黑龍江省哈爾濱市第四十一中學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 垂直于弦的直徑課件 新人教版

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1、過(guò)已知點(diǎn)過(guò)已知點(diǎn)A、B作圓，可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓作圓，可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓圓心在線段圓心在線段AB的垂直平分線上的垂直平分線上各圓心的分布有什么特點(diǎn)各圓心的分布有什么特點(diǎn)?與線段與線段AB有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？大膽猜想大膽猜想AB【知識(shí)與能力知識(shí)與能力】 理解垂徑定理并靈活運(yùn)用垂徑定理及圓理解垂徑定理并靈活運(yùn)用垂徑定理及圓的概念解決一些實(shí)際問(wèn)題的概念解決一些實(shí)際問(wèn)題 通過(guò)復(fù)合圖形的折疊方法得出猜想垂徑定通過(guò)復(fù)合圖形的折疊方法得出猜想垂徑定理，并輔以邏輯證明加予理解理，并輔以邏輯證明加予理解【過(guò)程與方法過(guò)程與方法】【情感態(tài)度與價(jià)值觀情感態(tài)度與價(jià)值觀】 培養(yǎng)通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力培養(yǎng)通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

2、的能力 滲透滲透“觀察觀察分析分析歸納歸納概括概括”的數(shù)學(xué)思想方的數(shù)學(xué)思想方法法 垂徑定理及其運(yùn)用垂徑定理及其運(yùn)用什么是軸對(duì)稱圖形？什么是軸對(duì)稱圖形？我們學(xué)過(guò)哪些軸對(duì)稱圖形？我們學(xué)過(guò)哪些軸對(duì)稱圖形？ 如果一個(gè)圖形沿一條直線如果一個(gè)圖形沿一條直線對(duì)折對(duì)折，直線兩旁的部，直線兩旁的部分能夠互相分能夠互相重合重合，那么這個(gè)圖形叫軸對(duì)稱圖形，那么這個(gè)圖形叫軸對(duì)稱圖形回回 顧顧線段線段角角等腰三角形等腰三角形矩形矩形菱形菱形等腰梯形等腰梯形正方形正方形圓圓任何一條直徑任何一條直徑所在的直線所在的直線都是它的對(duì)稱軸都是它的對(duì)稱軸圓有哪些對(duì)稱軸？圓有哪些對(duì)稱軸？OOABCDE 是軸對(duì)稱圖形是軸對(duì)稱圖形大膽猜

3、想大膽猜想已知：在已知：在 O中，中，CD是直徑，是直徑， AB是弦，是弦， CDAB，垂足為，垂足為E 下圖是軸對(duì)稱圖形嗎？下圖是軸對(duì)稱圖形嗎？已知：在已知：在 O中，中，CD是直徑，是直徑，AB是弦，是弦， CDAB，垂足為，垂足為E求證：求證：AEBE，ACBC，ADBD證明：連結(jié)證明：連結(jié)OA、OB，則，則OAOB 垂直于弦垂直于弦AB的直徑的直徑CD所在所在的直線的直線 既是等腰三角形既是等腰三角形OAB的對(duì)稱軸又的對(duì)稱軸又 是是 O的對(duì)稱軸的對(duì)稱軸 當(dāng)把圓沿著直徑當(dāng)把圓沿著直徑CD折疊時(shí)，折疊時(shí)， CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合， A點(diǎn)和點(diǎn)和B點(diǎn)重合，點(diǎn)重合， AE和和

4、BE重合，重合， AC、AD分別和分別和BC、BD重合重合 AEBE，ACBC，ADBD疊合法疊合法DOABEC 垂直垂直于弦的直徑于弦的直徑平分平分弦，并且平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧弦所對(duì)的兩條弧 知識(shí)要點(diǎn)知識(shí)要點(diǎn)DOABECAEBEACBCADBDCD是直徑，是直徑，AB是弦，是弦，CDAB直徑過(guò)圓心直徑過(guò)圓心垂直于弦垂直于弦平分弦平分弦平分弦所對(duì)的優(yōu)弧平分弦所對(duì)的優(yōu)弧平分弦所對(duì)的劣弧平分弦所對(duì)的劣弧題設(shè)題設(shè)結(jié)論結(jié)論DOABEC將題設(shè)與結(jié)論調(diào)換將題設(shè)與結(jié)論調(diào)換過(guò)來(lái)，還成立嗎？過(guò)來(lái)，還成立嗎？ 這五條進(jìn)行這五條進(jìn)行排列組合，會(huì)出排列組合，會(huì)出現(xiàn)多少個(gè)命題？現(xiàn)多少個(gè)命題？ 直徑過(guò)圓心直徑過(guò)

5、圓心 平分弦平分弦 垂直于弦垂直于弦 平分弦所對(duì)優(yōu)弧平分弦所對(duì)優(yōu)弧 平分弦所對(duì)的劣弧平分弦所對(duì)的劣弧 （1）平分弦平分弦（不是直徑）的（不是直徑）的直徑直徑垂直于弦垂直于弦，并且并且平分弦所對(duì)的兩條弧平分弦所對(duì)的兩條弧DOABEC已知：已知：CD是直徑，是直徑，AB是弦，是弦，CD平分平分AB求證：求證：CDAB，ADBD，ACBC一個(gè)圓的任意兩條直徑總是互相平分，但它們不一定互相垂直因此這里的弦如果是直徑，結(jié)論不一定成立OABMNCD注意注意為什么強(qiáng)調(diào)這里的弦為什么強(qiáng)調(diào)這里的弦不是直徑不是直徑？ 直徑過(guò)圓心直徑過(guò)圓心 平分弦所對(duì)優(yōu)弧平分弦所對(duì)優(yōu)弧 平分弦平分弦 垂直于弦垂直于弦 平分弦所對(duì)的

6、劣弧平分弦所對(duì)的劣弧 （2）平分弦所對(duì)的一條弧平分弦所對(duì)的一條弧的的直徑直徑，垂直平垂直平分弦分弦，并且，并且平分弦所對(duì)的另一條弧平分弦所對(duì)的另一條弧已知：已知：CD是直徑，是直徑，AB是弦，并且是弦，并且ACBC 求證：求證：CD平分平分AB，CD AB，ADBDDOABEC 直徑過(guò)圓心直徑過(guò)圓心 平分弦所對(duì)的劣弧平分弦所對(duì)的劣弧 平分弦平分弦 平分弦所對(duì)優(yōu)弧平分弦所對(duì)優(yōu)弧 垂直于弦垂直于弦 （2）平分弦所對(duì)的一條弧平分弦所對(duì)的一條弧的的直徑直徑，垂直平垂直平分弦分弦，并且，并且平分弦所對(duì)的另一條弧平分弦所對(duì)的另一條弧已知：已知：CD是直徑，是直徑，AB是弦，并且是弦，并且ADBD 求證：求

7、證：CD平分平分AB，CD AB，ACBCDOABEC 垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 直徑過(guò)圓心直徑過(guò)圓心 平分弦所對(duì)優(yōu)弧平分弦所對(duì)優(yōu)弧 平分弦所對(duì)的劣弧平分弦所對(duì)的劣弧 （3）弦的）弦的垂直平分垂直平分線線 經(jīng)經(jīng)過(guò)圓心過(guò)圓心，并且，并且平平分弦所對(duì)的兩條弧分弦所對(duì)的兩條弧 已知：已知：AB是弦，是弦，CD平分平分AB，CD AB，求證：求證：CD是直徑，是直徑，ADBD，ACBCDOABEC 垂直于弦垂直于弦 平分弦所對(duì)優(yōu)弧平分弦所對(duì)優(yōu)弧 直徑過(guò)圓心直徑過(guò)圓心 平分弦平分弦 平分弦所對(duì)的劣弧平分弦所對(duì)的劣弧 垂直于弦垂直于弦 平分弦所對(duì)的劣弧平分弦所對(duì)的劣弧 直徑過(guò)圓心直徑過(guò)圓心 平分弦平

8、分弦 平分弦所對(duì)優(yōu)弧平分弦所對(duì)優(yōu)弧 （4）垂直于弦垂直于弦并且并且平分弦所對(duì)的一條弧平分弦所對(duì)的一條弧的的直直徑徑過(guò)圓心過(guò)圓心，并且并且平分弦和所對(duì)的另一條弧平分弦和所對(duì)的另一條弧 平分弦平分弦 平分弦所對(duì)優(yōu)弧平分弦所對(duì)優(yōu)弧 直徑過(guò)圓心直徑過(guò)圓心 垂直于弦垂直于弦 平分弦所對(duì)的劣弧平分弦所對(duì)的劣弧 （5）平分弦平分弦并且并且平分弦所對(duì)的一條弧平分弦所對(duì)的一條弧的的直直徑徑過(guò)過(guò)圓心圓心，垂直于弦垂直于弦，并且并且平分弦所對(duì)的另一條弧平分弦所對(duì)的另一條弧 平分弦平分弦 平分弦所對(duì)的劣弧平分弦所對(duì)的劣弧 直徑過(guò)圓心直徑過(guò)圓心 垂直于弦垂直于弦 平分弦所對(duì)優(yōu)弧平分弦所對(duì)優(yōu)弧 平分弦所對(duì)優(yōu)弧平分弦所對(duì)優(yōu)

9、弧 平分弦所對(duì)的劣弧平分弦所對(duì)的劣弧 直徑過(guò)圓心直徑過(guò)圓心 垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 （6）平分弦所對(duì)的兩條弧平分弦所對(duì)的兩條弧的的直直徑徑過(guò)圓心過(guò)圓心，并且并且垂直平分弦垂直平分弦AMBM， CMDM圓的兩條圓的兩條平行弦平行弦所夾的所夾的弧相等弧相等MOABNCD證明：作直徑證明：作直徑MN垂直于弦垂直于弦AB ABCD 直徑直徑MN也垂直于弦也垂直于弦CDAMCM BMDM 即即 ACBDABCD兩條弦在圓心的同側(cè)兩條弦在圓心的同側(cè)兩條弦在圓心的兩側(cè)兩條弦在圓心的兩側(cè)垂徑定理的推論垂徑定理的推論2有這兩種情況：有這兩種情況：OOABCDCDABE已知：已知：AB求作：求作：AB的的

10、中點(diǎn)中點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)E就是所求就是所求AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)作法：作法：1 連結(jié)連結(jié)AB2 作作AB的垂直的垂直平分線平分線 CD，交，交AB于點(diǎn)于點(diǎn)EABCDE已知：已知：AB求作：求作：AB的四等分點(diǎn)的四等分點(diǎn)作法：作法：1 連結(jié)連結(jié)AB3 連結(jié)連結(jié)AC2 作作AB的垂直的垂直平分線平分線 ，交，交AB于點(diǎn)于點(diǎn)E4 作作AC的垂直的垂直平分線平分線 ，交，交AC于點(diǎn)于點(diǎn)F5 點(diǎn)點(diǎn)G同理同理點(diǎn)點(diǎn)D、C、E就是就是AB的四等分點(diǎn)的四等分點(diǎn)ABC作作AC的垂直平分線的垂直平分線作作BC的垂直平分線的垂直平分線 等分弧時(shí)一等分弧時(shí)一定要作定要作弧所夾弦弧所夾弦的垂直平分線的垂直平分線CABO你能確定你能確定AB

11、的圓心嗎？的圓心嗎？作法：作法：1 連結(jié)連結(jié)AB2 作作AB的垂直的垂直平分線平分線 ，交，交AB于點(diǎn)于點(diǎn)C3 作作AC、BC的垂直平分線的垂直平分線4 三條垂直平分三條垂直平分線交于一點(diǎn)線交于一點(diǎn)O點(diǎn)點(diǎn)O就是就是AB的圓心的圓心你你能能破破鏡鏡重重圓圓嗎？嗎？ABCmnO 作弦作弦AB、AC及它們的垂直平分線及它們的垂直平分線m、n，交于交于O點(diǎn)；以點(diǎn)；以O(shè)為圓心，為圓心，OA為半徑作圓為半徑作圓作法：作法：依據(jù)：依據(jù)： 弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧所對(duì)的兩條弧EOABDCd + h = r222)2(adrdhar有哪些等量關(guān)系？有哪些等

12、量關(guān)系？ 在在a，d，r，h中，已知其中任中，已知其中任意兩個(gè)量，可以意兩個(gè)量，可以求出其它兩個(gè)量求出其它兩個(gè)量 你知道趙州橋嗎你知道趙州橋嗎?它是它是1300多年前我國(guó)隋代建造多年前我國(guó)隋代建造的石拱橋，的石拱橋， 是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧形，它的跨度（弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)）為的主橋是圓弧形，它的跨度（弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)）為37.，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為7.2m 趙州橋主橋拱的半徑是多少？趙州橋主橋拱的半徑是多少？ 實(shí)際問(wèn)題 用用 表示主橋拱，設(shè)表示主橋拱，設(shè) 所在圓的圓心為所在圓的圓心為O，半徑為，半徑為R 經(jīng)過(guò)

13、圓心經(jīng)過(guò)圓心O 作弦作弦AB 的垂線的垂線OC，D為垂足，為垂足，OC與與AB 相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)D，根據(jù)前面的結(jié)論，根據(jù)前面的結(jié)論，D 是是AB 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，C是是 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，CD 就是拱高就是拱高ABABAB解：解：1137.418.7,22ADABAB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2BODACR解得解得 R27.9（m）在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2趙州橋的主橋拱半徑約為趙州橋的主橋拱半徑約為27.9mOA2=AD2+OD21 圓是軸對(duì)稱圖形圓是軸對(duì)稱圖形任何一條直徑任何一條直徑所在的直線所在的直線都是它

14、的對(duì)稱軸都是它的對(duì)稱軸O 垂直垂直于弦的直徑于弦的直徑平分平分弦，并且平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧弦所對(duì)的兩條弧 2 垂徑定理垂徑定理DOABEC條件條件結(jié)論結(jié)論命題命題 平分弦平分弦(不是直徑不是直徑)的直徑垂直于弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧的直徑垂直于弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧的另一條弧 弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧 垂直于弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過(guò)圓心，并且平垂直于弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過(guò)圓

15、心，并且平分弦和所對(duì)的另一條弧分弦和所對(duì)的另一條弧平分弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過(guò)圓心，垂直于弦平分弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過(guò)圓心，垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧，并且平分弦所對(duì)的另一條弧平分弦所對(duì)的兩條弧的直線經(jīng)過(guò)圓心，并且垂直平分弦平分弦所對(duì)的兩條弧的直線經(jīng)過(guò)圓心，并且垂直平分弦3垂徑定理的推論垂徑定理的推論 經(jīng)常是過(guò)圓心作弦的經(jīng)常是過(guò)圓心作弦的垂線垂線，或作，或作垂直于弦垂直于弦的直徑的直徑，連結(jié)半徑連結(jié)半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件創(chuàng)造條件4 解決有關(guān)弦的問(wèn)題解決有關(guān)弦的問(wèn)題 1 判斷：判斷： （1）垂直于弦的直線平分這條弦，并且平分弦所

16、對(duì)）垂直于弦的直線平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩弧的兩弧 （ ） （2）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑一定平分這條弦所）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑一定平分這條弦所對(duì)的另一弧對(duì)的另一弧 （ ） （3）經(jīng)過(guò)弦的中點(diǎn)的直徑一定垂直于弦）經(jīng)過(guò)弦的中點(diǎn)的直徑一定垂直于弦 （ ） （4）圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行）圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行 （ ） （5）弦的垂直平分線一定平分這條弦所對(duì)的?。┫业拇怪逼椒志€一定平分這條弦所對(duì)的弧 （ ） 2 在在 O中，弦中，弦AB的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為8cm，圓心，圓心O到到AB的距離為的距離為3cm，求，求 O的半徑的半徑OABE解：解：OEABRtAOE在中2

17、22AOOEAE2222= 3 +4 =5cmAOOEAE答：答： O的半徑為的半徑為5cm118422AEAB 3 在在 O中，中，AB、AC為互相垂直且相等為互相垂直且相等的兩條弦，的兩條弦，ODAB于于D，OEAC于于E， 求證：四邊形求證：四邊形ADOE是正方形是正方形DOABCE證明：證明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四邊形四邊形ADOE為矩形，為矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB， AE=AD 四邊形四邊形ADOE為正方形為正方形 4 在直徑是在直徑是20cm的的 O中，中， 的度數(shù)的度數(shù)是是60，那么弦，那么弦AB的弦心距是的弦心距

18、是_AB D A B O5 3cm 5 弓形的弦長(zhǎng)為弓形的弦長(zhǎng)為6cm，弓形的高為，弓形的高為2cm，則這弓形所在的圓的半徑為則這弓形所在的圓的半徑為_ D C A B Ocm134 6 已知已知P為為 O內(nèi)一點(diǎn)，且內(nèi)一點(diǎn)，且OP2cm，如果如果 O的半徑是的半徑是3cm，那么過(guò)，那么過(guò)P點(diǎn)的最短點(diǎn)的最短的弦等于的弦等于_ E D C B A P O2 5cm 7 一條公路的轉(zhuǎn)變處是一段圓?。磮D中弧一條公路的轉(zhuǎn)變處是一段圓弧（即圖中弧CD，點(diǎn)點(diǎn)O是弧是弧CD的圓心），其中的圓心），其中CD=600m，E為弧為弧CD上上的一點(diǎn)，且的一點(diǎn)，且OECD垂足為垂足為F，EF=90m求這段彎求這段彎路

19、的半徑路的半徑解解:連接連接OCOCDEF.)90(,mROFRm則設(shè)彎路的半徑為,CDOE ).(3006002121mCDCF得根據(jù)勾股定理,即,222OFCFOC.90300222RR.545,R得解這個(gè)方程.545m這段彎路的半徑約為 8 已知在已知在 O中，弦中，弦AB的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為8cm，圓心，圓心O到到AB的距的距離為離為3cm，求，求 O的半徑的半徑解：連結(jié)解：連結(jié)OA過(guò)過(guò)O作作OEAB，垂足為，垂足為E， 則則OE3cm，AEBE AB8cm AE4cm 在在RtAOE中，根據(jù)勾股定理有中，根據(jù)勾股定理有OA5cm O的半徑為的半徑為5cmAEBO 9 在以在以O(shè)為圓心的兩個(gè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦同心圓中，大圓的弦AB交小圓交小圓于于C，D兩點(diǎn)兩點(diǎn) 求證：求證：ACBD證明：過(guò)證明：過(guò)O作作OEAB，垂足為，垂足為E， 則則AEBE，CEDE AECEBEDE 所以，所以，ACBDEACDBO10 已知：已知： O中弦中弦ABCD 求證：求證：ACBD證明：作直徑證明：作直徑MNAB ABCD， MNCD 則則AMBM，CMDM AMCMBMDM ACBD MCDABON