數(shù)學(xué)第八章 立體幾何初步 第7課時 立體幾何中的向量方法(一)——證明平行與垂直 理

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1、第第7節(jié)立體幾何中的向量方法節(jié)立體幾何中的向量方法(一一)證明平行與垂直證明平行與垂直0101020203030404考點三考點三考點一考點一考點二考點二例例1 訓(xùn)練訓(xùn)練1利用空間向量證明平利用空間向量證明平行問題行問題利用空間向量證明垂利用空間向量證明垂直問題直問題用空間向量解決探索用空間向量解決探索性問題性問題(多維探究多維探究)診斷自測診斷自測例例2 訓(xùn)練訓(xùn)練2例例3-1 例例3-2 訓(xùn)練訓(xùn)練3恰當(dāng)建立坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點與恰當(dāng)建立坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點與相關(guān)向量的坐標(biāo)，是運(yùn)用向量法證相關(guān)向量的坐標(biāo)，是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵明平行和垂直的關(guān)鍵Oyzx恰當(dāng)建立坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點與恰

2、當(dāng)建立坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點與相關(guān)向量的坐標(biāo)，是運(yùn)用向量法證相關(guān)向量的坐標(biāo)，是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵明平行和垂直的關(guān)鍵Oyzx恰當(dāng)建立坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點與恰當(dāng)建立坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點與相關(guān)向量的坐標(biāo)，是運(yùn)用向量法證相關(guān)向量的坐標(biāo)，是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵明平行和垂直的關(guān)鍵OyzxF恰當(dāng)建立坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點與恰當(dāng)建立坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點與相關(guān)向量的坐標(biāo)，是運(yùn)用向量法證相關(guān)向量的坐標(biāo)，是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵明平行和垂直的關(guān)鍵OyzxF考點一利用空間向量證明平行問題證明證明(1)取取BC的中點的中點O，連接，連接PO，平面平面PBC底面底面ABCD，BC為交線，為交線，

3、PO 平面平面PBC，PBC為等邊三角形為等邊三角形，即即POBC，PO底面底面ABCD.以以BC的中點的中點O為坐標(biāo)原點，以為坐標(biāo)原點，以BC所在直線為所在直線為x軸，軸，過點過點O與與AB平行的直線為平行的直線為y軸，軸，OP所在直線為所在直線為z軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.OxyzOxyzOxyzM考點二利用空間向量證明垂直問題xyz(1)證明證明因為平面因為平面PAD平面平面ABCD，ABAD，所以所以AB平面平面PAD，所以，所以ABPD.又因為又因為PAPD且且ABPAA，PA，AB平面平面PAB，所以所以PD平面平面PAB.(2)解解取取AD

4、的中點的中點O，連接，連接PO，CO.因為因為PAPD，所以，所以POAD.又因為又因為PO 平面平面PAD，平面，平面PAD平面平面ABCD，所以所以PO平面平面ABCD.O因為因為CO 平面平面ABCD，所以，所以POCO.因為因為ACCD，所以，所以COAD.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，建立空間直角坐標(biāo)系O - xyz.由題意得，由題意得，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1).設(shè)設(shè)M是棱是棱PA上一點，上一點，Oxyz(1)證明證明平面平面ADEF平面平面ABCD，平面平面ADEF平面平面ABCDAD，AFAD，AF 平面平面ADEF

5、，AF平面平面ABCD.又又AC 平面平面ABCD，AFAC.過過A作作AHBC于于H，ABAFA，AB，AF 平面平面FAB，AC平面平面FAB，BF平面平面FAB，ACBF.Hx軸，軸，y軸，軸，z軸正方向，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) - xyz，則則A(0，0，0)，B(2，0，0)，假設(shè)假設(shè)在線段在線段BE上存在一點上存在一點P滿足題意，滿足題意，則易知點則易知點P不與點不與點B，E重合，重合，(2)解解存在存在. 由由(1)知，知，AF，AB，AC兩兩垂直，兩兩垂直，xyzxyz證明證明(1)因為因為AA1C1C為正方形，所以為正方形，所以AA1AC.因為平面因為平面ABC平面平面AA1C1C，AA1 平面平面AA1C1C，且且AA1垂直于這兩個平面的交線垂直于這兩個平面的交線AC，所以所以AA1平面平面ABC.(2)由由(1)知知AA1AB，AA1AC.由題知由題知AB3，BC5，AC4，所以，所以ABAC.如圖，以如圖，以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系為原點建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) - xyz.則則B(0，3，0)，A1(0，0，4)，B1(0，3，4)，C1(4，0，4).xyzxyz