《點集拓撲學》章§子空間

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1、第3章 子空間（有限），積空間，商空間 在這一章中我們介紹通過已知的拓撲空間構(gòu)造新的拓撲空間的三種慣用的辦法. 為了避 免過早涉及某些邏輯上的難點，在§ 3.2 中我們只討論有限個拓撲空間的積空間，而將一般 情形的研究留待以后去作. § 3.1 子空間 本節(jié)重點：掌握度量子空間、拓撲空間子空間的概念， 子空間的拓撲與大空間拓撲之間 的關(guān)系以及子空間的閉集、鄰域、基、導集、閉包與大空間相應子集之間的關(guān)系及表示法. 討論拓撲空間的子空間目的在于對于拓撲空間中的一個給定的子集， 按某種“自然的方 式”賦予它一個拓撲使之成為一個拓撲空間， 以便將它作為一個獨立的對象進行考察. 所謂 “

2、自然的方式”應當是什么樣的方式？為回答這個問題， 我們還是先從度量空間做起， 以便 得到必要的啟發(fā). 考慮一個度量空間和它的一個子集. 欲將這個子集看作一個度量空間， 必須要為它的每 一對點規(guī)定距離.由于這個子集中的每一對點也是度量空間中的一對點， 因而把它們作為子 集中的點的距離就規(guī)定為它們作為度量空間中的點的距離當然是十分自然的. 我們把上述想 法歸納成定義： 定義3.1.1 設（X, P）是一個度量空間， Y是X的一個子集.因此，YXY _ XXX.顯 然「: YX Y^R是Y的一個度量（請自行驗證）.我們稱 Y的度量「，是由X的度 量p誘導出來的度量.度量空間（Y,p）稱為度

3、量空間（X,p）的一個度量子空間. 我們常說度量空間 Y是度量空間X的一個度量子空間，意思就是指 Y是X的一個子集， 并且Y的度量是由X的度量誘導出來的.我們還常將一個度量空間的任何一個子集自動地認 作一個度量子空間而不另行說明. 例如我們經(jīng)常討論的： 實數(shù)空間R中的各種區(qū)間（a, b）, [a, b] , （ a, b]等；n + 1維歐氏空間匚 中的 料1 0 =（迢內(nèi)宀和）訂「工分=1} n維單位球面： M+1 {"（兀和…凡就疋去武|工卡＜ 1} n維單位開、閉球體: .-1 ?+1 {"（心出宀砧）訂「工分＜1） 以及n維單位開、閉方體?’和I等等，并且它們也

4、自然被認作是拓撲空間 (考慮相 應的度量誘導出來的拓撲). 定理3.1.1 設Y是度量空間X的一個度量子空間?則 Y的子集U是Y中的一個開 集當且僅當存在一個 X中的開集V使得U= VP Y. 證明 由于現(xiàn)在涉及兩個度量空間，我們時時要小心可能產(chǎn)生的概念混淆?對于 x€X (y€ Y)，臨時記度量空間 X( Y)中以x( y )為中心以￡ > 0為半徑的球形鄰域為 "二二門, 兒* . 首先指出： 「有二一」-PY. 這是因為z€X屬于 牛當且僅當z€Y且「二二(z,y)< ￡ . 現(xiàn)在設U€ 1,由于Y的所有球形鄰域構(gòu)成的族是 Y的拓撲的一個基，U可以表示為Y 中的一族球形

5、鄰域，設為 A的并?于是 U畑 M仇滬u =(U M仇W 設卩叫加腫口‘ US 另一方面，設U= VP Y,其中V€ '二.如果y € U,則有y €Y和y € V. V,龍 J' 按照定理的啟示，我們來逐步完成本節(jié)開始時所提出的任務. 定義3.1.2 設A是一個集族，Y是一個集合.集族｛A P Y|A€ A｝稱為集族A在集合Y 上的限制，記作■■■!/ 引理3.1.2 設Y是拓撲空間(X, T)的一個子集.則集族 「「是Y的一個拓撲. 證明 我們驗證'】「滿足拓撲定義中的三個條件： (1) 由于X€T和Y=XH Y,所以Y€ :;由于 匚€「[=[ n Y,所以:_： € -

6、: （2）如果 A, B€ ，即丄蘭匸二-：丿-■ A -Q I I： 于是 j4n5 = (2ny)n(5 n?) =(^n￡)nK;; 2n5er,/^n5eT|r （3）如果遼是集族'「的一個子集族，即對于每一個 A€遼， 丫f?U知上已門丫 定義3.1.3 設Y是拓撲空間（X，T）的一個子集.Y的拓撲*「稱為（相對于X的拓 撲T而言的）相對拓撲；拓撲空間（ Y, ?' 〕「，）稱為拓撲空間的一個（拓撲）子空間. 我們常說拓撲空間 Y是拓撲空間X的一個子空間，意思就是指Y是X的一個子集，并且 Y的拓撲就是對于 X的拓撲而言的相對拓撲?此外，我們也常將拓撲空間的子集認為是一

7、個 子空間而不另行說明. 假設Y是度量空間X的一個子空間.現(xiàn)在有兩個途徑得到 Y的拓撲：一是通過X的度量 誘導出Y的度量，然后考慮Y的這個度量誘導出來的拓撲； 另一是先將X考慮成一個拓撲空 間，然后考慮Y的拓撲為X的拓撲在Y上引出來的相對拓撲. 事實上定理已經(jīng)指出經(jīng) 由這兩種途徑得到的 Y的兩個拓撲是一樣的?下面把這層意思重新敘述一遍. 定理3.1.3 設Y是度量空間X的一個度量子空間?則 X與Y都考慮作為拓撲空間 時Y是X的一個（拓撲）子空間. 定理3.1.4 設X, Y, Z都是拓撲空間?如果 Y是X的一個子空間，Z是Y的一個 子空間，貝V Z是X的一個子空間. 證明 當Y是X

8、的一個子空間，Z是Y的一個子空間時，我們有 ZcYcX ；并且若 設T為X的拓撲時，Z的拓撲是（ ）={Un Y|U€ T}:: ={un Yn z|U€ T}={U n z|U€ t}= ■'二 因此Z是X的一個子空間. 定理3.1.5 設Y是拓撲空間X的一個子空間，y€ Y.貝V (2) 分別記F和F為X和Y的全體閉集構(gòu)成的族，則 F =「L (3) 分別記 &和方y(tǒng)為點y在X和Y中的鄰域系，貝方y(tǒng)= S . 證明(1)即是子空間和相對拓撲的定義. (2) 成立是因為： F\^{X-U\UeT}\r ={(X-U ) n Y|U€ T}={Y - Un Y|U€ T}=

9、 ；： ■- 」三「一 ：' (3) 設---則- --，因此存在’「」使得V= : n Y,令 吋叫由于冋帆:衛(wèi)冋并且 L/1ny = ^uU)ny= u= u 所以U€ 1：'.以上證明」 -■.類似的論證指出 丄-L . -r 定理3.1.6 設Y是拓撲空間X的一個子空間，A是Y的一個子集?則 (1) A在y中的導集是A在X中的導集與Y的交； (2) A在Y中的閉包是 A在X中的閉包與 Y的交. 證明 為證明這個定理，我們?nèi)苑謩e記 A在X中的導集和閉包為 d (A)和二；而記A 在Y中的導集和閉包分別為 八(A)和一「(A). (I ) 一方面，設y€ (A).則對于

10、y在X中的任何一個鄰域 U,根據(jù)定理3.1.5 , UnY是y在Y中的一個鄰域，所以 切仏為2?燈)門冶仞)奔0 因此y €d (A).此外當然有 y€ Y.所以y€ d(A) n y.這證明 燈(A) _d (A)n Y. 另一方面，設涉d(A)n Y,「— v Un(j4- (j/)) ^0aj4cX?=> Vn(A-(y}) c Y 二 7 c 僅一 OO) = (P c (乂 一 {》})) cY = " c 僅一 3})工 0 所以 y€ = (A).這證明 d (A _ d (A)n Y. (2)成立是因為-.'(A)=A U h(A)=A U (d(A) n Y)

11、=(A U d(A)) n (A U Y)= J n Y 定理3.1.7 設Y是拓撲空間X的一個子空間，y€ Y.貝V (1) 如果B是拓撲空間X的一個基，貝V * b是子空間Y的一個基； (2) 如果*是點y在拓撲空間X中的一個鄰域基，則 是點y在子空間Y中 的一個鄰域基. 證明(1 )設B是X的一個基.對于 Y中的任何一個開集 U,存在X中的一個開集 V使 得U=V1 Y;存在B的一個子族'1,使得 y 八-?因此U=」--由于上式中 的每一個BnY是：b中的一個元素，所以在上式中 u已經(jīng)表示成了；卜中的某些元素之并 了 ?因此；卜是Y的一個基. (2)證明(略). “子空

12、間”事實上是從大拓撲空間中“切割”出來的一部分. 這里有一個反問題，概言 之就是：一個拓撲空間什么時候是另一個拓撲空間的子空間？換言之， 一個拓撲空間在什么 條件下能夠“鑲嵌”到另一個拓撲空間中去？當然假如我們拘泥于某些細節(jié)，例如 涉及的拓撲空間是由什么樣的點構(gòu)成的，那么問題會變得十分乏味 ，然而我們在§ 2. 2 中便提到過，拓撲學的中心任務是研究拓撲不變性質(zhì)， 也就是說我們不去著意區(qū)別同胚的兩 個拓撲空間?在這種意義下，以上問題可以精確地陳述如下： 定義3.1.4 設X和Y是兩個拓撲空間，f:X tY.映射f稱為一個嵌入，如果它是一個 單射，并且是從 X到它的象集f(X)的一個

13、同胚.如果存在一個嵌入 f: XtY,我們說拓撲空 間X可嵌入拓撲空間Y. 事實上，拓撲空間X可嵌入拓撲空間 Y意思就是拓撲空間 X與拓撲空間Y的某一個子空 間同胚?換言之，在不區(qū)別同胚的兩個拓撲空間的意義下， X “就是” Y 的一個子空間. 不能嵌入的一個簡單例子是， 一個離散空間， 如果它含有多于一個點， 就決不可能嵌入 到任何一個平庸空間中去；反之，一個平庸空間，如果它含有多于一個點，也決不可能嵌入 到任何一個離散空間中去． 歐氏平面中的單位圓周是否可以嵌入到實數(shù)空間 （即直線） 中去 呢？這個問題我們到第四章中再作處理．本書中我們還會涉及一些比較深刻的嵌入定理． 本節(jié)關(guān)鍵 : 掌握拓撲空間中的子集 （ 這里稱為子空間 ）的開集、閉集、閉包、導集”長” 得什么模樣． 作業(yè): P95 1.2.5.7.