第五章 定積分及其應(yīng)用高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件PPT

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1、返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月20日星期日1第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用（Definite Integrals and its Application）積分學(xué)積分學(xué)不定積分不定積分定積分定積分返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月20日星期日2主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 第二節(jié)第二節(jié) 微積分基本公式微積分基本公式第三節(jié)第三節(jié) 定積分的計(jì)算方法定積分的計(jì)算方法 第四節(jié)第四節(jié) 廣義積分廣義積分 第五節(jié)第五節(jié) 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用第六節(jié)第六節(jié) 經(jīng)濟(jì)應(yīng)用經(jīng)濟(jì)應(yīng)用 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月20日

2、星期日3第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 第五章第五章 （Conceptions and Properties of Definite Integrals）一、一、引引 例例二、二、 定積分的定義定積分的定義四、四、 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)三、定積分的幾何意義三、定積分的幾何意義 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月20日星期日4一、引一、引 例例1. 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線)0)()(xfxfy，軸及x以及兩直線bxax,所圍成 , 求其面積 A .?A( )yf x矩形面積ahhaahb梯形面積)(2bah返回返回上頁上頁下頁下頁目

3、錄目錄2022年2月20日星期日51xix1ixxabyo1) 大化小大化小.在區(qū)間 a , b 中任意插入 n 1 個分點(diǎn)bxxxxxann1210,1iiixx用直線ixx 將曲邊梯形分成 n 個小曲邊梯形;2) 常代變常代變.在第i 個窄曲邊梯形上任取作以,1iixx為底 ,)(if為高的小矩形, 并以此小梯形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積,iA得)()(1iiiiiixxxxfA),2, 1,nii解決步驟解決步驟 :返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月20日星期日6niiAA1niiixf1)(4) 取極限取極限. 令, max1inix則曲邊梯形面積niiAA10lim0

4、1lim()niiifx3) 近似和近似和.1xix1ixxabyoi返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月20日星期日7設(shè)某物體作直線運(yùn)動, ,)(21TTCtvv且,0)(tv求在運(yùn)動時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程 s.解決步驟解決步驟:1) 大化小大化小., ,1iiitt任取將它分成, ),2, 1(,1nittii在每個小段上物體經(jīng)2) 常代變常代變.,)(代替變速以iv得iiitvs)(,1,21個分點(diǎn)中任意插入在nTT),2, 1(nisi), 2, 1(ni已知速度n 個小段過的路程為2. 變速直線運(yùn)動的路程變速直線運(yùn)動的路程返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月20日

5、星期日8iniitvs1)(4) 取極限取極限 .iniitvs10)(lim)max(1init上述兩個問題的共性共性: 解決問題的方法步驟相同 :“大化小大化小 , 常代變常代變 , 近似和近似和 , 取極限取極限 ” 所求量極限結(jié)構(gòu)式相同: 特殊乘積和式的極限特殊乘積和式的極限3) 近似和近似和.返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月20日星期日9abxo二、定積分定義二、定積分定義,)(上定義在設(shè)函數(shù)baxf的若對,ba任一種分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取, ,1iiixxi時只要0max1inixiniixf1)(總趨于確定的極限 I , 則稱此極限 I 為

6、函數(shù))(xf在區(qū)間,ba上的定積分定積分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此時稱 f ( x ) 在 a , b 上可積可積 .記作返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月20日星期日10baxxfd)(iniixf10)(lim積分上限積分上限積分下限積分下限被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量積分和積分和稱為積分區(qū)間,ba定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān) , 而與積分而與積分變量用什么字母表示無關(guān)變量用什么字母表示無關(guān) , 即即baxxfd)(battfd)(bauufd)(返回返回上頁上頁下頁

7、下頁目錄目錄2022年2月20日星期日11定理定理1 上連續(xù)在函數(shù),)(baxf.,)(可積在baxf定理定理2 ,)(上有界在函數(shù)baxf且只有有限個間斷點(diǎn)且只有有限個間斷點(diǎn) .,)(可積在baxf可積的充分條件可積的充分條件:應(yīng)當(dāng)指出的是，應(yīng)當(dāng)指出的是，返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月20日星期日12Axxfxfbad)(,0)(曲邊梯形面積baxxfxfd)(,0)(曲邊梯形面積的負(fù)值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面積的代數(shù)和各部分面積的代數(shù)和A定積分的幾何意義定積分的幾何意義:返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月20日星期

8、日1311(21)dxx121311()312.2222AA 20(2)sind0.xx返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月20日星期日14四、定積分的性質(zhì)四、定積分的性質(zhì)（設(shè)所列定積分都存在）（設(shè)所列定積分都存在）abbaxxfxxfd)(d)(. 10d)(aaxxfbaxd. 2xxfkxxfkbabad)(d)(. 3( k 為常數(shù))bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. 4證證:iiinixgf)()(lim10左端iiniiinixgxf)(lim)(lim1010= 右端ab返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月20日星期日15bccabax

9、xfxxfxxfd)(d)(d)(. 5證證: 當(dāng)bca時,因)(xf在,ba上可積 ,所以在分割區(qū)間時, 可以永遠(yuǎn)取 c 為分點(diǎn) , 于是,)(baiixf,)(caiixf,)(bciixfabc0令baxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月20日星期日16abc,cba則有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(當(dāng) a , b , c 的相對位置任意時, 例如返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月20日星期日170)(1iinixf則.0d)

10、(xxfba證證:,0)(xfbaxxfd)(0)(lim10iinixf推論推論1 若在 a , b 上, )()(xgxf則xxfbad)(xxgbad)(6. 若在 a , b 上返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月20日星期日18xxfbad)(xxfbad)(證證:)( xf)(xf)(xf)(ba xxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即xxfxxfbabad)(d)(7. 設(shè), )(min, )(max,xfmxfMbaba則)(d)()(abMxxfabmba)(ba 推論推論2 積分估值積分估值定理定理返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月20日星

11、期日19101xe dxe 證證:( )xf xe 例例3（補(bǔ)充題）（補(bǔ)充題）試證:在區(qū)間0,10,1上單調(diào)遞增，01( )ef xe 101 1 01 0 xe dxe 即利用積分估值定理積分估值定理，得1110001( )dxdf xexdxdbaxba101xe dxe 即返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月20日星期日20, ,)(baCxf若則至少存在一點(diǎn), ,ba使)(d)(abfxxfba證證:,)(Mmbaxf別為上的最小值與最大值分在設(shè)則由性質(zhì)性質(zhì)7 可得Mxxfabmbad)(1根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,上至少存在一在,ba, ,ba點(diǎn)使xxfabfbad)(

12、1)(因此定理成立.8. 積分中值定理積分中值定理返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月20日星期日21oxbay)(xfy .都成立或baba 可把)(d)(fabxxfba.,)(上的平均值在理解為baxf故它是有限個數(shù)的平均值概念的推廣故它是有限個數(shù)的平均值概念的推廣. 積分中值定理對abxxfbad)(因nabfabniin)(lim11)(1lim1niinfn說明說明:返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月20日星期日22內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 定積分定積分定義定義 乘積和式的極限乘積和式的極限2. 定積分的定積分的幾何意義幾何意義3. 定積分存在的定積分存在的2個個

13、充分性條件充分性條件4. 定積分的定積分的7條條基本性質(zhì)基本性質(zhì)課后練習(xí)課后練習(xí)習(xí)題習(xí)題5-1返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月20日星期日23思考與練習(xí)思考與練習(xí)01xn1n2nn 11. 用定積分表示下述極限用定積分表示下述極限 :nnnnnIn) 1(sin2sinsin1lim解解:10sinlimnknnkI1n0dsin1xxnn2nn) 1( 0 x或或)(sinlim10nknnkIn110dsinxx返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月20日星期日24如何用定積分表示下述極限如何用定積分表示下述極限 nnnnnnIn) 1(sinsin2sin1lim提示提示:nknnkI1sinlim1nnnnnsin1limnnnn) 1(sin1lim0dsin1xx極限為極限為 0 !思考思考:返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月20日星期日25證明：證明： 010( )dd( )af xxaf xx01 0( )d( )dd(aaaaf xxaf xxf xx10(1)( )d( )daaaf xxaf xx(1)( )(1)( )a afa af0,1a a（）(1) ( )( )a a ff0故原式得證. 單調(diào)遞減( )f x