《高中數學： 矩陣與變換 課件1（新人教A選修42）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數學： 矩陣與變換 課件1（新人教A選修42）（58頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、1選修選修4-2 “矩陣與變換矩陣與變換”全書復習全書復習232.1 二階矩陣與平面向量二階矩陣與平面向量2.2 幾種常見的平面變換幾種常見的平面變換2.3 變換的復合與矩陣的乘法變換的復合與矩陣的乘法2.4 逆矩陣與逆變換逆矩陣與逆變換2.5 特征值與特征向量特征值與特征向量2.6 矩陣的簡單應用矩陣的簡單應用 具體內容具體內容4 定位定位 低起點低起點以初中數學知識為基礎；以初中數學知識為基礎； 低維度低維度以二階矩陣為研究對象；以二階矩陣為研究對象； 形形數數以以( (幾何圖形幾何圖形) )變換研究二階矩陣。變換研究二階矩陣。 意圖意圖 在基本思想上對矩陣、變換等有一個初步了在基本思想上
2、對矩陣、變換等有一個初步了解，對進一步學習和工作打下基礎。解，對進一步學習和工作打下基礎。 5 主要數學思想主要數學思想（1 1）數學化思想；）數學化思想； （2 2）數學建模；）數學建模；（3 3）數形結合的思想；（）數形結合的思想；（4 4）算法思想。）算法思想。 重點重點 通過幾何圖形變換，學習二階矩陣的基本概通過幾何圖形變換，學習二階矩陣的基本概念、性質和思想。念、性質和思想。 難點難點 切變變換，逆變換切變變換，逆變換( (矩陣矩陣) )，特征值與特征向，特征值與特征向量。量。62.1 二階矩陣與平面向量二階矩陣與平面向量2.2 幾種常見的平面變換幾種常見的平面變換2.3 變換的復合
3、與矩陣的乘法變換的復合與矩陣的乘法2.4 逆矩陣與逆變換逆矩陣與逆變換2.5 特征值與特征向量特征值與特征向量2.6 矩陣的簡單應用矩陣的簡單應用72.1 二階矩陣與平面向量二階矩陣與平面向量2.在本章中點和向量不加區(qū)分在本章中點和向量不加區(qū)分.如如:1.1.本專題研究的矩陣是二階矩陣本專題研究的矩陣是二階矩陣, ,對高階矩陣只是要對高階矩陣只是要求學生初步了解求學生初步了解. .二階矩陣如二階矩陣如: :1001,0 0,xx yOyP x yOP uuu r既可以表示點（），也可以表示以（ ， ）為起點，以（）為終點的向量。兩行兩列兩行兩列82.1 二階矩陣與平面向量二階矩陣與平面向量3.
4、3.矩陣的概念矩陣的概念從表、網絡圖、坐標平面上的點（向從表、網絡圖、坐標平面上的點（向量）、生活實例等引出量）、生活實例等引出. . 即在大量舉例的基礎上引出矩即在大量舉例的基礎上引出矩陣的概念和表示方法陣的概念和表示方法. .如如: :某公司負責從兩個礦區(qū)向三個城市送煤：某公司負責從兩個礦區(qū)向三個城市送煤： 從甲礦區(qū)向城市從甲礦區(qū)向城市A,B,CA,B,C送煤的量分別是送煤的量分別是200200萬噸、萬噸、240240萬噸、萬噸、160160萬噸；萬噸； 從乙礦區(qū)向城市從乙礦區(qū)向城市A,B,CA,B,C送煤的量分別是送煤的量分別是400400萬噸、萬噸、360360萬噸、萬噸、820820
5、萬噸。萬噸。 200240 160400360820 城市城市A A 城市城市B B 城市城市C C甲礦區(qū)甲礦區(qū) 乙礦區(qū)乙礦區(qū) 200240 16040036082092.1 二階矩陣與平面向量二階矩陣與平面向量4.4.矩陣通常用大寫黑體字母表示矩陣通常用大寫黑體字母表示. .如如; ;矩陣矩陣A A, , 行矩陣和列行矩陣和列矩陣通常用希臘字母矩陣通常用希臘字母、等表示等表示. .5.5.兩個矩陣的行數與列數分別相等兩個矩陣的行數與列數分別相等, ,并且對應位置的并且對應位置的元素也分別相等時兩矩陣相等元素也分別相等時兩矩陣相等. .6.6.二階矩陣與列向量的乘法法則為二階矩陣與列向量的乘法
6、法則為: :0110120111221220210220 xaxayaaaayaxay102.1 二階矩陣與平面向量二階矩陣與平面向量7.7.強化學生對二階矩陣與強化學生對二階矩陣與平面列向量平面列向量乘法的幾何意義乘法的幾何意義理解理解. .使他們認識并理解矩陣是向量集合到向量集合使他們認識并理解矩陣是向量集合到向量集合的的映射映射, ,為后面學習幾種常見的幾何變換打下基礎為后面學習幾種常見的幾何變換打下基礎. .20201xxyy 表示的幾何變換為表示的幾何變換為:縱坐標不變縱坐標不變,橫坐標變?yōu)樵瓉淼臋M坐標變?yōu)樵瓉淼?倍倍.2:xxxTyyy 8.8.二元一次方程組二元一次方程組 可以表
7、示為可以表示為ax byecx dyfabxecdyf 系數矩陣系數矩陣112.2 幾種常見的平面變換幾種常見的平面變換1.1.恒等變換矩陣恒等變換矩陣( (單位矩陣單位矩陣) )為為E E: :10012.2.恒等變換恒等變換是指對平面上任何一點是指對平面上任何一點( (向量向量) )或圖形施以或圖形施以矩陣矩陣 對應的變換對應的變換, ,都把自己變?yōu)樽约憾及炎约鹤優(yōu)樽约? .10011001xxyy :xxxTyyy 122.2 幾種常見的平面變換幾種常見的平面變換3.3.伸壓變換伸壓變換矩陣是指將圖形作沿矩陣是指將圖形作沿x x軸方向伸長或壓縮軸方向伸長或壓縮, ,或沿或沿y y軸方向伸
8、長或壓縮的變換矩陣軸方向伸長或壓縮的變換矩陣. .101022xxyy :2xxxTyyy 伸壓變換不是簡單地把平面上的點伸壓變換不是簡單地把平面上的點( (向量向量) “) “向下向下”壓壓, ,而是向而是向x x軸或軸或y y軸方向壓縮軸方向壓縮. .1020,0201 132.2 幾種常見的平面變換幾種常見的平面變換4.4.反射變換反射變換矩陣是指將平面圖形變?yōu)殛P于定直線或定矩陣是指將平面圖形變?yōu)殛P于定直線或定點對稱的平面圖形的變換矩陣點對稱的平面圖形的變換矩陣. .100 1xxyy :xxxTyyy 101 0-1 00 1,0 10 -10 -11 0 142.2 幾種常見的平面變
9、換幾種常見的平面變換5.5.一般地一般地, ,二階非零矩陣對應的變換把直線變成直線二階非零矩陣對應的變換把直線變成直線. .1212()AAA這種把直線變?yōu)橹本€的變換叫做線性變換這種把直線變?yōu)橹本€的變換叫做線性變換. .或點或點152.2 幾種常見的平面變換幾種常見的平面變換6.6.旋轉變換旋轉變換矩陣是指將平面圖形圍繞原點逆時針旋轉矩陣是指將平面圖形圍繞原點逆時針旋轉的變換矩陣的變換矩陣. .其中其中稱為旋轉角稱為旋轉角, ,點點O為旋轉中心為旋轉中心. .cossincossinsin cossincosxxyxyxyy ( , )P x y( ,)P x yrrcossinxryrcos
10、()coscossinsincossinsin()sincoscossincossinxrrrxyyrrryx 162.2 幾種常見的平面變換幾種常見的平面變換cossinsin cos0 11 0 xyyx :xxyTyyx 010 1,1 0-1 0 172.2 幾種常見的平面變換幾種常見的平面變換7.7.投影變換投影變換矩陣是指將平面圖形投影到某條直線矩陣是指將平面圖形投影到某條直線( (或或某個點某個點) )上的矩陣上的矩陣, ,相應的變換為投影變換相應的變換為投影變換. .101 0 xxyx :xxxTyyx 101 00 0,1 00 01 0 7.7.投影變換投影變換矩陣是映射
11、矩陣是映射, ,但不是一一映射但不是一一映射. .182.2 幾種常見的平面變換幾種常見的平面變換8.8.切變變換切變變換矩陣是指類似于對紙牌實施的變換矩陣矩陣是指類似于對紙牌實施的變換矩陣. .,(, ):aamA a b A am bTbb 設（），則1 km,0 1bk變換矩陣為192.2 幾種常見的平面變換幾種常見的平面變換9.9.切變變換切變變換矩陣矩陣 把平面上的點把平面上的點P(x,y)沿沿x軸方軸方向平移向平移 個單位個單位. .1 k0 1ky10.10.研究平面上的多邊形或直線在矩陣的變換作用后研究平面上的多邊形或直線在矩陣的變換作用后形成的圖形時形成的圖形時, ,只需考察
12、頂只需考察頂( (端端) )點的變化結果即可點的變化結果即可. .20旋轉矩陣旋轉矩陣21222.3 變換的復合與矩陣的乘法變換的復合與矩陣的乘法1.1.矩陣乘法的法則是矩陣乘法的法則是: :111211121111122111121222212221222111222121122222 aab bababababaabbabababab2.2.矩陣乘法矩陣乘法MN的幾何意義為對向量連續(xù)實施的兩次的幾何意義為對向量連續(xù)實施的兩次幾何變換幾何變換( (先先T TN N, ,后后T TM M) )的復合變換的復合變換. .3.3.矩陣乘法矩陣乘法不滿足交換率不滿足交換率,這可能是學生第一次遇到乘這
13、可能是學生第一次遇到乘法不滿足交換率的情況法不滿足交換率的情況.此時此時,我們可以從幾何變換角我們可以從幾何變換角度進一步明確乘法一般不滿足交換率度進一步明確乘法一般不滿足交換率,在適當時候在適當時候,有有些特殊幾何變換些特殊幾何變換(如兩次連續(xù)旋轉變換如兩次連續(xù)旋轉變換)滿足交換率滿足交換率.232425262.3 變換的復合與矩陣的乘法變換的復合與矩陣的乘法4.4.要求學生從幾何變換角度理解要求學生從幾何變換角度理解AB.AB.5.5.要求學生從幾何變換角度理解矩陣乘法不滿足銷去要求學生從幾何變換角度理解矩陣乘法不滿足銷去率率. .ABACBC若，則不一定有2728cos -sincosn
14、 -sinnsin cossinn cosnn292.3 變換的復合與矩陣的乘法變換的復合與矩陣的乘法6.6.有關轉移矩陣有關轉移矩陣. .假設某市的天氣分為晴和陰兩種狀態(tài)假設某市的天氣分為晴和陰兩種狀態(tài), ,若今天晴若今天晴, ,則明則明天晴的概率為天晴的概率為 , ,陰的概率為陰的概率為 , ,若今天陰則明天晴的若今天陰則明天晴的概率為概率為 , ,陰的概率為陰的概率為 , ,這些概率可以通過觀察某市這些概率可以通過觀察某市以往幾年每天天氣的變化趨勢來確定以往幾年每天天氣的變化趨勢來確定, ,通常將用矩陣通常將用矩陣來表示的這種概率叫做轉移矩陣概率來表示的這種概率叫做轉移矩陣概率, ,對應
15、的矩陣為對應的矩陣為轉移矩陣轉移矩陣, ,而將這種以當前狀態(tài)來預測下一時段不同而將這種以當前狀態(tài)來預測下一時段不同狀態(tài)的概率模型叫做狀態(tài)的概率模型叫做馬爾可夫鏈馬爾可夫鏈, ,如果清晨天氣預報如果清晨天氣預報報告今天陰的概率為報告今天陰的概率為 , ,那么明天的天氣預報會是什那么明天的天氣預報會是什么么? ?后天呢后天呢? ?3414132312302.3 變換的復合與矩陣的乘法變換的復合與矩陣的乘法 M 晴 陰 晴= 陰今天明天31 4312 43312.3 變換的復合與矩陣的乘法變換的復合與矩陣的乘法1122121231113 13432241211124 432241124N 清晨的天氣
16、預報今天陰的概率為 ，則今天晴的概率為 ，于是今天的天氣可用來刻畫，因此明天的天氣可用來刻畫，即明天晴的概率為，陰的概率為。322.3 變換的復合與矩陣的乘法變換的復合與矩陣的乘法3116113 43288241211127 4324288161127288288后天的天氣可用來刻畫，即后天晴的概率為，陰的概率為。7. 7. 轉移矩陣每列的元素的和應該為轉移矩陣每列的元素的和應該為1,1,否則做乘法時否則做乘法時, ,容易出問題容易出問題. .332.4 逆變換與逆矩陣逆變換與逆矩陣2 2課文從課文從“走過去走過去”、“走回來走回來”的生動形象的話語中的生動形象的話語中引入了逆矩陣和逆變換這樣
17、安排讓學生在輕松氛圍中掌引入了逆矩陣和逆變換這樣安排讓學生在輕松氛圍中掌握握“找到回家的路找到回家的路”的本質是的本質是已知矩陣已知矩陣A A，能否找到一個，能否找到一個矩陣矩陣B B，使得連續(xù)進行的兩次變換的結果與恒等變換的結，使得連續(xù)進行的兩次變換的結果與恒等變換的結果相同果相同也便于學生更好的理解逆矩陣，從而為例也便于學生更好的理解逆矩陣，從而為例1 1的順的順利解決打下基礎利解決打下基礎3 3例例1 1的設計起著承上啟下的作用，所舉的幾個例子也是的設計起著承上啟下的作用，所舉的幾個例子也是學生熟知的，學生可以從幾何變換的角度借助直觀找到答學生熟知的，學生可以從幾何變換的角度借助直觀找到
18、答案所以，例案所以，例1 1的目的在于幫助學生從幾何的角度理解逆的目的在于幫助學生從幾何的角度理解逆矩陣的意義，并為后續(xù)學習積累豐富的感性認識矩陣的意義，并為后續(xù)學習積累豐富的感性認識1.1.對于二階矩陣對于二階矩陣A,B,A,B,若有若有AB=BA=EAB=BA=E, ,則稱則稱A A是可逆的是可逆的,B,B稱為稱為A A的逆矩陣的逆矩陣. .342.4 逆變換與逆矩陣逆變換與逆矩陣4 4既然有些矩陣存在逆矩陣，那么，什么樣的矩陣存在既然有些矩陣存在逆矩陣，那么，什么樣的矩陣存在逆矩陣呢？課本從映射角度給出解釋，讓抽象的問題更逆矩陣呢？課本從映射角度給出解釋，讓抽象的問題更貼近學生實際貼近學
19、生實際5 5矩陣矩陣 的行列式為的行列式為 , ,則如果則如果 則矩陣則矩陣 存在逆矩陣存在逆矩陣. . bc da bc daadbc b0c da bc da6.矩陣是否可逆的判斷矩陣是否可逆的判斷幾何解釋行列式代數解釋映射觀點 352.4 逆變換與逆矩陣逆變換與逆矩陣7.逆矩陣的求解逆矩陣的求解幾何變換方法待定系數方法公式法行列式方法 a bc d dbadbc adbccaadbc adbc8.矩陣矩陣的逆矩陣為的逆矩陣為 362.4 逆變換與逆矩陣逆變換與逆矩陣9.“先穿襪子后穿鞋先穿襪子后穿鞋”“”“先脫鞋子后脫襪子先脫鞋子后脫襪子”解決了學生解決了學生可能可能會出現(xiàn)的認知障礙學生
20、可以借助于此更好地理解公式會出現(xiàn)的認知障礙學生可以借助于此更好地理解公式（AB）-1=B-1A-1 10新教材的螺旋上升體系隨處可見，課本在本節(jié)中就通新教材的螺旋上升體系隨處可見，課本在本節(jié)中就通過證明命題過證明命題“已知已知A，B，C為二階矩陣，且為二階矩陣，且AB=AC，若矩，若矩陣陣A存在逆矩陣，則存在逆矩陣，則B=C”而既做到前后章節(jié)間的呼應，而既做到前后章節(jié)間的呼應，又要求學生會用逆矩陣的知識解釋二階矩陣的乘法何時滿又要求學生會用逆矩陣的知識解釋二階矩陣的乘法何時滿足消去率足消去率11.11.逆矩陣與二元一次方程組密切相關，用逆矩陣的知識逆矩陣與二元一次方程組密切相關，用逆矩陣的知識
21、理解二元一次方程組的求解過程是為了讓學生更好的認識理解二元一次方程組的求解過程是為了讓學生更好的認識兩者，理解它們間的相互為用、相輔相成兩者，理解它們間的相互為用、相輔相成. .372.4 逆變換與逆矩陣逆變換與逆矩陣12.382.4 逆變換與逆矩陣逆變換與逆矩陣12.AX=B X= AX= A-1-1B B 13.AXC=B X= AX= A-1-1BCBC-1-1 14.392.4 逆變換與逆矩陣逆變換與逆矩陣15.用二階矩陣和行列式研究二元一次方程組的解的情用二階矩陣和行列式研究二元一次方程組的解的情況并不比消元法優(yōu)越多少況并不比消元法優(yōu)越多少.但是但是,當方程組中的未知元很當方程組中的
22、未知元很多時多時,矩陣就變成了研究它的一個強有力的工具矩陣就變成了研究它的一個強有力的工具.402.5 特征值與特征向量特征值與特征向量1.在本節(jié)開始部分，課本安排了兩個學生熟知的伸壓變換在本節(jié)開始部分，課本安排了兩個學生熟知的伸壓變換，并給出了變換前后的圖形，其目的在于讓學生借助于感，并給出了變換前后的圖形，其目的在于讓學生借助于感性理解在矩陣的作用下某些向量的性理解在矩陣的作用下某些向量的“不變性不變性”，從而為學，從而為學生生學習特征值和特征向量打下堅實基礎學習特征值和特征向量打下堅實基礎2.3.將矩陣的特征值與特征向量概念轉換成矩陣與列向量的將矩陣的特征值與特征向量概念轉換成矩陣與列向
23、量的乘法表示來理解，其目的在于引出矩陣的特征多項式課乘法表示來理解，其目的在于引出矩陣的特征多項式課本沒有對特征多項式作展開討論，其意圖是僅僅讓學生將本沒有對特征多項式作展開討論，其意圖是僅僅讓學生將之作為一個工具之作為一個工具412.5 特征值與特征向量特征值與特征向量4.5.422.5 特征值與特征向量特征值與特征向量432.5 特征值與特征向量特征值與特征向量6.一個特征值對應著多個特征向量一個特征值對應著多個特征向量.7.有了特征值和特征向量的知識有了特征值和特征向量的知識,我們就可以方便地計算我們就可以方便地計算多次變換的結果多次變換的結果.2442.5 特征值與特征向量特征值與特征
24、向量452.5 特征值與特征向量特征值與特征向量投影變換投影變換462.6 矩陣的簡單應用矩陣的簡單應用1.只要求學生對高階矩陣有一個感性認識只要求學生對高階矩陣有一個感性認識.2.通過本節(jié)的學習通過本節(jié)的學習,讓學生了解到矩陣來源于實際生活需要讓學生了解到矩陣來源于實際生活需要.3.課本介紹了矩陣在數學領域內的應用課本介紹了矩陣在數學領域內的應用,也介紹了它在經濟也介紹了它在經濟學領域學領域、密碼學領域、生物學領域的應用、密碼學領域、生物學領域的應用.472.6 矩陣的簡單應用矩陣的簡單應用482.6 矩陣的簡單應用矩陣的簡單應用492.6 矩陣的簡單應用矩陣的簡單應用502.1 二階矩陣與
25、平面向量二階矩陣與平面向量2.2 幾種常見的平面變換幾種常見的平面變換2.3 變換的復合與矩陣的乘法變換的復合與矩陣的乘法2.4 逆矩陣與逆變換逆矩陣與逆變換2.5 特征值與特征向量特征值與特征向量2.6 矩陣的簡單應用矩陣的簡單應用 學習總結報告學習總結報告主要內容主要內容51521.本專題只對具體的二階方陣加以討論本專題只對具體的二階方陣加以討論,而不討論一般而不討論一般mn階矩陣以及階矩陣以及(aij)形式的矩陣形式的矩陣.教學建議教學建議2.矩陣的引入要從具體的實例開始矩陣的引入要從具體的實例開始,通過具體的實例讓學生通過具體的實例讓學生認識到認識到,某些幾何變換可以用矩陣表示某些幾何
26、變換可以用矩陣表示,豐富學生對矩陣幾豐富學生對矩陣幾何意義的理解何意義的理解,并引導學生用映射的觀點來認識矩陣并引導學生用映射的觀點來認識矩陣,解線解線性方程組性方程組.不提倡先講矩陣不提倡先講矩陣,后講變換后講變換.3.要求從圖形的變換直觀地理解矩陣的乘法要求從圖形的變換直觀地理解矩陣的乘法,并通過具體的并通過具體的實例讓學生理解矩陣乘法的運算率實例讓學生理解矩陣乘法的運算率.534.在新課講解過程中適當地復習映射和一一映射在新課講解過程中適當地復習映射和一一映射.教學建議教學建議5.應通過大量實例應通過大量實例,借助立體幾何圖形的三視圖來研究平面借助立體幾何圖形的三視圖來研究平面圖形的幾何
27、變換圖形的幾何變換,這樣會讓學生感到生動這樣會讓學生感到生動,單純的平面幾何單純的平面幾何變換比較抽象變換比較抽象.6.可以將伸壓變換與數學可以將伸壓變換與數學4中的三角變換結合起來中的三角變換結合起來,體現(xiàn)知體現(xiàn)知識的螺旋上升識的螺旋上升.7.注意伸壓變換和伸縮變換的異同注意伸壓變換和伸縮變換的異同.548.在證明二階非零矩陣對應的變換把直線變?yōu)橹本€在證明二階非零矩陣對應的變換把直線變?yōu)橹本€(或點或點)時時,學生可能會感到困難學生可能會感到困難,教師可以先復習定比分點的有關教師可以先復習定比分點的有關知識知識.自一部分內容不要求掌握自一部分內容不要求掌握,只要求學生能夠直觀地理只要求學生能夠
28、直觀地理解線性變換把直線變成直線解線性變換把直線變成直線(或點或點).教學建議教學建議9.切變變換從幾何上可以這樣理解切變變換從幾何上可以這樣理解:保持圖形面積大小不保持圖形面積大小不變變,而點間距離和線間角可以改變而點間距離和線間角可以改變,且點沿坐標軸運動的變且點沿坐標軸運動的變換換.這些不要求學生掌握這些不要求學生掌握,只要求學生能結合圖形只要求學生能結合圖形,用書上的用書上的方式直觀描述方式直觀描述.5510.對于矩陣乘法滿足結合率對于矩陣乘法滿足結合率,可讓學生自己動手驗證可讓學生自己動手驗證.教學建議教學建議11.行列式知識只限于二階行列式，它僅僅是作為一個工行列式知識只限于二階行
29、列式，它僅僅是作為一個工具來使用，不作為重點，不應展開討論具來使用，不作為重點，不應展開討論12.對二元一次方程組來說，用求逆矩陣的方法來解方程對二元一次方程組來說，用求逆矩陣的方法來解方程組并不簡便，這里強調的是其思想，無需做大量練習組并不簡便，這里強調的是其思想，無需做大量練習13.從具體伸壓變換引入從具體伸壓變換引入“不變性不變性”不可缺少，只有在建立感不可缺少，只有在建立感性認識后才能對學生提出更高要求，不應該從定義上形式性認識后才能對學生提出更高要求，不應該從定義上形式地理解特征值和特征向量地理解特征值和特征向量56教學建議教學建議14.14.課本介紹了特征多項式，只是將它作為求解特
30、征值的課本介紹了特征多項式，只是將它作為求解特征值的一個工具使用，不需要展開討論但是對如何得到這個公一個工具使用，不需要展開討論但是對如何得到這個公式要作出解釋，即要向學生說明為何式要作出解釋，即要向學生說明為何()0()0a xbycxd y有不全為零的解時要有不全為零的解時要D=0D=015.將直觀觀察特征值與特征向量和利用特征多項式來解特將直觀觀察特征值與特征向量和利用特征多項式來解特征值與特征向量結合起來考慮，互相驗證，這也是數學研征值與特征向量結合起來考慮，互相驗證，這也是數學研究的一種常用思路和方法，用形的直觀探索解題的道路，究的一種常用思路和方法，用形的直觀探索解題的道路，用數的嚴謹求解問題用數的嚴謹求解問題57教學建議教學建議16.網絡圖是圖論的基礎，我們可以鼓勵有興趣的學生學習網絡圖是圖論的基礎，我們可以鼓勵有興趣的學生學習選修選修4-8，在此不要展開與擴充有關知識對于例，在此不要展開與擴充有關知識對于例5，我們，我們也可以引導有興趣的學生去學習選修也可以引導有興趣的學生去學習選修4-6中的公開密鑰中的公開密鑰17.講解例講解例6種群問題時可以適當變換問題背景（例如兩個種群問題時可以適當變換問題背景（例如兩個商場間的顧客量等），通過這個變化來說明特征值和特征商場間的顧客量等），通過這個變化來說明特征值和特征向量應用的多樣性、多方位向量應用的多樣性、多方位58
高中數學： 矩陣與變換 課件1（新人教A選修42）
