四川省成都市高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機變量及其分布 第7課時 離散型隨機變量的綜合應(yīng)用同步測試 新人教A版選修2-3.doc

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第7課時　離散型隨機變量的綜合應(yīng)用 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(水平一) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.已知X的分布列為 X -1 0 1 P 12 m 16 有以下三個結(jié)論:①E(X)=-13;②D(X)=119;③P(X=0)=13. 其中正確結(jié)論的個數(shù)為(　　). A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】由分布列知P(X=0)=13,E(X)=(-1)12+116=-13,∴D(X)=-1+13212+0+13213+1+13216=59.故①③正確. 【答案】C 2.已知離散型隨機變量ξ的分布列如下: ξ 0 1 2 P 0.3 3k 4k 若隨機變量η=2ξ+1,則η的數(shù)學(xué)期望為(　　). A.1.1 B.3.2 C.2.2 D.4.4 【解析】由0.3+3k+4k=1得k=0.1, ∴E(ξ)=00.3+10.3+20.4=1.1, E(η)=2E(ξ)+1=21.1+1=3.2. 【答案】B 3.某運動員投籃命中率為0.6,他重復(fù)投籃5次,若命中一次得10分,沒命中不得分,命中次數(shù)為X,得分為Y,則E(X),D(Y)分別為(　　). A.0.6,60 B.3,12 C.3,120 D.3,1.2 【解析】由題意知X~B(5,0.6),Y=10X, ∴E(X)=50.6=3,D(X)=50.60.4=1.2. ∴D(Y)=100D(X)=120,故選C. 【答案】C 4.某公司的班車在7:00,8:00,8:30發(fā)車,若小明一周內(nèi)每天都在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車,且到達(dá)發(fā)車站的時刻是隨機的,則他連續(xù)5天等車時間不超過10分鐘的期望和方差分別是(　　). A.54和52 B.52和54 C.12和34 D.34和12 【解析】如圖,畫出時間軸.小明到達(dá)發(fā)車站的時刻會隨機地落在圖中線段AB上,而當(dāng)他到達(dá)發(fā)車站的時刻落在線段AC或DB上時,才能保證他等車的時間不超過10分鐘.根據(jù)幾何概型,所求概率P=10+1040=12. 因為小明一周內(nèi)每天等車時間不超過10分鐘的概率都相同,所以小明連續(xù)5天等車時間不超過10分鐘的天數(shù)符合二項分布.依題意可得X~B5,12. 所以E(X)=np=512=52,D(X)=np(1-p)=51212=54. 【答案】B 5.隨機變量ξ的取值為0,1,2.若P(ξ=0)=15,E(ξ)=1,則D(ξ)=　　　　. 【解析】設(shè)P(ξ=1)=p,則P(ξ=2)=45-p.由E(ξ)=015+1p+245-p=1,得p=35. 故D(ξ)=(0-1)215+(1-1)235+(2-1)215=25. 【答案】25 6.某項游戲活動的獎勵分成一、二、三等獎,且相應(yīng)獲獎概率是以a1為首項,2為公比的等比數(shù)列,相應(yīng)獎金是以700元為首項,-140元為公差的等差數(shù)列,則參與該游戲獲得獎金的期望為　　　　元. 【解析】∵a1+2a1+4a1=1,∴a1=17,∴E(ξ)=17700+27560+47420=500(元). 【答案】500 7.某師大附中高一研究性學(xué)習(xí)小組,在某一高速公路服務(wù)區(qū),從小型汽車中按進服務(wù)區(qū)的先后,以每間隔10輛就抽取1輛的抽樣方法抽取20名駕駛員進行詢問調(diào)查.將他們在某段高速公路的車速(km/h)分成六段:[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100],統(tǒng)計后得到如圖所示的頻率分布直方圖. (1)此研究性學(xué)習(xí)小組在采集中,用到的是什么抽樣方法?并求這20輛小型汽車車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計值; (2)若從車速在[80,90)內(nèi)的車輛中任意抽取3輛,求車速在[80,85)和[85,90)內(nèi)都有車輛的概率; (3)若從車速在[90,100]內(nèi)的車輛中任意抽取3輛,求車速在[90,95)內(nèi)的車輛數(shù)的數(shù)學(xué)期望. 【解析】(1)此研究性學(xué)習(xí)小組在采樣中,用到的抽樣方法是系統(tǒng)抽樣.這20輛小型汽車車速的眾數(shù)的估計值為87.5 km/h,中位數(shù)的估計值為87.5 km/h. (2)車速在[80,90)內(nèi)的車輛有(0.2+0.3)20=10輛,其中車速在[80,85)和[85,90)內(nèi)的車輛分別有4輛和6輛. 設(shè)事件Ai為“車速在[80,85)內(nèi)有i輛車”,事件Bj為“車速在[85,90)內(nèi)有j輛車”,事件A為“車速在[80,85)和[85,90)內(nèi)都有車輛”, ∴P(A)=P(A2B1)+P(A1B2)=C42C61C103+C41C62C103=45. (3)車速在[90,100]內(nèi)的車輛共有7輛,車速在[90,95)和[95,100]內(nèi)的車輛分別有5輛和2輛.若從車速在[90,100]內(nèi)的車輛中任意抽取3輛,設(shè)車速在[90,95)內(nèi)的車輛數(shù)為X,則X的可能取值為1,2,3. P(X=1)=C51C22C73=17,P(X=2)=C52C21C73=47,P(X=3)=C53C20C73=27. 故X的分布列為 X 1 2 3 P 17 47 27 　　∴車速在[90,95)內(nèi)的車輛數(shù)的數(shù)學(xué)期望為E(X)=117+247+327=157. 拓展提升(水平二) 8.已知隨機變量X的分布列為 X m n P 13 a 若E(X)=2,則D(X)的最小值為(　　). A.0 B.2 C.4 D.無法計算 【解析】依題意有a=1-13=23,所以E(X)=13m+23n=2,即m+2n=6. 又D(X)=13(m-2)2+23(n-2)2=2n2-8n+8=2(n-2)2,所以當(dāng)n=2時,D(X)有最小值0. 【答案】A 9.從一批含有13件正品、2件次品的產(chǎn)品中不放回地抽取3次,每次抽取1件,設(shè)抽取的次品數(shù)為ξ,則E(5ξ+1)=(　　). A.2 B.1 C.3 D.4 【解析】ξ的可能取值為0,1,2,P(ξ=0)=C133C153=2235, P(ξ=1)=C21C132C153=1235,P(ξ=2)=C22C131C153=135. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P 2235 1235 135 　　E(ξ)=02235+11235+2135=25, 所以E(5ξ+1)=5E(ξ)+1=525+1=3. 【答案】C 10.退休年齡延遲是平均預(yù)期壽命延長和人口老齡化背景下的一種趨勢.某機構(gòu)為了了解某城市市民的年齡構(gòu)成,從該城市市民中隨機抽取年齡段在[20,80]內(nèi)的600人進行調(diào)查,并按年齡層次繪制頻率分布直方圖,如圖所示.若規(guī)定年齡分布在[60,80]內(nèi)的人為“老年人”,將上述人口分布的頻率視為該城市年齡段在[20,80]的人口分布的概率.從該城市年齡段在[20,80]內(nèi)的市民中隨機抽取3人,記抽到“老年人”的人數(shù)為X,則隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為　　　　. 【解析】由頻率分布直方圖可知,“老年人”所占頻率為15, ∴從該城市年齡段在[20,80]內(nèi)的市民中隨機抽取3人,抽到“老年人”的概率為15. ∴隨機變量X服從二項分布,且X~B3,15, ∴隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=315=35. 【答案】35 11.如圖,從A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)這6個點中隨機選取3個點,將這3個點及原點O兩兩相連構(gòu)成一個“立體”,記該“立體”的體積為隨機變量V(如果選取的3個點與原點在同一個平面內(nèi),此時“立體”的體積V=0). (1)求V=0的概率; (2)求V的分布列及數(shù)學(xué)期望E(V). 【解析】(1)從6個點中隨機選取3個點,共有C63=20種選法,選取的3個點與原點O在同一個平面上的選法有C31C43=12種,故P(V=0)=1220=35. (2)V的所有可能取值為0,16,13,23,43, P(V=0)=35, PV=16=C33C63=120, PV=13=C32C63=320, PV=23=C32C63=320, PV=43=C33C63=120. 因此V的分布列為 V 0 16 13 23 43 P 35 120 320 320 120 　　故E(V)=035+16120+13320+23320+43120=940.