（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題10 圓錐曲線與方程 10.3 拋物線及其性質(zhì)檢測.doc

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10.3　拋物線及其性質(zhì) 挖命題 【考情探究】 考點 內(nèi)容解讀 5年考情 預(yù)測熱度 考題示例 考向 關(guān)聯(lián)考點 拋物線的定義和標準方程 1.了解圓錐曲線的實際背景,了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用. 2.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程. 2016浙江文,19 拋物線的定義和 標準方程 直線與拋物線的 位置關(guān)系、拋物線的焦 點坐標、準線方程 ★★★ 2014浙江文,22 拋物線的定義 和標準方程 直線與拋物線的位置關(guān)系、 拋物線的焦點坐標 拋物線的幾何性質(zhì) 1.掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì). 2.理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想. 2016浙江,9 拋物線的焦點坐標、 準線方程 拋物線的定義和 標準方程 ★★★ 2015浙江,5 拋物線的焦點坐標 拋物線的定義和 標準方程、直線與拋物線 的位置關(guān)系 2014浙江文,22 拋物線的焦點坐標 直線與拋物線的位置關(guān)系、 拋物線的定義和標準方程 分析解讀　　1.考查拋物線的定義、標準方程及簡單幾何性質(zhì). 2.考查直線與拋物線的位置關(guān)系,以及與拋物線有關(guān)的綜合問題. 3.預(yù)計2020年高考中,拋物線的標準方程及簡單幾何性質(zhì)仍將被考查. 破考點 【考點集訓(xùn)】 考點一　拋物線的定義和標準方程 1.(2018浙江杭州二中期中,8)已知點A(4,4)在拋物線y2=2px(p>0)上,該拋物線的焦點為F,過點A作拋物線準線的垂線,垂足為E,則∠EAF的平分線所在的直線方程為(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.2x+y-12=0 B.x+2y-12=0 C.2x-y-4=0 D.x-2y+4=0 答案　D　 2.(2018浙江名校協(xié)作體期初,15)已知F是拋物線C:y2=4x的焦點,M是C上一點,FM的延長線交y軸于點N.若FM=12MN,則|FN|=　　　　. 答案　5 考點二　拋物線的幾何性質(zhì) 1.(2018浙江新高考調(diào)研卷一(諸暨中學(xué)),2)拋物線y2=4ax的焦點坐標為(　　) A.(a,0)或(-a,0) B.(a,0) C.(-a,0) D.(|a|,0) 答案　B　 2.(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)5月模擬,16)已知拋物線y2=4x,焦點記為F,過點F作直線l交拋物線于A,B兩點,則|AF|-2|BF|的最小值為　　　. 答案　22-2 煉技法 【方法集訓(xùn)】 方法1　求拋物線標準方程的方法 1.(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)期中,19)在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F(0,1),過O作斜率為k(k≠0)的直線l交拋物線于A(異于O點),已知D(0,5),直線AD交拋物線于另一點B. (1)求拋物線C的方程; (2)若OA⊥BF,求k的值. 解析　(1)由題意知, =1,所以p=2,所以拋物線C:x2=4y. (2)由題意知,直線OA:y=kx,將其代入拋物線方程:x2=4y中, 消去y,得x2-4kx=0,則A(4k,4k2). 直線AB:y=4k2-54kx+5,直線BF:y=-x+1, 聯(lián)立可解得B-16k4k2-1,4k2+154k2-1. 又因為B在拋物線C上,則-16k4k2-12=44k2+154k2-1, 得(4k2+3)(4k2-5)=0,得k=52. 2.(2018浙江名校協(xié)作體期初,21)如圖,已知拋物線C1:x2=2py(p>0)的焦點在拋物線C2:y=x2+1上,點P是拋物線C1上的動點. (1)求拋物線C1的方程及其準線方程; (2)過點P作拋物線C2的兩條切線,A、B為兩個切點,求△PAB面積的最小值. 解析　(1)拋物線C1的方程為x2=4y, 其準線方程為y=-1. (2)設(shè)P(2t,t2),A(x1,y1),B(x2,y2), 則切線PA的方程為y-y1=2x1(x-x1),即y=2x1x-2x12+y1,又y1=x12+1,所以y=2x1x+2-y1,同理得切線PB的方程為y=2x2x+2-y2,又切線PA和PB都過P點,所以4tx1-y1+2-t2=0,4tx2-y2+2-t2=0,所以直線AB的方程為4tx-y+2-t2=0. 聯(lián)立y=4tx+2-t2,y=x2+1得x2-4tx+t2-1=0,所以x1+x2=4t,x1x2=t2-1. 所以|AB|=1+16t2|x1-x2|=1+16t212t2+4. 點P到直線AB的距離d=|8t2-t2+2-t2|1+16t2=6t2+21+16t2. 所以△PAB的面積S=|AB|d=2(3t2+1)3t2+1=2(3t2+1)32, 所以當t=0時,S取得最小值,為2,即△PAB面積的最小值為2. 方法2　利用拋物線的定義解決有關(guān)問題的方法 1.(2018浙江寧波模擬,8)設(shè)拋物線y2=4x的焦點為F,過點P(5,0)的直線與拋物線相交于A,B兩點,與拋物線的準線相交于C,若|BF|=5,則△BCF與△ACF的面積的比S△BCFS△ACF=　(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B.2033 C.1531 D.2029 答案　D　 2.(2018浙江金華十校第一學(xué)期期末調(diào)研,12)已知拋物線y2=2px(p>0)上一點A(1,a)到焦點的距離為2,則該拋物線的準線方程為　　　　　;a=　　　. 答案　x=-1;2 過專題 【五年高考】 A組　自主命題浙江卷題組 考點一　拋物線的定義和標準方程 　(2016浙江,9,4分)若拋物線y2=4x上的點M到焦點的距離為10,則M到y(tǒng)軸的距離是　　　　. 答案　9 考點二　拋物線的幾何性質(zhì) 1.(2015浙江,5,5分)如圖,設(shè)拋物線y2=4x的焦點為F,不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點A,B,C,其中點A,B在拋物線上,點C在y軸上,則△BCF與△ACF的面積之比是(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.|BF|-1|AF|-1 B.|BF|2-1|AF|2-1 C.|BF|+1|AF|+1 D.|BF|2+1|AF|2+1 答案　A　 2.(2016浙江文,19,15分)如圖,設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,拋物線上的點A到y(tǒng)軸的距離等于|AF|-1. (1)求p的值; (2)若直線AF交拋物線于另一點B,過B與x軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點N,AN與x軸交于點M.求M的橫坐標的取值范圍. 解析　(1)由題意可得,拋物線上點A到焦點F的距離等于點A到直線x=-1的距離,由拋物線的定義得=1,即p=2. (2)由(1)得,拋物線方程為y2=4x,F(1,0),可設(shè)A(t2,2t),t≠0,t≠1. 因為AF不垂直于y軸,可設(shè)直線AF:x=sy+1(s≠0),由y2=4x,x=sy+1消去x得y2-4sy-4=0, 故y1y2=-4,所以B1t2,-2t. 又直線AB的斜率為2tt2-1,故直線FN的斜率為-t2-12t. 從而得直線FN:y=-t2-12t(x-1),直線BN:y=-. 所以Nt2+3t2-1,-2t. 設(shè)M(m,0),由A,M,N三點共線得 2tt2-m=2t+2tt2-t2+3t2-1,于是m=2t2t2-1. 所以m<0或m>2.經(jīng)檢驗,m<0或m>2滿足題意. 綜上,點M的橫坐標的取值范圍是(-∞,0)∪(2,+∞). 思路分析　(1)利用拋物線的定義來解題;(2)由(1)知拋物線的方程,可設(shè)A點坐標及直線AF的方程,與拋物線方程聯(lián)立可得B點坐標,進而得直線FN的方程與直線BN的方程,聯(lián)立可得N點坐標,最后利用A,M,N三點共線可得kAM=kAN,最終求出結(jié)果. 評析　本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力. 3.(2014浙江文,22,14分)已知△ABP的三個頂點都在拋物線C:x2=4y上,F為拋物線C的焦點,點M為AB的中點,PF=3FM. (1)若|PF|=3,求點M的坐標; (2)求△ABP面積的最大值. 解析　(1)由題意知焦點F(0,1),準線方程為y=-1. 設(shè)P(x0,y0),由拋物線的定義知|PF|=y0+1,得到y(tǒng)0=2, 所以P(22,2)或P(-22,2). 由PF=3FM,分別得M-223,23或M223,23. (2)設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,點A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0). 由y=kx+m,x2=4y得x2-4kx-4m=0, 于是Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m, 所以AB中點M的坐標為(2k,2k2+m). 由PF=3FM,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1), 所以x0=-6k,y0=4-6k2-3m,由x02=4y0得k2=-m+415. 由Δ>0,k2≥0,得-f43, 所以,當m=時, f(m)取到最大值256243,此時k=5515. 所以△ABP面積的最大值為2565135. 評析　本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、三角形面積公式、平面向量等基礎(chǔ)知識,同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力. B組　統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組 考點一　拋物線的定義和標準方程 1.(2017課標全國Ⅱ理,16,5分)已知F是拋物線C:y2=8x的焦點,M是C上一點,FM的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點,則|FN|=　　　　. 答案　6 2.(2015陜西,14,5分)若拋物線y2=2px(p>0)的準線經(jīng)過雙曲線x2-y2=1的一個焦點,則p=　　　　. 答案　22 考點二　拋物線的幾何性質(zhì) 1.(2016課標全國Ⅰ,10,5分)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A,B兩點,交C的準線于D,E兩點.已知|AB|=42,|DE|=25,則C的焦點到準線的距離為(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.2 B.4 C.6 D.8 答案　B　 2.(2018課標Ⅲ,16,5分)已知點M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A,B兩點.若∠AMB=90,則k=　　　　. 答案　2 3.(2018北京文,10,5分)已知直線l過點(1,0)且垂直于x軸.若l被拋物線y2=4ax截得的線段長為4,則拋物線的焦點坐標為　　　　. 答案　(1,0) 4.(2017北京理,18,14分)已知拋物線C:y2=2px過點P(1,1).過點0,12作直線l與拋物線C交于不同的兩點M,N,過點M作x軸的垂線分別與直線OP,ON交于點A,B,其中O為原點. (1)求拋物線C的方程,并求其焦點坐標和準線方程; (2)求證:A為線段BM的中點. 解析　本題考查拋物線方程及性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系. (1)由拋物線C:y2=2px過點P(1,1),得p=. 所以拋物線C的方程為y2=x. 拋物線C的焦點坐標為14,0,準線方程為x=-. (2)證明:由題意,設(shè)直線l的方程為y=kx+ (k≠0),l與拋物線C的交點為M(x1,y1),N(x2,y2). 由y=kx+12,y2=x得4k2x2+(4k-4)x+1=0. 則x1+x2=1-kk2,x1x2=14k2. 因為點P的坐標為(1,1),所以直線OP的方程為y=x,點A的坐標為(x1,x1).直線ON的方程為y=y2x2x,點B的坐標為x1,y2x1x2. 因為y1+y2x1x2-2x1=y1x2+y2x1-2x1x2x2 =kx1+12x2+kx2+12x1-2x1x2x2 =(2k-2)x1x2+12(x2+x1)x2=(2k-2)14k2+1-k2k2x2=0, 所以y1+y2x1x2=2x1. 故A為線段BM的中點. 方法總結(jié)　在研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系時,常涉及弦長、中點、面積等問題.一般是先聯(lián)立方程,再根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系,用設(shè)而不求,整體代入的技巧進行求解. 易錯警示　在設(shè)直線方程時,若要設(shè)成y=kx+m的形式,注意先討論斜率是否存在;若要設(shè)成x=ty+n的形式,注意先討論斜率是不是0. C組　教師專用題組 考點一　拋物線的定義和標準方程 1.(2016課標全國Ⅱ,5,5分)設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點,曲線y= (k>0)與C交于點P,PF⊥x軸,則k=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B.1 C. D.2 答案　D　 2.(2014遼寧,8,5分)已知點A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準線上,記C的焦點為F,則直線AF的斜率為(　　) A.- B.-1 C.- D.- 答案　C　 3.(2014課標Ⅰ,10,5分)已知拋物線C:y2=x的焦點為F,A(x0,y0)是C上一點,|AF|=x0,則x0=(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 答案　A　 4.(2017山東,15,5分)在平面直角坐標系xOy中,雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支與焦點為F的拋物線x2=2py(p>0)交于A,B兩點.若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為　　　　　　. 答案　y=22x 5.(2014湖南,15,5分)如圖,正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a,b(a0)經(jīng)過C,F兩點,則=　　　　. 答案　1+2 6.(2014湖南,14,5分)平面上一機器人在行進中始終保持與點F(1,0)的距離和到直線x=-1的距離相等.若機器人接觸不到過點P(-1,0)且斜率為k的直線,則k的取值范圍是　　　　　　　　　　. 答案　(-∞,-1)∪(1,+∞) 考點二　拋物線的幾何性質(zhì) 1.(2015陜西,3,5分)已知拋物線y2=2px(p>0)的準線經(jīng)過點(-1,1),則該拋物線焦點坐標為(　　) A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1) 答案　B　 2.(2015四川,10,5分)設(shè)直線l與拋物線y2=4x相交于A,B兩點,與圓(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于點M,且M為線段AB的中點.若這樣的直線l恰有4條,則r的取值范圍是(　　) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4) 答案　D　 3.(2014安徽,3,5分)拋物線y=x2的準線方程是(　　) A.y=-1 B.y=-2 C.x=-1 D. x=-2 答案　A　 4.(2014四川,10,5分)已知F為拋物線y2=x的焦點,點A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),OAOB=2(其中O為坐標原點),則△ABO與△AFO面積之和的最小值是(　　) A.2 B.3 C.1728 D.10 答案　B　 5.(2017天津,12,5分)設(shè)拋物線y2=4x的焦點為F,準線為l.已知點C在l上,以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A.若∠FAC=120,則圓的方程為　　　　　　　　. 答案　(x+1)2+(y-3)2=1 6.(2014上海,4,4分)若拋物線y2=2px的焦點與橢圓x29+y25=1的右焦點重合,則該拋物線的準線方程為　　　　. 答案　x=-2 7.(2014福建,21,12分)已知曲線Γ上的點到點F(0,1)的距離比它到直線y=-3的距離小2. (1)求曲線Γ的方程; (2)曲線Γ在點P處的切線l與x軸交于點A,直線y=3分別與直線l及y軸交于點M,N.以MN為直徑作圓C,過點A作圓C的切線,切點為B.試探究:當點P在曲線Γ上運動(點P與原點不重合)時,線段AB的長度是否發(fā)生變化?證明你的結(jié)論. 解析　(1)解法一:設(shè)S(x,y)為曲線Γ上任意一點, 依題意,得點S到F(0,1)的距離與它到直線y=-1的距離相等, 所以曲線Γ是以點F(0,1)為焦點、直線y=-1為準線的拋物線,所以曲線Γ的方程為x2=4y. 解法二:設(shè)S(x,y)為曲線Γ上任意一點, 則|y-(-3)|-(x-0)2+(y-1)2=2, 依題意,知點S(x,y)只能在直線y=-3的上方,所以y>-3, 所以(x-0)2+(y-1)2=y+1, 化簡得,曲線Γ的方程為x2=4y. (2)當點P在曲線Γ上運動(點P與原點不重合)時,線段AB的長度不變.證明如下: 由(1)知拋物線Γ的方程為y=x2, 設(shè)P(x0,y0)(x0≠0),則y0=14x02, 由y=x,得切線l的斜率k=y|x=x0=x0, 所以切線l的方程為y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-14x02. 由y=12x0x-14x02,y=0得A12x0,0. 由y=12x0x-14x02,y=3得M12x0+6x0,3. 又N(0,3),所以圓心C14x0+3x0,3, 半徑r=|MN|=14x0+3x0, |AB|=|AC|2-r2 =12x0-14x0+3x02+32-14x0+3x02=6. 所以點P在曲線Γ上運動(點P與原點不重合)時,線段AB的長度不變. 評析　本題主要考查拋物線的定義與性質(zhì)、圓的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等,考查運算求解能力、推理論證能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、特殊與一般思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想. 8.(2014大綱全國,21,12分)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,直線y=4與y軸的交點為P,與C的交點為Q,且|QF|=|PQ|. (1)求C的方程; (2)過F的直線l與C相交于A、B兩點,若AB的垂直平分線l與C相交于M、N兩點,且A、M、B、N四點在同一圓上,求l的方程. 解析　(1)設(shè)Q(x0,4),代入y2=2px得x0=. 所以|PQ|=,|QF|=+x0=+. 由題設(shè)得+=, 解得p=-2(舍去)或p=2. 所以C的方程為y2=4x. (2)依題意知l與坐標軸不垂直,故可設(shè)l的方程為x=my+1(m≠0). 代入y2=4x得y2-4my-4=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4m,y1y2=-4. 故AB的中點為D(2m2+1,2m),|AB|=m2+1|y1-y2|=4(m2+1). 又l的斜率為-m, 所以l的方程為x=-1my+2m2+3. 將上式代入y2=4x,并整理得y2+4my-4(2m2+3)=0. 設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4),則y3+y4=-4m,y3y4=-4(2m2+3). 故MN的中點為E2m2+2m2+3,-2m, |MN|=1+1m2|y3-y4|=4(m2+1)2m2+1m2. 由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四點在同一圓上等價于|AE|=|BE|=|MN|,從而|AB|2+|DE|2=|MN|2, 即4(m2+1)2+2m+2m2+2m2+22=4(m2+1)2(2m2+1)m4. 化簡得m2-1=0,解得m=1或m=-1. 所求直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0. 評析　本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、四點共圓等基礎(chǔ)知識.考查解析幾何的基本思想方法,考查運算求解能力和綜合解題能力.對于第(2)問將直線l方程設(shè)為x=my+1(m≠0),這樣可以避免討論斜率不存在的情形,使問題簡單化. 【三年模擬】 一、選擇題(每小題4分,共4分) 1.(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)期中,6)已知拋物線y2=4x的焦點為F,O為原點,若M是拋物線上的動點,則|OM||MF|的最大值為(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.33 B.63 C.233 D.263 答案　C　 二、填空題(單空題4分,多空題6分,共16分) 2.(2019屆浙江溫州九校聯(lián)考,15)已知拋物線y2=4x的焦點為F,過點F作直線l交拋物線于A,B兩點,則1|AF|+1|BF|=　　　　,16|AF|-|BF|2的最大值為　　　　. 答案　1;4 3.(2018浙江臺州第一次調(diào)考(4月),12)拋物線C:y2=8x的焦點F的坐標為　　　,若點P(3,m)在拋物線C上,則線段PF的長度為　　　　　. 答案　(2,0);3+2 4.(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)階段性測試,16)已知M(a,4)為拋物線y2=2px(p>0)上的一點,F為拋物線的焦點,N為y軸上的動點,當sin∠MNF的值最大時,△MNF的面積為5,則p的值為　　　. 答案　2或8 三、解答題(共60分) 5.(2019屆浙江名校新高考研究聯(lián)盟第一次聯(lián)考,21)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,點M(-2,8),且|MF|=45. (1)求拋物線的方程; (2)設(shè)A,B是拋物線上的兩點,當F為△ABM的垂心時,求直線AB的方程. 解析　(1)由題意得|MF|=p2+22+64=45, 解得p=4, 所以拋物線的方程為y2=8x.(5分) (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2). 因為F是△ABM的垂心,所以MF⊥AB,所以kMFkAB=-1, 故kAB=,(7分) 所以設(shè)直線AB的方程為x=2y+n,與y2=8x聯(lián)立得y2-16y-8n=0. 令Δ>0,有n>-8. y1+y2=16,y1y2=-8n.(10分) 因為F是△ABM的垂心,所以MA⊥FB. 即x1x2-2x1+2x2-4+y1y2-8y2=0①, 同理,x1x2-2x2+2x1-4+y1y2-8y1=0②, ①+②得2x1x2-8+2y1y2-8(y1+y2)=0.(13分) 所以n2-8n-68=0,解得n=4221,又因為n>-8, 所以直線AB的方程為x-2y-4221=0.(15分) 6.(2018浙江嘉興教學(xué)測試(4月),21)如圖,點P(1,1)為拋物線y2=x上一定點,斜率為-的直線與拋物線交于A,B兩點. (1)求弦AB的中點M的縱坐標; (2)點Q是線段PB上任意一點(異于端點),過Q作PA的平行線交拋物線于E,F兩點,求證:|QE||QF|-|QP||QB|為定值. 解析　(1)由yA2=xA,yB2=xB作差,可得(yA+yB)(yA-yB)=xA-xB, ?1yA+yB=yA-yBxA-xB=-,(*) 所以yA+yB=-2,yM=yA+yB2=-1. (2)證明:設(shè)Q(x0,y0),直線EF:x-x0=t1(y-y0),聯(lián)立方程組x-x0=t1(y-y0),y2=x?y2-t1y+t1y0-x0=0, 所以yE+yF=t1,yEyF=t1y0-x0, |QE||QF|=1+t12|yE-y0|1+t12|yF-y0|=(1+t12)|y02-x0|, 同理,|QP||QB|=(1+t22)|y02-x0|. 由(1)中(*)可知,t1=1kEF=1kPA=yA+yP,t2=1kPB=yB+yP, 所以t1+t2=(yA+yB)+2yp=-2+2=0,即t1=-t2?t12=t22, 所以|QE||QF|=|QP||QB|, 即|QE||QF|-|QP||QB|=0. 7.(2018浙江名校協(xié)作體聯(lián)考,21)已知拋物線C:x2=2py(p>0),且拋物線C在點P(1, f(1))處的切線斜率為.直線l與拋物線交于不同的兩點A,B,且直線AP垂直于直線BP. (1)求證:直線l過定點,并求出定點坐標; (2)直線BP交y軸于點M,直線AP交x軸于點N,求|AP||BP||MP||NP|的最大值. 解析　(1)證明:y=x22p,y=x. 當x=1時,得=,∴p=2. ∴拋物線的方程為x2=4y. 設(shè)A(2t1,t12),B(2t2,t22), ∵AP⊥BP,P1,14,∴kAPkBP=t12-142t1-1t22-142t2-1=-1, ∴t1t2+ (t1+t2)+174=0(*), 又∵kAB=t12-t222t1-2t2=t1+t22, ∴直線AB的方程為y-t12=t1+t22(x-2t1), 即2y=(t1+t2)x-2t1t2, 將(*)式代入直線AB的方程得(t1+t2)(x+1)+172-2y=0, 令x+1=0,172-2y=0,解得直線AB過定點-1,174. (2)設(shè)直線BM的方程為y-=k(x-1),不妨設(shè)k>0, 聯(lián)立y-14=k(x-1),x2=4y,得x2-4kx+4k-1=0,Δ=16k2-16k+4>0, 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得xB+xP=4k,∴xB=4k-1, 由于AP⊥BP,同理可得xA=--1, 又∵xN=+1,xM=0, ∴|AP||BP|=1+1k2|xP-xA|k2+1|xB-xP|=1+k2k2+4k(4k-2)=4(1+k2)(2k-1)(k+2)k2, |MP||NP|=k2+1|xP-xM|1+1k2|xN-xP|=1+k24, ∴|AP||BP||MP||NP|=4(1+k2)(2k-1)(k+2)k241+k2=16(2k-1)(k+2)k2=16-2k2+3k+2=-321k-342+50≤50, ∴|AP||BP||MP||NP|的最大值為50. 8.(2018浙江嵊州高三期末質(zhì)檢,21)如圖,已知拋物線y2=x,點A(1,1),B(4,-2),拋物線上的點P(x,y)(y>1),直線AP與x軸相交于點Q,記△PAB,△QAB的面積分別是S1,S2. (1)若AP⊥PB,求點P的縱坐標; (2)求S1-5S2的最小值. 解析　(1)因為kAP=y-1x-1=y-1y2-1=1y+1,kBP=y+2x-4=y+2y2-4=1y-2. 由AP⊥BP,得kAPkBP=1y+11y-2=-1,即y2-y-1=0,得y=1+52. (2)解法一:設(shè)直線AP:y-1=k(x-1),則Q1-1k,0, 由y>1,知01),則kAP=1t+1,所以直線AQ:y-1=1t+1(x-1),則Q(-t,0). 又直線AB:x+y-2=0,|AB|=32. 則點P到直線AB的距離d1=|t2+t-2|2=t2+t-22,點Q到直線AB的距離d2=|-t-2|2=t+22, 所以S1-5S2=|AB|(d1-5d2)=322t2+t-22-5t+102 = (t-2)2-24. 故當t=2時,S1-5S2有最小值-24.