX的子集A是閉集的充要條件是A= < 證明：定理成立是因?yàn)椋杭螦為閉集當(dāng)且僅當(dāng)d(A) _ A而這又當(dāng)且僅當(dāng) A=AJ d(A) 定理2.4.5 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,則對于任意A

11、,B€ X,有: (1) 0=0； ⑵蟲c A: (3) A u B = ZuSs (4) 7 = A. 證明(1)成立是由于二是閉集 (2) 成立是根據(jù)閉包的定義. (3) 成立是因?yàn)? =AuBud(A)ud(_B) = (Aud(A))u(B =AuB (4) 成立是因?yàn)? / = =AU d (A)U d (d (A)) =AU d (A) =J 在第(3)條和第(4)條的證明過程中我們分別用到了定理 241中的第(3)條和第(4)條. 定理2.4.6 拓?fù)淇臻gX的任何一個子集A的閉包』都是閉集 證明根據(jù)定理和定理2.4.5 (4)直接推得. 定理2.

12、4.7 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，F(xiàn)是由空間X中所有的閉某構(gòu)成的族, 則對于X的每一個子集A,有 久叩ieFJb顯 即集合A的閉包等于包含A的所有閉集之交. 證明 因?yàn)锳包含于■- ^ '',而后者是一個閉集，由定理 245(4)與定理 有 另一方面，由于」是一個閉集，并且---，所以 -'=---'-(“交”包含于形成交的任一個成員) 綜合這兩個包含關(guān)系，即得所求證的等式. 由定理247可見，X是一個包含著A的閉集，它又包含于任何一個包含 A 的閉集之中，在這種意義下我們說：一個集合的閉包乃是包含著這個集合的最 小的閉集. 在度量空間中，集合的凝聚點(diǎn)，導(dǎo)集和閉包都可以通過度

13、量來刻畫. 定義245 設(shè)（X，p ） 一個度量空間.X中的點(diǎn)x到X的非空子集A的距 離p （x, A）定義為 p （x，A）= inf{ p （x，y） |y € A} 根據(jù)下確界的性質(zhì)以及鄰域的定義易見： p （x，A）二0當(dāng)且僅當(dāng)對于任意 實(shí)數(shù)& >0,存在y€A使得p （x，y）< ￡，換言之即是：對于任意B （x，￡ ） 有B （x， ￡ ） A Am ，而這又等價于：對于 x的任何一個鄰域 U有UP Am ‘-?， 應(yīng)用以上討論立即得到. 定理249 設(shè)A是度量空間（X, p ）中的一個非空子集?則 （1） x€ d （A）當(dāng)且僅當(dāng) p （x，A-{x} ） =0;

14、（2） x€』當(dāng)且僅當(dāng)p （x，A）= 0. 以下定理既為連續(xù)映射提供了等價的定義，也為驗(yàn)證映射的連續(xù)性提供了 另外的手段. 定理2.4.10 設(shè)X和Y是兩個拓?fù)淇臻g，f:X -Y?則以下條件等價： （I ） f是一個連續(xù)映射； （2） 丫中的任何一個閉集B的原象/ （B）是一個閉集； （3） 對于X中的任何一個子集A，A的閉包的象包含于A的象的閉包，即 ⑷ 對于丫中的任何一個子集B, B的閉包的原象包含B的原象的閉包，即 0盼麗. 證明 （1）蘊(yùn)涵（2）.設(shè)B_Y是一個閉集?則:是一個開集，因此根 據(jù)（1）, 心）5冊 是X中的一個開集，因此 「"（B）是X中的一個閉集. （2） 蘊(yùn)涵（3）設(shè)A_X.由于f（A） '」「h.H, 根據(jù)（2）, —m— 目成立. （3） 蘊(yùn)涵⑷ 設(shè)A_Y集合」1 （B） _X應(yīng)用（3）即得 肓碩抽伽U歹=> 廣臨）二而 （4）蘊(yùn)涵（I ）.設(shè)U是Y中的一個開集.則一是Y中的一個閉集.對此 集合應(yīng)用（4） 可見： 廣】（巧廣I巧d廠?'廣0）=廣心）n 總結(jié)一下，到目前為止，證明映射連續(xù)的方法有幾種？證明一個子集是開集 閉集的方法有幾種？如何證明一個點(diǎn)是某個子集的凝聚點(diǎn) ？ 作業(yè)： P69 1 . 2