2018-2019學年高二數學上學期期中試題 文A.doc

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2018-2019學年高二數學上學期期中試題 文A 一、選擇題（本大題共10小題，共50.0分） 1. 直線x+3y-5=0的傾斜角為　　 A. -30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 已知直線l1：x+my+7=0和l2：(m-2)x+3y+2m=0互相平行，則實數m=(　　 A. m=-1或3 B. m=-1 C. m=-3 D. m=1或m=-3 3. 圓x2+y2+2ax+4ay=0的半徑為5，則a等于　　 A. 5 B. -5或5 C. 1 D. 1或-1 4. 若一個圓錐的側面展開圖是面積為2π的半圓面，則該圓錐的母線與軸所成的角為 A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 5. 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列結論不正確的是　　 A. C1D1⊥B1C B. BD1⊥AC C. BD1//B1C D. ∠ACB1=60° 6. 一個平面圖形用斜二測畫法作的直觀圖是一個邊長為1cm的正方形，則原圖形的周長是　　 A. 6cm B. 8cm C. 2(1+3)cm D. 2(1+2)cm 7. 一個幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為　　 A. 92+42 B. 5+42 C. 6+42 D. 132+42 8. 過點A(-1,0)，斜率為k的直線，被圓(x-1)2+y2=4截得的弦長為23，則k的值為 A. 33 B. 33 C. 3 D. 3 9. 一條光線從點(1,-1)射出，經y軸反射后與圓(x-2)2+y2=1相交，則入射光線所在直線的斜率的取值范圍為　　 A. [-34,0] B. [0,34] C. (-34,0) D. (0,34) 10. 若圓x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三個不同的點到直線l：ax+by=0的距離為22，則直線l的斜率的取值范圍是　　 A. [2-3,2+3] B. [-2-3,3-2] C. [-2-3,2+3] D. [-2-3,2-3] 二、填空題（本大題共5小題，共25.0分） 11. 如圖在直三棱柱ABC-A1B1C1中∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，則異面直線A1B與AC所成角的余弦值是______． 12. 如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=4，AD是斜邊BC上的高，將△ABD沿著AD折疊，使二面角C-AD-B為60°，則三棱錐A-BCD的體積是______ ． 13. 直線l與兩直線y=1，x-y-7=0分別交于P，Q兩點，線段PQ的中點是(1,-1)，則l的斜率是_________． 14. 若無論實數a取何值時，直線ax+y+a+1=0與圓x2+y2-2x-2y+b=0都相交，則實數b的取值范圍是__________． 15. 如圖，已知△ABC和△BCD所在平面互相垂直，∠ABC=∠BCD=90°，AB=a，BC=b，CD=c，且a2+b2+c2=1，則三棱錐A-BCD的外接球的表面積為______ ． 三、解答題（本大題共6小題，共75.0分） 16. 在△ABC中，已知A(0,2)，B(2,0)，C(-2,-1) (1)求BC邊上的高AH所在的直線方程； (2)求△ABC的面積． 17. 如圖四邊形ABCD為梯形，AD//BC，∠ABC=90°，求圖中陰影部分繞AB旋轉一周所形成的幾何體的表面積和體積． 18. 如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求證： (1)直線PA//平面DEF； (2)平面BDE⊥平面ABC． 19. 已知直線l:mx+y-2m+1=0與曲線C:y=1-x2． (1)若直線l與直線l1:2x-y+1=0垂直，求實數m的值； (2)若直線l與曲線C有且僅有兩個交點，求實數m的取值范圍． 20. 在如圖所示的多面體中，四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形 Ⅰ若AC⊥BC，證明：直線BC⊥平面ACC1A1；Ⅱ設D、E分別是線段BC、CC1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使直線DE//平面A1MC？請證明你的結論． 21. 已知過原點的動直線l與圓C1：x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點A，B． (1)求圓C1的圓心坐標； (2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程； (3)是否存在實數k，使得直線L：y=k(x-4)與曲線C只有一個交點？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由． 答案和解析 【答案】 1. D 2. A 3. D 4. A 5. C 6. B 7. B 8. A 9. C 10. A 11. 12. 13. ? 14. 15. 16. 解：由已知得，B，C兩點連線的斜率， 依題意，，又， 由斜截式得高AH所在的直線方程為，即． 設BC邊上的高為h，則． ． 由，又， 由點斜式得BC邊所在的直線方程為，即． BC邊上的高為h就是點到BC的距離， 所以，， 因此，的面積為． 17. 解：由題意知，所求旋轉體的表面積由三部分組成： 圓臺下底面、側面和一半球面 分 ，，． 故所求幾何體的表面積為： 分 由，分 分 所以，旋轉體的體積為 分 18. 證明：、E為PC、AC的中點，， 又平面DEF，平面DEF， 平面DEF； 、E為PC、AC的中點，； 又、F為AC、AB的中點，； ， ， ； ，，； ，平面ABC； 平面BDE，平面平面ABC． 19. 解：由題可知：直線l的斜率為，直線的斜率為2， 直線l與直線l1垂直， ∴（-m）2=-1， ∴m=. （2）由題可知：直線l方程為y=-mx+2(m+1)，斜率為-m, 由曲線C：可知這是圓的上半圓， 將直線l方程化為， 所以直線l恒過（2,2,）點， 作圖可知，當直線l正好過（-1,0）點時，剛好有兩個交點，此時-m=,則m=, 當直線l正好與上半圓相切時，此時為臨界點，只有一個交點， d==1, 解得m=,則-m=, 由圖可知-m=舍去. 由-m,可得． 20. Ⅰ證明：四邊形和都為矩形， ，， ， 平面ABC， 平面ABC， ， ，， 直線平面；Ⅱ解：取AB的中點M，連接，MC，，，設O為，的交點，則O為的中點． 連接MD，OE，則，，，， ，， 連接OM，則四邊形MDEO為平行四邊形， ， 平面，平面， 平面， 線段AB上存在一點線段AB的中點，使直線平面． 21. 解：圓：， 整理，得其標準方程為：， 圓的圓心坐標為； 設當直線l的方程為、、， 聯(lián)立方程組， 消去y可得：， 由，可得 由韋達定理，可得， 線段AB的中點M的軌跡C的參數方程為，其中， 線段AB的中點M的軌跡C的方程為：，其中； 結論：當，時，直線L：與曲線C只有一個交點． 理由如下： 聯(lián)立方程組， 消去y，可得：， 令，解得， 又軌跡C的端點與點決定的直線斜率為， 當直線L：與曲線C只有一個交點時， k的取值范圍為， 【解析】 1. 【分析】 本題考查由直線的方程求直線的斜率，直線的斜率和傾斜角的關系，應注意直線傾斜角的范圍特殊角的三角函數值的求法先由直線的方程求出斜率，再根據傾斜角的正切值等于斜率，再結合傾斜角的范圍求出傾斜角． 【解答】 解：直線的方程為， 直線的斜率為， 即直線傾斜角的正切值， 又傾斜角， ， 故選D． 2. 解：由，解得或． 經過驗證都滿足兩條直線平行，或． 故選：A． 由，解得經過驗證即可得出． 本題考查了兩條直線平行的充要條件，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題． 3. 解：圓的標準方程為， 圓的半徑為， ， ， 故選：D． 圓的標準方程為，利用圓的半徑為，即可求出a． 本題考查圓的方程，考查半徑的求解，比較基礎． 4. 【分析】 根據圓錐側面展開圖是面積為的半圓面，可得圓錐的母線長，繼而得到圓錐的底面半徑，即可求出圓錐的母線與圓錐的軸所成角的大?。? 本題主要考查圓錐的側面積的計算和應用，比較基礎． 【解答】 解：設圓錐的母線長為l，底面半徑為r， 圓錐的側面展開圖是面積為的半圓面， ，即，， 又圓錐的側面積公式， ，解得， 即，， 則， ． 即圓錐的母線與圓錐的軸所成角的大小為， 故選：A． 5. 解：如圖所示，建立空間直角坐標系． 不妨設正方體的棱長． 則0，，1，，1，，1，，0，． ，0，． ． ． 因此不可能有C. 故選：C． 如圖所示，建立空間直角坐標系利用向量垂直與數量積的關系即可得出． 本題考查了空間線線位置關系及其判定方法，屬于基礎題． 6. 解：由斜二測畫法的規(guī)則知與軸平行的線段其長度不變以及與橫軸平行的性質不變，正方形的對角線在軸上， 可求得其長度為，故在平面圖中其在y軸上，且其長度變?yōu)樵瓉淼?倍，長度為，其原來的圖形如圖所示， 則原圖形的周長是：8 故選B． 由斜二測畫法的規(guī)則知在已知圖形平行于x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸，長度保持不變，已知圖形平行于y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸，且長度為原來一半由于軸上的線段長度為，故在平面圖中，其長度為，且其在平面圖中的y軸上，由此可以求得原圖形的周長． 本題考查的知識點是平面圖形的直觀圖，其中斜二測畫法的規(guī)則，能夠快速的在直觀圖面積和原圖面積之間進行轉化． 7. 解：由已知中的三視圖，可得該幾何體的直觀圖如下所示： 這是一個三棱柱，切去一個三棱錐所得的組合體， 故表面積， 故選：B 由已知中的三視圖，畫出幾何體的直觀圖，進而可得幾何體的表面積． 本題考查的知識點是棱柱的體積和表面積，棱錐的體積和表面積，簡單幾何體的三視圖，難度中檔． 8. 解：設直線方程為，即， 圓截得的弦長為， 圓心到直線的距離為， ， ． 故選：A． 設直線方程為，利用圓截得的弦長為，求出圓心到直線的距離為1，即可得出結論． 本題考查直線和圓的方程的應用，考查點到直線距離公式的運用，考查學生的計算能力，確定圓心到直線的距離為1是關鍵． 9. 【分析】 本題考查了入射光線與反射光線的性質、對稱性、直線與圓的位置關系、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 如圖所示，由題意可設入射光線PQ的方程為：，可得反射光線QAB的方程為：利用直線與圓相交可得，解出即可得出． 【解答】 解：如圖所示： 由題意可設入射光線PQ的方程為：， 令，則，可得． 反射光線QAB的方程為：． 則，解得：． 入射光線所在直線的斜率的取值范圍為． 故選：C． 10. 解：圓整理為， 圓心坐標為，半徑為， 要求圓上至少有三個不同的點到直線l：的距離為， 則圓心到直線的距離應小于等于， ， ， ，， ， 直線l的斜率的取值范圍是 故選：A． 求出圓心和半徑，比較半徑和，要求圓上至少有三個不同的點到直線l：的距離為，則圓心到直線的距離應小于等于，用圓心到直線的距離公式，可求得結果． 本題考查直線的斜率的取值范圍的求法，考查直線、圓、點到直線的距離公式等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是中檔題． 11. 解：， 異面直線與AC所成角為， 易求， ． 故答案為： 先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角的余弦值． 本小題主要考查異面直線所成的角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題． 12. 解：，，， 平面BCD， 是正三角形，且邊長為2， 三棱錐的體積 三棱錐的體積為：． 故答案為：． 首先，根據直角三角形的性質，得到平面BCD，然后，結合三棱錐的體積公式進行求解即可． 本題綜合考查了等腰三角形中的邊角關系、線面垂直的判定方法、三棱錐的體積公式等知識，屬于中檔題． 13. 【分析】 本題主要考查直線斜率的求法，根據兩直線方程求兩直線的交點坐標，靈活運用中點坐標公式化簡求值是解決本題的關鍵． 【解答】 解：根據題意， 設，， 線段PQ的中點坐標為， ， 解得，，， ，， 直線l的斜率為：， 故答案為． 14. 【分析】 本題考查直線過定點及點與圓的關系，同時考查圓的一般方程，由直線過定點知在圓內，利用點與圓的位置關系即可求解． 【解答】 解：因為直線過定點， 所以由已知有在圓內， 所以， 解得． 故答案為． 15. 解：因為球心到球面的點的距離相等，可以找出一點到ABCD四個點的距離相等，在直角三角形中斜邊上的中點到各頂點距離相等， 可知AD中點O到A，B，C，D的距離相等，所以 所以 要求外接球，需知到其半徑，因為球心到球面的點的距離相等，可以找出一點到ABCD四個點的距離相等，求解即可． 本題考查學生的空間想象能力，以及對三角形的性質的使用，是基礎題． 16. 利用斜率計算公式、相互垂直的直線斜率之間的關系即可得出． 利用點到直線的距離公式、三角形面積計算公式即可得出． 本題考查了斜率計算公式、相互垂直的直線斜率之間的關系、點到直線的距離公式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 17. 旋轉后幾何體是一個圓臺，從上面挖去一個半球，根據數據利用面積公式與體積公式，可求其表面積和體積． 本題考查組合體的面積、體積問題，考查空間想象能力，數學公式的應用，是中檔題． 18. 由D、E為PC、AC的中點，得出，從而得出平面DEF； 要證平面平面ABC，只需證平面ABC，即證，且即可． 本題考查了空間中的平行與垂直問題，解題時應明確空間中的線線、線面、面面之間的垂直與平行的互相轉化關系，是基礎題目． 19. 本題考查了兩直線的位置關系以及直線與圓的位置關系． 20.Ⅰ先證明平面ABC，可得，利用，可以證明直線平面；Ⅱ取AB的中點M，連接，MC，，，證明四邊形MDEO為平行四邊形即可． 本題考查線面垂直的判定與性質的運用，考查存在性問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題． 21. 通過將圓的一般式方程化為標準方程即得結論； 設當直線l的方程為，通過聯(lián)立直線l與圓的方程，利用根的判別式大于0、韋達定理、中點坐標公式及參數方程與普通方程的相互轉化，計算即得結論； 通過聯(lián)立直線L與圓的方程，利用根的判別式及軌跡C的端點與點決定的直線斜率，即得結論． 本題考查求軌跡方程、直線與曲線的位置關系問題，注意解題方法的積累，屬于難題．