數(shù)學(xué)第八章 立體幾何初步 第5節(jié) 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 理

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1、第第5節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)最新考綱1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題.1.直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果一條直線l與平面內(nèi)的_直線都垂直，就說直線l與平面互相垂直.知知 識識 梳梳 理理任意(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的_都垂直，則該直線與此平面垂直性質(zhì)定理 兩直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線_兩條相交直線lalbab平行ab2.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定

2、義兩個平面相交，如果它們所成的二面角是_，就說這兩個平面互相垂直.直二面角(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一個平面經(jīng)過另一個平面的一條_，則這兩個平面互相垂直性質(zhì)定理如果兩個平面互相垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于它們_的直線垂直于另一個平面垂線ll交線alal常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化(1)若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意直線.(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.(4)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.(5)過一點(diǎn)有且只有一個平面與已知直線垂直.2.直線與平面垂直的

3、五個結(jié)論診 斷 自 測1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l.()(2)垂直于同一個平面的兩平面平行.()(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面.()(4)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則.()解析(1)直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則有l(wèi)或l與斜交或l或l，故(1)錯誤.(2)垂直于同一個平面的兩個平面平行或相交，故(2)錯誤.(3)若兩個平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的直線可能垂直于另一平面，也可能與另一平面平行，也可能與另一平面相交，也可能在另一平面內(nèi)，故(3)錯誤.(4)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的

4、所有直線，則，故(4)錯誤.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修2P56A組7T改編)下列命題中錯誤的是()A.如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面B.如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面C.如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D.如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面解析對于D，若平面平面，則平面內(nèi)的直線可能不垂直于平面，即與平面的關(guān)系還可以是斜交、平行或在平面內(nèi)，其他選項(xiàng)易知均是正確的.答案D3.(2016浙江卷)已知互相垂直的平面，交于直線l，若直線m，n滿足m，n，則()A.ml B.mnC.nl D.mn解析因?yàn)閘，所以l，又n，所以nl，故選

5、C.答案C4.(2017全國卷)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則()A.A1EDC1 B.A1EBDC.A1EBC1 D.A1EAC解析如圖，由題設(shè)知，A1B1平面BCC1B1且BC1平面BCC1B1，從而A1B1BC1，又B1CBC1，且A1B1B1CB1，所以BC1平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1EBC1.答案C答案B6.(必修2P67練習(xí)2改編)在三棱錐PABC中，點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)O，(1)若PAPBPC，則點(diǎn)O是ABC的_心.(2)若PAPB，PBPC，PCPA，則點(diǎn)O是ABC的_心.解析(1)如圖1，連接OA，OB，OC，OP，

6、在RtPOA、RtPOB和RtPOC中，PAPCPB，所以O(shè)AOBOC，即O為ABC的外心.圖1圖2(2)如圖2，PCPA，PBPC，PAPBP，PC平面PAB，AB平面PAB，PCAB，又ABPO，POPCP，AB平面PGC，又CG平面PGC，ABCG，即CG為ABC邊AB的高.同理可證BD，AH分別為ABC邊AC，BC上的高，即O為ABC的垂心.答案(1)外(2)垂考點(diǎn)一線面垂直的判定與性質(zhì)【例1】 如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中點(diǎn).證明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.證明(1)在四棱錐PABCD中，PA底面

7、ABCD，CD平面ABCD，PACD，又ACCD，且PAACA，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中點(diǎn)，AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，AB平面ABCD，PAAB.又ABAD，且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.規(guī)律方法(1)證明直線和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的傳遞性(ab，ab)；面面平行的性質(zhì)(a，a)；面面垂直的性質(zhì)(，a，la，ll).(2)證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證

8、明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.求證：PACD.考點(diǎn)二面面垂直的判定與性質(zhì)【例2】 (2017江蘇卷)如圖，在三棱錐ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EFAD.求證：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.證明(1)在平面ABD內(nèi)，ABAD，EFAD，則ABEF.AB平面ABC，EF 平面ABC，EF平面ABC.(2)BCBD，平面ABD平面BCDBD，平面ABD平面BCD，BC平面BCD，BC平面ABD.AD平面ABD，BCAD.又ABAD，BC，AB平面ABC

9、，BCABB，AD平面ABC，又因?yàn)锳C平面ABC，ADAC.規(guī)律方法(1)證明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定義；面面垂直的判定定理.(2)已知兩平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.【訓(xùn)練2】 (2017山東卷)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱錐C1B1CD1后得到的幾何體如圖所示.四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD的交點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，A1E平面ABCD.(1)證明：A1O平面B1CD1；(2)設(shè)M是OD的中點(diǎn)，證明：平面A1EM平面B1CD1.證明(1)取B1D1的中點(diǎn)O1，連接CO1，A1O1，由于A

10、BCDA1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1OC，A1O1OC，因此四邊形A1OCO1為平行四邊形，所以A1OO1C，又O1C平面B1CD1，A1O 平面B1CD1，所以A1O平面B1CD1.(2)因?yàn)锳CBD，E，M分別為AD和OD的中點(diǎn)，所以EMBD，又A1E平面ABCD，BD平面ABCD，所以A1EBD，因?yàn)锽1D1BD，所以EMB1D1，A1EB1D1，又A1E，EM平面A1EM，A1EEME，所以B1D1平面A1EM，又B1D1平面B1CD1，所以平面A1EM平面B1CD1.考點(diǎn)三平行與垂直的綜合問題(多維探究)命題角度1多面體中平行與垂直關(guān)系的證明【例31】 如圖，在直三棱柱ABC

11、A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求證：(1)直線DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.證明(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1AC.在ABC中，因?yàn)镈，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以DEAC，于是DEA1C1.又因?yàn)镈E 平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直線DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面A1B1C1.因?yàn)锳1C1平面A1B1C1，所以A1AA1C1.又因?yàn)锳1C1A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1AA1B1A1，所以A1C

12、1平面ABB1A1.因?yàn)锽1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D.又因?yàn)锽1DA1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1A1FA1，所以B1D平面A1C1F.因?yàn)橹本€B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面A1C1F.規(guī)律方法(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.(2)垂直與平行的結(jié)合問題，求解時應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用.命題角度2平行垂直中探索性問題【例32】 如圖所示，平面ABCD平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BCCE，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn).(1)證明：AE平面BDF.(2)點(diǎn)M為CD上任意一點(diǎn)，在線段AE上是否存在

13、點(diǎn)P，使得PMBE？若存在，確定點(diǎn)P的位置，并加以證明；若不存在，請說明理由.(1)證明連接AC交BD于O，連接OF，如圖.四邊形ABCD是矩形，O為AC的中點(diǎn)，又F為EC的中點(diǎn)，OF為ACE的中位線，OFAE，又OF平面BDF，AE 平面BDF，AE平面BDF.(2)解當(dāng)P為AE中點(diǎn)時，有PMBE，證明如下：取BE中點(diǎn)H，連接DP，PH，CH，P為AE的中點(diǎn)，H為BE的中點(diǎn)，PHAB，又ABCD，PHCD，P，H，C，D四點(diǎn)共面.平面ABCD平面BCE，平面ABCD平面BCEBC，CD平面ABCD，CDBC.CD平面BCE，又BE平面BCE，CDBE，BCCE，H為BE的中點(diǎn)，CHBE，又C

14、DCHC，BE平面DPHC，又PM平面DPHC，BEPM，即PMBE.規(guī)律方法(1)求條件探索性問題的主要途徑：先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性.(2)涉及點(diǎn)的位置探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測點(diǎn)的位置再給出證明，探索點(diǎn)存在問題，點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)中某一個，也可以根據(jù)相似知識建點(diǎn).(1)求證：AC平面FBC.(2)求四面體FBCD的體積.(3)線段AC上是否存在點(diǎn)M，使EA平面FDM？若存在，請說明其位置，并加以證明；若不存在，請說明理由.(3)解線段AC上存在點(diǎn)M，且點(diǎn)M為AC中點(diǎn)時，有EA平面FDM.證明如下：連接CE，與DF交于點(diǎn)N，取AC的中點(diǎn)M，連接MN.因?yàn)樗倪呅蜟DEF是正方形，所以點(diǎn)N為CE的中點(diǎn).所以EAMN.因?yàn)镸N平面FDM，EA 平面FDM，所以EA平面FDM.所以線段AC上存在點(diǎn)M，且M為AC的中點(diǎn)，使得EA平面FDM成立.