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1、本資料來(lái)源2012屆高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)
函數(shù)圖象與圖象變換
函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一,它是研究和記憶函數(shù)性質(zhì)的直觀工具,利用它的直觀性解題,可以起到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的作用.因此,考生要掌握繪制函數(shù)圖象的一般方法,掌握函數(shù)圖象變化的一般規(guī)律,能利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì).
●難點(diǎn)磁場(chǎng)
(★★★★★)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖,求b的范圍.
●案例探究
[例1]對(duì)函數(shù)y=f(x)定義域中任一個(gè)x的值均有f(x+a)=f(a-x),(1)求證y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱;(2)若函數(shù)f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都有f(x+2)=f(2-x),且
2、方程f(x)=0恰好有四個(gè)不同實(shí)根,求這些實(shí)根之和.
命題意圖:本題考查函數(shù)概念、圖象對(duì)稱問(wèn)題以及求根問(wèn)題.屬★★★★★級(jí)題目.
知識(shí)依托:把證明圖象對(duì)稱問(wèn)題轉(zhuǎn)化到點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題.
錯(cuò)解分析:找不到問(wèn)題的突破口,對(duì)條件不能進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
技巧與方法:數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化.
(1)證明:設(shè)(x0,y0)是函數(shù)y=f(x)圖象上任一點(diǎn),則y0=f(x0),又f(a+x)=f(a-x),∴f(2a-x0)=
f[a+(a-x0)]=f[a-(a-x0)]=f(x0)=y0,∴(2a-x0,y0)也在函數(shù)的圖象上,而=a,∴點(diǎn)(x0,y0)與(2a-x0,y0)關(guān)于直線x=a對(duì)稱,故y=f(x
3、)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.
(2)解:由f(2+x)=f(2-x)得y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,若x0是f(x)=0的根,則4-x0也是f(x)=0的根,由對(duì)稱性,f(x)=0的四根之和為8.
[例2]如圖,點(diǎn)A、B、C都在函數(shù)y=的圖象上,它們的橫坐標(biāo)分別是a、a+1、a+2.又A、B、C在x軸上的射影分別是A′、B′、C′,記△AB′C的面積為f(a),△A′BC′的面積為g(a).
(1)求函數(shù)f(a)和g(a)的表達(dá)式;
(2)比較f(a)與g(a)的大小,并證明你的結(jié)論.
命題意圖:本題考查函數(shù)的解析式、函數(shù)圖象、識(shí)圖能力、圖形的組合等.屬★★★★★級(jí)題目.
4、
知識(shí)依托:充分借助圖象信息,利用面積問(wèn)題的拆拼以及等價(jià)變形找到問(wèn)題的突破口.
錯(cuò)解分析:圖形面積不會(huì)拆拼.
技巧與方法:數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化.
解:(1)連結(jié)AA′、BB′、CC′,則f(a)=S△AB′C=S梯形AA′C′C-S△AA′B′-S△CC′B
=(A′A+C′C)=(),
g(a)=S△A′BC′=A′C′·B′B=B′B=.
∴f(a)
5、.題型多以選擇與填空為主,屬于必考內(nèi)容之一,但近年來(lái),在大題中也有出現(xiàn),須引起重視.
●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練
一、選擇題
1.(★★★★)當(dāng)a≠0時(shí),y=ax+b和y=bax的圖象只可能是( )
2.(★★★★)某學(xué)生離家去學(xué)校,由于怕遲到,所以一開始就跑步,等跑累了,再走余下的路,下圖中y軸表示離學(xué)校的距離,x軸表示出發(fā)后的時(shí)間,則適合題意的圖形是( )
二、填空題
3.(★★★★★)已知函數(shù)f(x)=log2(x+1),將y=f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位,再將圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變),得到函數(shù)y=g(x)的圖象,則函數(shù)F(x)=f(x)-
6、g(x)的最大值為_________.
三、解答題
4.(★★★★)如圖,在函數(shù)y=lgx的圖象上有A、B、C三點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)分別為m,m+2,m+4(m>1).
(1)若△ABC面積為S,求S=f(m);
(2)判斷S=f(m)的增減性.
5.(★★★★)如圖,函數(shù)y=|x|在x∈[-1,1]的圖象上有兩點(diǎn)A、B,AB∥Ox軸,點(diǎn)M(1,m)(m∈R且m>)是△ABC的BC邊的中點(diǎn).
(1)寫出用B點(diǎn)橫坐標(biāo)t表示△ABC面積S的函數(shù)解析式S=f(t);
(2)求函數(shù)S=f(t)的最大值,并求出相應(yīng)的C點(diǎn)坐標(biāo).
6.(★★★★★)已知函數(shù)f(x)是y=-1(x∈R)的反函
7、數(shù),函數(shù)g(x)的圖象與函數(shù)y=-的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,設(shè)F(x)=f(x)+g(x).
(1)求函數(shù)F(x)的解析式及定義域;
(2)試問(wèn)在函數(shù)F(x)的圖象上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B,使直線AB恰好與y軸垂直?若存在,求出A、B的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
7.(★★★★★)已知函數(shù)f1(x)=,f2(x)=x+2,
(1)設(shè)y=f(x)=,試畫出y=f(x)的圖象并求y=f(x)的曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積;
(2)若方程f1(x+a)=f2(x)有兩個(gè)不等的實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的范圍.
(3)若f1(x)>f2(x-b)的解集為[-1,],求b的值.
8.(★★★★★
8、)設(shè)函數(shù)f(x)=x+的圖象為C1,C1關(guān)于點(diǎn)A(2,1)對(duì)稱的圖象為C2,C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x).
(1)求g(x)的解析表達(dá)式;
(2)若直線y=b與C2只有一個(gè)交點(diǎn),求b的值,并求出交點(diǎn)坐標(biāo);
(3)解不等式logag(x)
9、1)(x-2)=ax3-3ax2+2ax,∴b=
-3a,∵a>0,∴b<0.
殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練
一、1.解析:∵y=bax=(ba)x,∴這是以ba為底的指數(shù)函數(shù).仔細(xì)觀察題目中的直線方程可知:在選擇支B中a>0,b>1,∴ba>1,C中a<0,b>1,∴0<ba<1,D中a<0,0<b<1,∴ba>1.故選擇支B、C、D均與指數(shù)函數(shù)y=(ba)x的圖象不符合.
答案:A
2.解析:由題意可知,當(dāng)x=0時(shí),y最大,所以排除A、C.又一開始跑步,所以直線隨著x的增大而急劇下降.
答案:D
二、3.解析:g(x)=2log2(x+2)(x>-2)
F(x)=f(x)-g(x)=l
10、og2(x+1)-2log2(x+2)
=log2
∵x+1>0,∴F(x)≤=-2
當(dāng)且僅當(dāng)x+1= ,即x=0時(shí)取等號(hào).
∴F(x)max=F(0)=-2.
答案:-2
三、4.解:(1)S△ABC=S梯形AA′B′B+S梯形BB′C′C-S梯形AA′C′C.
(2)S=f(m)為減函數(shù).
5.解:(1)依題意,設(shè)B(t, t),A(-t, t)(t>0),C(x0,y0).
∵M(jìn)是BC的中點(diǎn).∴=1, =m.
∴x0=2-t,y0=2m-t.在△ABC中,|AB|=2t,AB邊上的高h(yuǎn)AB=y0-t=2m-3t.
∴S=|AB|·hAB= ·2t·(2m-3t)
11、,即f(t)=-3t2+2mt,t∈(0,1).
(2)∵S=-3t2+2mt=-3(t-)2+,t∈(0,1,若,即<m≤3,當(dāng)t=時(shí),Smax=,相應(yīng)的C點(diǎn)坐標(biāo)是(2-, m),若>1,即m>3.S=f(t)在區(qū)間(0,1]上是增函數(shù),∴Smax=f(1)=2m-3,相應(yīng)的C點(diǎn)坐標(biāo)是(1,2m-3).
6.解:(1)y=-1的反函數(shù)為f(x)=lg(-1<x<1.
由已知得g(x)=,∴F(x)=lg+,定義域?yàn)?-1,1).
(2)用定義可證明函數(shù)u==-1+是(-1,1)上的減函數(shù),且y=lgu是增函數(shù).∴f(x)是(-1,1)上的減函數(shù),故不存在符合條件的點(diǎn)A、B.
7.解:(1)y=f(x)=.圖略.
y=f(x)的曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積為(2+)π.
(2)當(dāng)f1(x+a)=f2(x)有兩個(gè)不等實(shí)根時(shí),a的取值范圍為2-<a≤1.
(3)若f1(x)>f2(x-b)的解集為[-1,],則可解得b=.
8.(1)g(x)=x-2+.(2)b=4時(shí),交點(diǎn)為(5,4);b=0時(shí),交點(diǎn)為(3,0).
(3)不等式的解集為{x|4<x<或x>6.