高中數(shù)學(xué) 2.1.2 演繹推理課件 新人教A版選修2-2.ppt

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成才之路 數(shù)學(xué) 路漫漫其修遠(yuǎn)兮吾將上下而求索 人教A版 選修2 2 推理與證明 第二章 2 1合情推理與演繹推理 第二章 2 1 2演繹推理 理解演繹推理的概念 掌握演繹推理的形式 并能用它們進(jìn)行一些簡單的推理 了解合情推理與演繹推理的聯(lián)系與區(qū)別 重點(diǎn) 演繹推理的含義及演繹推理規(guī)則 難點(diǎn) 演繹推理的應(yīng)用 日常生活中我們經(jīng)常接觸這樣的推理形式 所有金屬都導(dǎo)電 因?yàn)殍F是金屬 所以鐵導(dǎo)電 它是合情推理嗎 這種推理形式正確嗎 演繹推理 思維導(dǎo)航 1 演繹推理從 出發(fā) 推出 情況下的結(jié)論 我們把這種推理稱為演繹推理 簡言之 演繹推理是由 的推理 新知導(dǎo)學(xué) 一般性的原理 某個(gè)特殊 一般到特殊 2 演繹推理與合情推理的主要區(qū)別與聯(lián)系 1 合情推理與演繹推理的主要區(qū)別 歸納和類比都是常用的合情推理 從推理形式上看 歸納是由 到 到 的推理 類比是由 到 的推理 而演繹推理是由 到 的推理 從推理所得的結(jié)論來看 合情推理的結(jié)論不一定正確 有待于進(jìn)一步的證明 演繹推理在前提和推理形式都正確的前提下 得到的結(jié)論一定正確 部分 整體 個(gè)別 一般 特殊 特殊 一般 特殊 2 人們?cè)谡J(rèn)識(shí)世界的過程中 需要通過觀察 實(shí)驗(yàn)等獲取經(jīng)驗(yàn) 也需要辨別它們的真?zhèn)?或?qū)⒎e累的知識(shí)加工 整理 使之條理化 系統(tǒng)化 合情推理和演繹推理分別在這兩個(gè)環(huán)節(jié)中扮演著重要角色 3 就數(shù)學(xué)而言 演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論 建立數(shù)學(xué)體系的重要思維過程 但數(shù)學(xué)結(jié)論 證明思路等的發(fā)現(xiàn) 主要靠合情推理 因此 我們不僅要學(xué)會(huì)證明 更要學(xué)會(huì)猜想 3 三段論 1 三段論 是演繹推理的一般模式 包括 大前提 已知的 小前提 所研究的 結(jié)論 根據(jù)一般原理 對(duì)特殊情況做出的 其一般推理形式為大前提 M是P 小前提 S是M 結(jié)論 一般原理 特殊情況 判斷 S是P 2 利用集合知識(shí)說明 三段論 若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P S是M的一個(gè)子集 那么 3 為了方便 在運(yùn)用三段論推理時(shí) 常常采用省略大前提或小前提的表述方式 對(duì)于復(fù)雜的論證 總是采用一連串的三段論 把前一個(gè)三段論的 作為下一個(gè)三段論的前提 S中所有元素也都具有性質(zhì)P 結(jié)論 4 其他演繹推理形式 1 假言推理 若p q p真 則q真 2 關(guān)系推理 若aRb bRc 則aRc R表示一種傳遞性關(guān)系 如a b b c a c a b b c a c等 注 假言推理 關(guān)系推理在新課標(biāo)中未給定義 但這種推理形式是經(jīng)常見到的 為表述記憶方便 我們也一塊給出 以供學(xué)生擴(kuò)展知識(shí)面 3 完全歸納推理是把所有可能的情況都考慮在內(nèi)的演繹推理規(guī)則 牛刀小試 答案 A 解析 大前提錯(cuò)誤 因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y logax 0 a 1 是減函數(shù) 故選A 2 所有9的倍數(shù)都是3的倍數(shù) 某奇數(shù)是9的倍數(shù) 故某奇數(shù)是3的倍數(shù) 上述推理是 A 完全正確B 推理形式不正確C 錯(cuò)誤 因?yàn)榇笮∏疤岵灰恢翫 錯(cuò)誤 因?yàn)榇笄疤徨e(cuò)誤 答案 A 3 2014 2015 廈門六中高二期中 有一段 三段論 推理是這樣的 對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f x 若f x0 0 則x x0是函數(shù)f x 的極值點(diǎn) 因?yàn)閒 x x3在x 0處的導(dǎo)數(shù)值f 0 0 所以x 0是f x x3的極值點(diǎn) 以上推理中 A 大前提錯(cuò)誤B 小前提錯(cuò)誤C 推理形式錯(cuò)誤D 結(jié)論正確 答案 A 解析 f x0 0是f x 在x x0取得極值的必要條件 而不是充分條件 大前提是錯(cuò)誤的 4 補(bǔ)充下列推理 使其成為完整的三段論 1 因?yàn)榛橄喾磾?shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0 又因?yàn)閍與b互為相反數(shù)且 所以b 8 2 因?yàn)?又因?yàn)閑 2 71828 是無限不循環(huán)小數(shù) 所以e是無理數(shù) 答案 1 a 8 2 無限不循環(huán)小數(shù)都是無理數(shù) 5 給出下列結(jié)論 演繹推理的特征為 前提為真時(shí) 結(jié)論一定為真 演繹推理的特征為 前提為真時(shí) 結(jié)論可能為真 由合情推理得到的結(jié)論一定為真 演繹推理和合情推理都可以用于證明 合情推理不能用于證明 演繹推理可用于證明 其中正確結(jié)論的序號(hào)為 答案 用三段論的形式寫出下列演繹推理 1 菱形的對(duì)角線相互垂直 正方形是菱形 所以正方形的對(duì)角線相互垂直 2 若兩角是對(duì)頂角 則此兩角相等 所以若兩角不相等 則此兩角不是對(duì)頂角 分析 即寫出推理的大前提 小前提 結(jié)論 大前提可能在題目中給出 也可能是已經(jīng)學(xué)過的知識(shí) 演繹推理的基本形式 三段論 解析 1 每個(gè)菱形的對(duì)角線都相互垂直大前提正方形是菱形小前提正方形的對(duì)角線相互垂直結(jié)論 2 若兩個(gè)角是對(duì)頂角則兩角相等大前提 1和 2不相等小前提 1和 2不是對(duì)頂角結(jié)論 方法規(guī)律總結(jié) 分析演繹推理的構(gòu)成時(shí) 要正確區(qū)分大前提 小前提 結(jié)論 省略大前提的要補(bǔ)出來 在三段論中 大前提 提供了一般的原理 小前提 指出了一個(gè)特殊場合的情況 結(jié)論 在大前提和小前提的基礎(chǔ)上 說明一般原則和特殊情況間的聯(lián)系 平時(shí)大家早已能自發(fā)地使用三段論來進(jìn)行推理 學(xué)習(xí)三段論后我們要主動(dòng)地理解和掌握這一推理方法 把下列演繹推理寫成三段論的形式 1 在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下 水的沸點(diǎn)是100 所以在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下把水加熱到100 時(shí) 水會(huì)沸騰 2 因?yàn)?2100 1 是奇數(shù) 所以 2100 1 不能被2整除 3 如果 A與 B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角 那么 A B 180 4 因?yàn)楹瘮?shù)y 2x 1是一次函數(shù) 所以y 2x 1是單調(diào)函數(shù) 5 711能被3整除 分析 在使用三段論推理的過程中 有時(shí)為了簡便 略去大前提或小前提 分析推理過程時(shí) 要把略去的部分補(bǔ)出來 明確其大前提 小前提是什么 解析 1 大前提 在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下 水的沸點(diǎn)是100 小前提 在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下把水加熱到100 結(jié)論 水會(huì)沸騰 2 大前提 一切奇數(shù)都不能被2整除 小前提 2100 1是奇數(shù) 結(jié)論 2100 1不能被2整除 3 大前提 兩條直線平行 同旁內(nèi)角互補(bǔ) 小前提 A與 B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角 結(jié)論 A B 180 4 大前提 一次函數(shù)都是單調(diào)函數(shù) 小前提 函數(shù)y 2x 1是一次函數(shù) 結(jié)論 y 2x 1是單調(diào)函數(shù) 5 大前提 各位數(shù)字的和能被3整除的整數(shù) 能被3整除 小前提 711的各位數(shù)字的和能被3整除 結(jié)論 711能被3整除 演繹推理的判斷 指出下面推理中的錯(cuò)誤 1 自然數(shù)是整數(shù) 大前提 6是整數(shù) 小前提 所以 6是自然數(shù) 結(jié)論 2 中國的大學(xué)分布在中國各地 大前提 北京大學(xué)是中國的大學(xué) 小前提 所以 北京大學(xué)分布在中國各地 結(jié)論 3 三角函數(shù)是周期函數(shù) 大前提 y sinx 0 x 是三角函數(shù) 小前提 y sinx 0 x 是周期函數(shù) 結(jié)論 分析 判斷三段論推理是否正確 必須嚴(yán)格按其推理規(guī)則進(jìn)行考察 其推理規(guī)則為 所有M都是P S是M S是P 既要看大前提 小前提是否有誤 也要看推理形式是否合乎規(guī)范 解析 1 推理形式錯(cuò)誤 自然數(shù)是整數(shù)為大前提 小前提應(yīng)是判斷某數(shù)為自然數(shù) 而不是某數(shù)為整數(shù) 2 推理形式錯(cuò)誤 大前提中M是 中國的大學(xué) 它的含義是中國的每一所大學(xué) 而小前提中的 中國的大學(xué) 僅表示中國的一所大學(xué) 二者是兩個(gè)不同的概念 犯了偷換概念錯(cuò)誤 3 推理形式錯(cuò)誤 大前提中的 三角函數(shù) 和小前提中的 三角函數(shù) 概念不同 方法規(guī)律總結(jié) 1 判斷演繹推理是否正確的方法 1 看推理形式是否為由一般到特殊的推理 只有由一般到特殊的推理才是演繹推理 這是最易出錯(cuò)的地方 2 看大前提是否正確 大前提往往是定義 定理 性質(zhì)等 注意其中有無前提條件 3 看小前提是否正確 注意小前提必須在大前提范圍之內(nèi) 4 看推理過程是否正確 即看由大前提 小前提得到的結(jié)論是否正確 2 在應(yīng)用三段論推理中 最常見的錯(cuò)誤是偷換概念的錯(cuò)誤 即大前提與小前提中同一名稱的概念含義不同 其次是推理形式錯(cuò)誤 大前提 所有M都是P 則小前應(yīng)是 S是M 而非 S是P 3 設(shè)a b a 0 b 0 等式兩邊乘以a 得a2 ab 兩邊減去b2 得a2 b2 ab b2 兩邊分解因式 得 a b a b b a b 兩邊除以 a b 得a b b 以b代a 得2b b 兩邊除以b 得2 1 解析 上述推理過程都是錯(cuò)誤的 1 犯了偷換論題 以偏概全的錯(cuò)誤 在證明過程中 把論題中的四邊形改為矩形 2 使用的論據(jù)是 無理數(shù)與無理數(shù)的和是無理數(shù) 這個(gè)論據(jù)是假的 因?yàn)閮蓚€(gè)無理數(shù)的和不一定是無理數(shù) 因此原題的真實(shí)性仍無法斷定 3 所得結(jié)果顯然是錯(cuò)誤的 錯(cuò)誤的原因在于以 a b 除等式兩邊 因?yàn)閍 b 而a b 0 用0除等式兩邊 這是錯(cuò)誤的 綜合應(yīng)用 已知定義域?yàn)?0 1 的函數(shù)f x 同時(shí)滿足以下三個(gè)條件 對(duì)任意的x 0 1 總有f x 0 f 1 1 若 當(dāng)x1 0 x2 0且x1 x2 1時(shí) 有f x1 x2 f x1 f x2 成立 則稱f x 為 友誼函數(shù) 1 若已知f x 為 友誼函數(shù) 求f 0 的值 2 函數(shù)g x 2x 1在區(qū)間 0 1 上是否為 友誼函數(shù) 并給出理由 3 已知f x 為 友誼函數(shù) 且0 x1 x2 1 求證 f x1 f x2 分析 定義域?yàn)?0 1 在研究函數(shù)過程中不能超出這個(gè)范圍 第 1 問已知f x 為友誼函數(shù) 求f 0 可用賦值法求解 第 2 問給出f x 解析式和定義區(qū)間 判斷f x 是否為友誼函數(shù) 需緊扣定義驗(yàn)證f x 是否滿足三個(gè)條件 第 3 問要證f x1 f x2 需依據(jù)條件 進(jìn)行變換 注意條件 在變形中的應(yīng)用 解析 1 取x1 x2 0 得f 0 f 0 f 0 f 0 0 又由f 0 0 得f 0 0 2 顯然g x 2x 1在 0 1 上滿足 g x 0 g 1 1 若x1 0 x2 0 且x1 x2 1 則有g(shù) x1 x2 g x1 g x2 2x1 x2 1 2x1 1 2x2 1 2x1 1 2x2 1 0 故g x 2x 1滿足條件 所以g x 2x 1為 友誼函數(shù) 3 因?yàn)? x1 x2 1 則0 x2 x1 1 所以f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 f x1 方法規(guī)律總結(jié) 1 應(yīng)用演繹推理證明時(shí) 必須確切知道每一步推理的依據(jù) 大前提 驗(yàn)證條件是否滿足 小前提 然后得出結(jié)論 2 在幾何 代數(shù)證題過程中 如果每一次都按三段論寫出解答過程會(huì)很繁瑣 也不必要 因此實(shí)際證題中 那些公認(rèn)的簡單事實(shí) 已知的公理 定理等大前提條件可以省略 那些前面證得的結(jié)論也可省略 但必須要保證證題過程的嚴(yán)密規(guī)范 用三段論分析下列推理過程 已知空間四邊形ABCD中 點(diǎn)E F分別在AB AD上的中點(diǎn) 求證 EF 平面BCD 證明 E F分別為邊AB AD的中點(diǎn) EF BD 又 EF 平面BCD BD 平面BCD EF 平面BCD 解析 在上述推理過程中 兩次使用了三段論 第一次由EF是 ABD的中位線推出EF BD 省略了大前提 三角形的中位線平行于第三邊 第二次由EF BD推出EF 平面BCD 省略了大前提 如果平面外一條直線和這個(gè)平面平行 那么這條直線與這個(gè)平面平行 不要張冠李戴 如圖所示 在 ABC中 AC BC CD是AB邊上的高 求證 ACD BCD 錯(cuò)解 在 ABC中 因?yàn)锳C BC CD AB 所以AD BD 所以 ACD BCD 辨析 錯(cuò)誤的原因在于雖然運(yùn)用的大前提正確 即在同一個(gè)三角形中 大邊對(duì)大角 但AD與BD并不是在同一個(gè)三角形內(nèi)的兩條邊 即小前提不成立 所以推理過程錯(cuò)誤 正解 因?yàn)镃D AB 所以 ADC BDC 90 所以 A ACD B BCD 90 在 ABC中 AC BC B A ACD BCD 警示 利用三段論推理時(shí) 一 大前提必須是真命題 2 小前提是大前提的特殊情形