2018高中數(shù)學 第1章 立體幾何初步 第二節(jié) 點、直線、面的位置關(guān)系12 面面垂直的性質(zhì)學案 蘇教版必修2.doc
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面面垂直的性質(zhì) 一、考點突破 知識點 課標要求 題型 說明 面面垂直的性質(zhì) 1. 理解面面垂直性質(zhì)定理的含義; 2. 能運用性質(zhì)定理證明相關(guān)問題; 3. 理解并掌握空間“平行”與“垂直”之間的相互轉(zhuǎn)化。 選擇題 填空題 解答題 垂直關(guān)系是高考的重點內(nèi)容,同學們要多練習多思考,認真掌握。 其中二面角的平面角是難點。 二、重難點提示 重點:平面和平面垂直的性質(zhì)定理及二面角的平面角問題。 難點:平面和平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用及二面角的平面角問題 考點一:平面與平面垂直的性質(zhì) 1. 平面與平面垂直的性質(zhì)定理 文字語言 如果兩個平面互相垂直,那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。 符號語言 α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a⊥β 圖形語言 簡記為:面面垂直?線面垂直 2 .平面與平面垂直的其他性質(zhì) (1)如果兩個平面垂直,那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi)。其圖形語言和符號語言如下: (2)如果兩個平面垂直,那么與其中一個平面平行的平面垂直于另一個平面, 即∥ (3)如果兩個相交平面都垂直于第三個平面,那么它們的交線垂直于第三個平面,即 (4)三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直,即 考點二:二面角的求法 【規(guī)律總結(jié)】 作二面角的一般方法 (1)定義法:在二面角的棱上找一個特殊點,在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線,如圖①,則∠AOB為二面角α-l-β的平面角。 由定義法作出二面角的平面角,若已知二面角的兩個面是特殊的三角形(如以棱為公共邊的兩個等腰三角形),這時可以選取棱上的特殊點,如公共底邊的中點或公共底邊上高的垂足,從特殊點出發(fā)根據(jù)定義作出二面角的平面角。 (2)垂面法:過棱上一點作棱的垂直平面,該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線,這兩條交線所成的角,即為二面角的平面角,如圖②,∠AOB為二面角α-l-β的平面角。 (3)線面垂直法:過二面角的一個面內(nèi)異于棱上的A點向另一個平面作垂線,垂足為B,由點B向二面角的棱作垂線,垂足為O,連接AO,則∠AOB為二面角的平面角或其補角,如圖③,∠AOB為二面角α-l-β的平面角,這種方法是求二面角大小最常用的方法。 (4)射影面積法 設(shè)二面角為,過作于點,過作于點,連接,則是二面角的平面角,于是。 【要點詮釋】 對于特殊圖形,不易作出二面角的平面角時,可用上述公式計算。 【規(guī)律總結(jié)】 求二面角同求異面直線所成的角及斜線與平面所成的角一樣,步驟如下: 簡稱為“一作二證三算四答”。 例題1 (平面與平面垂直的性質(zhì)定理在立體幾何證明題中的應(yīng)用) (洛陽)如圖,P是△ABC所在平面外的一點,且PA⊥平面ABC,平面PAC⊥平面PBC,求證:BC⊥AC。 思路分析: 答案:證明:過A作AE⊥PC于點E,由平面PAC⊥平面PBC,且平面PAC∩平面PBC=PC,可知AE⊥平面PBC, 又BC?平面PBC,故AE⊥BC, 又PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,故PA⊥BC, ∵PA∩AE=A,∴BC⊥平面PAC, 又AC?平面PAC,故BC⊥AC。 技巧點撥: 1. 在運用面面垂直的性質(zhì)定理時,若沒有與交線垂直的直線,一般需作輔助線,基本作法是過其中一個平面內(nèi)一點作交線的垂線,這樣便把面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直問題,進而轉(zhuǎn)化為線線垂直問題。 2. 利用面面垂直的性質(zhì)定理,證明線面垂直的問題時,要注意以下三點:(1)兩個平面垂直;(2)直線必須在其中一個平面內(nèi);(3)直線必須垂直于它們的交線。 例題2 (求二面角)如圖,四棱錐P-ABCD是底面邊長為1的正方形,PD⊥BC,PD=1,PC=。 (1)求證:PD⊥面ABCD; (2)求二面角A-PB-D的大小。 思路分析:(1) 利用線面垂直的判定定理;(2) 利用線面垂直法找出二面角的平面角,在三角形中計算角的大小。 答案:(1)證明:∵PD=DC=1,PC=, ∴△PDC是直角三角形,即PD⊥CD, 又∵PD⊥BC,BC∩CD=C, ∴PD⊥面ABCD; (2)解:連接BD,設(shè)BD交AC于點O,過O作OE⊥PB于點E,連接AE, ∵PD⊥面ABCD,∴AO⊥PD, 又∵AO⊥BD,∴AO⊥面PDB, ∴AO⊥PB, 又∵OE⊥PB,OE∩AO=O, ∴PB⊥平面AEO,從而PB⊥EO, 故∠AEO就是二面角A-PB-D的平面角, ∵PD⊥面ABCD,∴PD⊥BD, ∴在Rt△PDB中,PB==, 又∵,∴OE=, ∴tan∠AEO==,∴∠AEO=60, 故二面角A-PB-D的大小為60。 技巧點撥: 用線面垂直法作出二面角是最常用的找平面角的方法,關(guān)鍵是找到線面垂直關(guān)系。 垂面法求二面角的平面角 【滿分訓(xùn)練】如果二面角α-l-β的平面角是銳角,點P到α,β和棱l的距離分別為2、4和4,求二面角的大小。 思路分析:點P可能在二面角α-l-β內(nèi)部,也可能在外部,應(yīng)分別處理。 答案:如圖(1)是點P在二面角α-l-β的內(nèi)部的情況。圖(2)是點P在二面角α-l-β的外部的情況。 ∵PA⊥α,∴PA⊥l, ∵AC⊥l,∴l(xiāng)⊥平面PAC, 同理,l⊥平面PBC,而平面PAC∩平面PBC=PC, ∴平面PAC與平面PBC應(yīng)重合, 即A、C、B、P在同一平面內(nèi),則∠ACB是二面角α-l-β的平面角, 在Rt△APC中,sin∠ACP=, ∴∠ACP=30, 在Rt△BPC中,sin∠BCP=, ∴∠BCP=45, 故∠ACB=30+45=75或∠ACB=45-30=15。 即二面角α-l-β的大小為75或15。 技巧點撥: 本題主要考查求二面角的另一種方法“垂面法”,所謂“垂面法”即過棱上一點作棱的垂直平面,該平面與二面角的兩個半平面相交產(chǎn)生兩條射線,這兩條射線所成的角即為二面角的平面角。- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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