2018高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.2.1 直接證明課件 蘇教版選修1 -2.ppt

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第2章 推理與證明 2 2直接證明與間接證明2 2 1直接證明 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1 了解直接證明的兩種基本方法 綜合法和分析法 2 理解綜合法和分析法的思考過程 特點(diǎn) 會(huì)用綜合法和分析法證明數(shù)學(xué)問題 1 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)挑戰(zhàn)自我 點(diǎn)點(diǎn)落實(shí) 2 課堂講義重點(diǎn)難點(diǎn) 個(gè)個(gè)擊破 3 當(dāng)堂檢測(cè)當(dāng)堂訓(xùn)練 體驗(yàn)成功 知識(shí)鏈接 1 綜合法與分析法的推理過程是合情推理還是演繹推理 答綜合法與分析法的推理過程是演繹推理 因?yàn)榫C合法與分析法的每一步推理都是嚴(yán)密的邏輯推理 從而得到的每一個(gè)結(jié)論都是正確的 不同于合情推理中的 猜想 預(yù)習(xí)導(dǎo)引 1 直接證明直接逐步推得的證明通常稱為直接證明 是直接證明中最基本的兩種證明方法 也是解決數(shù)學(xué)問題時(shí)常用的思維方式 從原命題的條件 命題成立 綜合法和分析法 2 綜合法從出發(fā) 以已知的定義 公理 定理為依據(jù) 逐步下推 直到推出為止 這種證明方法通常稱為綜合法 已知條件 要證明的結(jié)論 3 分析法從出發(fā) 追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件 逐步上溯 直到使結(jié)論成立的條件和吻合為止 這種證明方法通常稱為分析法 問題的結(jié)論 已知條件或已知事實(shí) 要點(diǎn)一綜合法的應(yīng)用例1已知a b是正數(shù) 且a b 1 證明方法一 a b是正數(shù)且a b 1 方法二 a b是正數(shù) 又a b 1 當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí) 取 規(guī)律方法利用綜合法證明問題的步驟 1 分析條件選擇方向 仔細(xì)分析題目的已知條件 包括隱含條件 分析已知與結(jié)論之間的聯(lián)系與區(qū)別 選擇相關(guān)的公理 定理 公式 結(jié)論 確定恰當(dāng)?shù)膬?yōu)化解法 2 轉(zhuǎn)化條件組織過程 把題目的已知條件 轉(zhuǎn)化成解題所需要的語(yǔ)言 主要是文字 符號(hào) 圖形三種語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn) 化 組織過程時(shí)要有嚴(yán)密的邏輯 簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言 清晰的思路 3 適當(dāng)調(diào)整回顧反思 解題后回顧解題過程 可對(duì)部分步驟進(jìn)行調(diào)整 并對(duì)一些語(yǔ)言進(jìn)行適當(dāng)?shù)男揎?反思總結(jié)優(yōu)化解法 跟蹤演練1在 ABC中 三個(gè)內(nèi)角A B C對(duì)應(yīng)的邊分別為a b c 且A B C成等差數(shù)列 a b c成等比數(shù)列 求證 ABC為等邊三角形 證明由A B C成等差數(shù)列 有2B A C 因?yàn)锳 B C為 ABC的內(nèi)角 所以A B C 由 得B 由a b c成等比數(shù)列 有b2 ac 由余弦定理及 可得b2 a2 c2 2accosB a2 c2 ac 再由 得a2 c2 ac ac 即 a c 2 0 因此a c 從而有A C 由 得A B C 所以 ABC為等邊三角形 要點(diǎn)二分析法的應(yīng)用例2設(shè)a b為實(shí)數(shù) 證明當(dāng)a b 0時(shí) 當(dāng)a b 0時(shí) 用分析法證明如下 即證a2 b2 2ab a2 b2 2ab對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立 綜上所述 不等式得證 規(guī)律方法分析法格式與綜合法正好相反 它是從要求證的結(jié)論出發(fā) 倒著分析 由未知想需知 由需知逐漸地靠近已知 已知條件 已經(jīng)學(xué)過的定義 定理 公理 公式 法則等 這種證明的方法關(guān)鍵在于需保證分析過程的每一步都是可以逆推的 它的常見書寫表達(dá)式是 要證 只需 或 跟蹤演練2如圖所示 SA 平面ABC AB BC 過A作SB的垂線 垂足為E 過E作SC的垂線 垂足為F 求證 AF SC 證明要證AF SC 只需證SC 平面AEF 只需證AE SC 因?yàn)镋F SC 只需證AE 平面SBC 只需證AE BC 因?yàn)锳E SB 只需證BC 平面SAB 只需證BC SA 因?yàn)锳B BC 由SA 平面ABC可知上式成立 所以AF SC 要點(diǎn)三綜合法和分析法的綜合應(yīng)用例3已知a b c是不全相等的正數(shù) 且0 x 1 由已知0 x 1 規(guī)律方法綜合法推理清晰 易于書寫 分析法從結(jié)論入手 易于尋找解題思路 在實(shí)際證明命題時(shí) 常把分析法與綜合法結(jié)合起來(lái)使用 稱為分析綜合法 其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是 根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論 得到中間結(jié)論Q 根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件 得到中間結(jié)論P(yáng) 若由P可推出Q 即可得證 證明由已知條件得b2 ac 2x a b 2y b c 只要證ay cx 2xy 只要證2ay 2cx 4xy 由 得2ay 2cx a b c c a b ab 2ac bc 4xy a b b c ab b2 ac bc ab 2ac bc 所以2ay 2cx 4xy 命題得證 1 下列表述 綜合法是由因?qū)Ч?綜合法是順推法 分析法是執(zhí)果索因法 分析法是間接證明法 分析法是逆推法 其中正確的語(yǔ)句有 個(gè) 解析 正確 1 2 3 4 4 1 2 3 4 2 設(shè)a b是兩個(gè)正實(shí)數(shù) 且a b 則下列式子一定成立的是 1 2 3 4 所以左邊 log195 2log193 3log192 log195 log1932 log1923 1 2 3 4 log19 5 32 23 log19360 因?yàn)閘og19360 log19361 2 求證 cos sin 3 cos sin 證明要證cos sin 3 cos sin 1 2 3 4 1 2 3 4 只需證1 tan 3 1 tan 1 2 3 4 1 tan 2 tan 即2tan 1 結(jié)論得證 課堂小結(jié)1 綜合法證題是從條件出發(fā) 由因?qū)Ч?分析法是從結(jié)論出發(fā) 執(zhí)果索因 2 分析法證題時(shí) 一定要恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用 要證 只需證 即證 等詞語(yǔ) 3 在實(shí)際證題過程中 分析法與綜合法是統(tǒng)一運(yùn)用的 把分析法和綜合法孤立起來(lái)運(yùn)用是脫離實(shí)際的 沒有分析就沒有 綜合 沒有綜合也沒有分析 問題僅在于 在構(gòu)建命題的證明路徑時(shí) 有時(shí)分析法居主導(dǎo)地位 綜合法伴隨著它 有時(shí)卻恰恰相反 是綜合法居主導(dǎo)地位 而分析法伴隨著它