2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 文A.doc
2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 文A
一、選擇題(本大題共10小題,共50.0分)
1. 直線x+3y-5=0的傾斜角為
A. -30° B. 60° C. 120° D. 150°
2. 已知直線l1:x+my+7=0和l2:(m-2)x+3y+2m=0互相平行,則實數(shù)m=(
A. m=-1或3 B. m=-1
C. m=-3 D. m=1或m=-3
3. 圓x2+y2+2ax+4ay=0的半徑為5,則a等于
A. 5 B. -5或5 C. 1 D. 1或-1
4. 若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2π的半圓面,則該圓錐的母線與軸所成的角為
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
5. 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下列結(jié)論不正確的是
A. C1D1⊥B1C
B. BD1⊥AC
C. BD1//B1C
D. ∠ACB1=60°
6. 一個平面圖形用斜二測畫法作的直觀圖是一個邊長為1cm的正方形,則原圖形的周長是
A. 6cm B. 8cm C. 2(1+3)cm D. 2(1+2)cm
7. 一個幾何體的三視圖如圖所示,則其表面積為
A. 92+42
B. 5+42
C. 6+42
D. 132+42
8. 過點A(-1,0),斜率為k的直線,被圓(x-1)2+y2=4截得的弦長為23,則k的值為
A. 33 B. 33 C. 3 D. 3
9. 一條光線從點(1,-1)射出,經(jīng)y軸反射后與圓(x-2)2+y2=1相交,則入射光線所在直線的斜率的取值范圍為
A. [-34,0] B. [0,34] C. (-34,0) D. (0,34)
10. 若圓x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三個不同的點到直線l:ax+by=0的距離為22,則直線l的斜率的取值范圍是
A. [2-3,2+3] B. [-2-3,3-2]
C. [-2-3,2+3] D. [-2-3,2-3]
二、填空題(本大題共5小題,共25.0分)
11. 如圖在直三棱柱ABC-A1B1C1中∠ACB=90°,AA1=2,AC=BC=1,則異面直線A1B與AC所成角的余弦值是______.
12. 如圖,在等腰直角三角形ABC中,斜邊BC=4,AD是斜邊BC上的高,將△ABD沿著AD折疊,使二面角C-AD-B為60°,則三棱錐A-BCD的體積是______ .
13. 直線l與兩直線y=1,x-y-7=0分別交于P,Q兩點,線段PQ的中點是(1,-1),則l的斜率是_________.
14. 若無論實數(shù)a取何值時,直線ax+y+a+1=0與圓x2+y2-2x-2y+b=0都相交,則實數(shù)b的取值范圍是__________.
15. 如圖,已知△ABC和△BCD所在平面互相垂直,∠ABC=∠BCD=90°,AB=a,BC=b,CD=c,且a2+b2+c2=1,則三棱錐A-BCD的外接球的表面積為______ .
三、解答題(本大題共6小題,共75.0分)
16. 在△ABC中,已知A(0,2),B(2,0),C(-2,-1)
(1)求BC邊上的高AH所在的直線方程;
(2)求△ABC的面積.
17. 如圖四邊形ABCD為梯形,AD//BC,∠ABC=90°,求圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積和體積.
18. 如圖,在三棱錐P-ABC中,D,E,F(xiàn)分別為棱PC,AC,AB的中點,已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求證:
(1)直線PA//平面DEF;
(2)平面BDE⊥平面ABC.
19. 已知直線l:mx+y-2m+1=0與曲線C:y=1-x2.
(1)若直線l與直線l1:2x-y+1=0垂直,求實數(shù)m的值;
(2)若直線l與曲線C有且僅有兩個交點,求實數(shù)m的取值范圍.
20. 在如圖所示的多面體中,四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形
Ⅰ若AC⊥BC,證明:直線BC⊥平面ACC1A1;Ⅱ設(shè)D、E分別是線段BC、CC1的中點,在線段AB上是否存在一點M,使直線DE//平面A1MC?請證明你的結(jié)論.
21. 已知過原點的動直線l與圓C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點A,B.
(1)求圓C1的圓心坐標(biāo);
(2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程;
(3)是否存在實數(shù)k,使得直線L:y=k(x-4)與曲線C只有一個交點?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說明理由.
答案和解析
【答案】
1. D 2. A 3. D 4. A 5. C 6. B 7. B
8. A 9. C 10. A
11.
12.
13. ?
14.
15.
16. 解:由已知得,B,C兩點連線的斜率,
依題意,,又,
由斜截式得高AH所在的直線方程為,即.
設(shè)BC邊上的高為h,則.
.
由,又,
由點斜式得BC邊所在的直線方程為,即.
BC邊上的高為h就是點到BC的距離,
所以,,
因此,的面積為.
17. 解:由題意知,所求旋轉(zhuǎn)體的表面積由三部分組成:
圓臺下底面、側(cè)面和一半球面 分
,,.
故所求幾何體的表面積為: 分
由,分
分
所以,旋轉(zhuǎn)體的體積為 分
18. 證明:、E為PC、AC的中點,,
又平面DEF,平面DEF,
平面DEF;
、E為PC、AC的中點,;
又、F為AC、AB的中點,;
,
,
;
,,;
,平面ABC;
平面BDE,平面平面ABC.
19. 解:由題可知:直線l的斜率為,直線的斜率為2,
直線l與直線l1垂直,
∴(-m)2=-1,
∴m=.
(2)由題可知:直線l方程為y=-mx+2(m+1),斜率為-m,
由曲線C:可知這是圓的上半圓,
將直線l方程化為,
所以直線l恒過(2,2,)點,
作圖可知,當(dāng)直線l正好過(-1,0)點時,剛好有兩個交點,此時-m=,則m=,
當(dāng)直線l正好與上半圓相切時,此時為臨界點,只有一個交點,
d==1,
解得m=,則-m=,
由圖可知-m=舍去.
由-m,可得.
20. Ⅰ證明:四邊形和都為矩形,
,,
,
平面ABC,
平面ABC,
,
,,
直線平面;Ⅱ解:取AB的中點M,連接,MC,,,設(shè)O為,的交點,則O為的中點.
連接MD,OE,則,,,,
,,
連接OM,則四邊形MDEO為平行四邊形,
,
平面,平面,
平面,
線段AB上存在一點線段AB的中點,使直線平面.
21. 解:圓:,
整理,得其標(biāo)準(zhǔn)方程為:,
圓的圓心坐標(biāo)為;
設(shè)當(dāng)直線l的方程為、、,
聯(lián)立方程組,
消去y可得:,
由,可得
由韋達定理,可得,
線段AB的中點M的軌跡C的參數(shù)方程為,其中,
線段AB的中點M的軌跡C的方程為:,其中;
結(jié)論:當(dāng),時,直線L:與曲線C只有一個交點.
理由如下:
聯(lián)立方程組,
消去y,可得:,
令,解得,
又軌跡C的端點與點決定的直線斜率為,
當(dāng)直線L:與曲線C只有一個交點時,
k的取值范圍為,
【解析】
1. 【分析】
本題考查由直線的方程求直線的斜率,直線的斜率和傾斜角的關(guān)系,應(yīng)注意直線傾斜角的范圍特殊角的三角函數(shù)值的求法先由直線的方程求出斜率,再根據(jù)傾斜角的正切值等于斜率,再結(jié)合傾斜角的范圍求出傾斜角.
【解答】
解:直線的方程為,
直線的斜率為,
即直線傾斜角的正切值,
又傾斜角,
,
故選D.
2. 解:由,解得或.
經(jīng)過驗證都滿足兩條直線平行,或.
故選:A.
由,解得經(jīng)過驗證即可得出.
本題考查了兩條直線平行的充要條件,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.
3. 解:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,
圓的半徑為,
,
,
故選:D.
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,利用圓的半徑為,即可求出a.
本題考查圓的方程,考查半徑的求解,比較基礎(chǔ).
4. 【分析】
根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖是面積為的半圓面,可得圓錐的母線長,繼而得到圓錐的底面半徑,即可求出圓錐的母線與圓錐的軸所成角的大小.
本題主要考查圓錐的側(cè)面積的計算和應(yīng)用,比較基礎(chǔ).
【解答】
解:設(shè)圓錐的母線長為l,底面半徑為r,
圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓面,
,即,,
又圓錐的側(cè)面積公式,
,解得,
即,,
則,
.
即圓錐的母線與圓錐的軸所成角的大小為,
故選:A.
5. 解:如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系.
不妨設(shè)正方體的棱長.
則0,,1,,1,,1,,0,.
,0,.
.
.
因此不可能有C.
故選:C.
如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出.
本題考查了空間線線位置關(guān)系及其判定方法,屬于基礎(chǔ)題.
6. 解:由斜二測畫法的規(guī)則知與軸平行的線段其長度不變以及與橫軸平行的性質(zhì)不變,正方形的對角線在軸上,
可求得其長度為,故在平面圖中其在y軸上,且其長度變?yōu)樵瓉淼?倍,長度為,其原來的圖形如圖所示,
則原圖形的周長是:8
故選B.
由斜二測畫法的規(guī)則知在已知圖形平行于x軸的線段,在直觀圖中畫成平行于軸,長度保持不變,已知圖形平行于y軸的線段,在直觀圖中畫成平行于軸,且長度為原來一半由于軸上的線段長度為,故在平面圖中,其長度為,且其在平面圖中的y軸上,由此可以求得原圖形的周長.
本題考查的知識點是平面圖形的直觀圖,其中斜二測畫法的規(guī)則,能夠快速的在直觀圖面積和原圖面積之間進行轉(zhuǎn)化.
7. 解:由已知中的三視圖,可得該幾何體的直觀圖如下所示:
這是一個三棱柱,切去一個三棱錐所得的組合體,
故表面積,
故選:B
由已知中的三視圖,畫出幾何體的直觀圖,進而可得幾何體的表面積.
本題考查的知識點是棱柱的體積和表面積,棱錐的體積和表面積,簡單幾何體的三視圖,難度中檔.
8. 解:設(shè)直線方程為,即,
圓截得的弦長為,
圓心到直線的距離為,
,
.
故選:A.
設(shè)直線方程為,利用圓截得的弦長為,求出圓心到直線的距離為1,即可得出結(jié)論.
本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用,考查點到直線距離公式的運用,考查學(xué)生的計算能力,確定圓心到直線的距離為1是關(guān)鍵.
9. 【分析】
本題考查了入射光線與反射光線的性質(zhì)、對稱性、直線與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
如圖所示,由題意可設(shè)入射光線PQ的方程為:,可得反射光線QAB的方程為:利用直線與圓相交可得,解出即可得出.
【解答】
解:如圖所示:
由題意可設(shè)入射光線PQ的方程為:,
令,則,可得.
反射光線QAB的方程為:.
則,解得:.
入射光線所在直線的斜率的取值范圍為.
故選:C.
10. 解:圓整理為,
圓心坐標(biāo)為,半徑為,
要求圓上至少有三個不同的點到直線l:的距離為,
則圓心到直線的距離應(yīng)小于等于,
,
,
,,
,
直線l的斜率的取值范圍是
故選:A.
求出圓心和半徑,比較半徑和,要求圓上至少有三個不同的點到直線l:的距離為,則圓心到直線的距離應(yīng)小于等于,用圓心到直線的距離公式,可求得結(jié)果.
本題考查直線的斜率的取值范圍的求法,考查直線、圓、點到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查函數(shù)與方程思想,是中檔題.
11. 解:,
異面直線與AC所成角為,
易求,
.
故答案為:
先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點,得到的銳角或直角就是異面直線所成的角,在三角形中再利用余弦定理求出此角的余弦值.
本小題主要考查異面直線所成的角,考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題.
12. 解:,,,
平面BCD,
是正三角形,且邊長為2,
三棱錐的體積
三棱錐的體積為:.
故答案為:.
首先,根據(jù)直角三角形的性質(zhì),得到平面BCD,然后,結(jié)合三棱錐的體積公式進行求解即可.
本題綜合考查了等腰三角形中的邊角關(guān)系、線面垂直的判定方法、三棱錐的體積公式等知識,屬于中檔題.
13. 【分析】
本題主要考查直線斜率的求法,根據(jù)兩直線方程求兩直線的交點坐標(biāo),靈活運用中點坐標(biāo)公式化簡求值是解決本題的關(guān)鍵.
【解答】
解:根據(jù)題意,
設(shè),,
線段PQ的中點坐標(biāo)為,
,
解得,,,
,,
直線l的斜率為:,
故答案為.
14. 【分析】
本題考查直線過定點及點與圓的關(guān)系,同時考查圓的一般方程,由直線過定點知在圓內(nèi),利用點與圓的位置關(guān)系即可求解.
【解答】
解:因為直線過定點,
所以由已知有在圓內(nèi),
所以,
解得.
故答案為.
15. 解:因為球心到球面的點的距離相等,可以找出一點到ABCD四個點的距離相等,在直角三角形中斜邊上的中點到各頂點距離相等,
可知AD中點O到A,B,C,D的距離相等,所以
所以
要求外接球,需知到其半徑,因為球心到球面的點的距離相等,可以找出一點到ABCD四個點的距離相等,求解即可.
本題考查學(xué)生的空間想象能力,以及對三角形的性質(zhì)的使用,是基礎(chǔ)題.
16. 利用斜率計算公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系即可得出.
利用點到直線的距離公式、三角形面積計算公式即可得出.
本題考查了斜率計算公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、點到直線的距離公式、三角形面積計算公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
17. 旋轉(zhuǎn)后幾何體是一個圓臺,從上面挖去一個半球,根據(jù)數(shù)據(jù)利用面積公式與體積公式,可求其表面積和體積.
本題考查組合體的面積、體積問題,考查空間想象能力,數(shù)學(xué)公式的應(yīng)用,是中檔題.
18. 由D、E為PC、AC的中點,得出,從而得出平面DEF;
要證平面平面ABC,只需證平面ABC,即證,且即可.
本題考查了空間中的平行與垂直問題,解題時應(yīng)明確空間中的線線、線面、面面之間的垂直與平行的互相轉(zhuǎn)化關(guān)系,是基礎(chǔ)題目.
19. 本題考查了兩直線的位置關(guān)系以及直線與圓的位置關(guān)系.
20.Ⅰ先證明平面ABC,可得,利用,可以證明直線平面;Ⅱ取AB的中點M,連接,MC,,,證明四邊形MDEO為平行四邊形即可.
本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)的運用,考查存在性問題,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
21. 通過將圓的一般式方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即得結(jié)論;
設(shè)當(dāng)直線l的方程為,通過聯(lián)立直線l與圓的方程,利用根的判別式大于0、韋達定理、中點坐標(biāo)公式及參數(shù)方程與普通方程的相互轉(zhuǎn)化,計算即得結(jié)論;
通過聯(lián)立直線L與圓的方程,利用根的判別式及軌跡C的端點與點決定的直線斜率,即得結(jié)論.
本題考查求軌跡方程、直線與曲線的位置關(guān)系問題,注意解題方法的積累,屬于難題.