2018-2019學年高中數(shù)學 第二講 參數(shù)方程 一 曲線的參數(shù)方程 3 參數(shù)方程和普通方程的互化講義(含解析)新人教A版選修4-4.doc
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3.參數(shù)方程和普通方程的互化 參數(shù)方程和普通方程的互化 (1)將曲線的參數(shù)方程化為普通方程,有利于識別曲線類型,曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式,一般地,可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程. (2)在參數(shù)方程與普通方程的互化中,必須使x,y的取值范圍保持一致. 把曲線的普通方程化為參數(shù)方程 [例1] 根據(jù)所給條件,把曲線的普通方程化為參數(shù)方程. (1)+=1,x=cos θ+1,(θ為參數(shù)); (2)x2-y+x-1=0,x=t+1,(t為參數(shù)). [解] (1)將x=cos θ+1代入+=1,得y=2+sin θ. ∴(θ為參數(shù)). 這就是所求的參數(shù)方程. (2)將x=t+1代入x2-y+x-1=0, 得y=x2+x-1=(t+1)2+t+1-1=t2+3t+1, ∴(t為參數(shù)). 這就是所求的參數(shù)方程. 普通方程化為參數(shù)方程時的注意點 (1)選取參數(shù)后,要特別注意參數(shù)的取值范圍,它將決定參數(shù)方程是否與普通方程等價. (2)參數(shù)的選取不同,得到的參數(shù)方程是不同的.如本例(2),若令x=tan θ(θ為參數(shù)),則參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). 1.如圖,以過原點的直線的傾斜角θ為參數(shù),則圓x2+y2-x=0的參數(shù)方程為______________. 解析:由題意得圓的方程為2+y2=,圓心在x軸上,半徑為, 則該圓的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),注意α為圓心角,θ為圓弧所對的圓周角,則有α=2θ,故即(θ為參數(shù)). 答案:(θ為參數(shù)) 將參數(shù)方程化為普通方程 [例2] 將下列參數(shù)方程化為普通方程: (1)(t為參數(shù)); (2)(θ為參數(shù)). [思路點撥] (1)可采用代入法,由x=1-解出,代入y的表達式; (2)采用三角恒等變換求解. [解] (1)由x=1-得 =1-x,將其代入y=1+2得y=3-2x.因為≥0,所以x=1-≤1, 所以參數(shù)方程化為普通方程為y=3-2x(x≤1). 方程表示的是以(1,1)為端點的一條射線(包括端點). (2)由得, ①2+②2得+=1(-5≤x≤5,-5≤y≤3). 將參數(shù)方程化為普通方程的三種方法 (1)利用解方程的技巧求出參數(shù)的表示式,然后代入消去參數(shù); (2)利用三角恒等式消去參數(shù); (3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征,選用一些靈活的方法從整體上消去參數(shù). 將參數(shù)方程化為普通方程時,要注意防止變量x和y取值范圍的擴大或縮小,必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍,確定函數(shù)f(t)和g(t)的值域,即x和y的取值范圍. 2.參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程為( ) A.x2+y2=1 B.x2+y2=1去掉(0,1)點 C.x2+y2=1去掉(1,0)點 D.x2+y2=1去掉(-1,0)點 解析:選D 結(jié)合題意,x2+y2=2+2=1,x==-1+≠-1,故選D. 3.已知曲線的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),則曲線的普通方程為( ) A.y2=1+x B.y2=1-x C.y2=1-x(-≤y≤) D.以上都不對 解析:選C 因為y=cos θ-sin θ=cos,所以y∈[-, ],由y2=1-2sin θcos θ=1-sin 2θ,得y2=1-x,y∈[-, ],故選C. 一、選擇題 1.將參數(shù)方程(θ為參數(shù))化為普通方程為( ) A.y=x-2 B.y=x+2 C.y=x-2(2≤x≤3) D.y=x+2(0≤y≤1) 解析:選C 方程可化為y=x-2,x∈[2,3],y∈[0,1],故選C. 2.參數(shù)方程(θ為參數(shù))表示的曲線是( ) A.直線 B.圓 C.線段 D.射線 解析:選C x=cos2θ∈[0,1],y=sin2θ∈[0,1], ∴x+y=1(x∈[0,1])為線段. 3.曲線(θ為參數(shù))的對稱中心( ) A.在直線y=2x上 B.在直線y=-2x上 C.在直線y=x-1上 D.在直線y=x+1上 解析:選B 將(θ為參數(shù))化為普通方程為(x+1)2+(y-2)2=1,其表示以(-1,2)為圓心,1為半徑的圓,其對稱中心即圓心,顯然(-1,2)在直線y=-2x上,故選B. 4.已知曲線C:(t為參數(shù)),A(-1,0),B(1,0),若曲線C上存在點P滿足AP―→BP―→=0,則實數(shù)a的取值范圍為( ) A. B.[-1,1] C.[-,] D.[-2,2] 解析:選C 設(shè)P(x,y),∵A(-1,0),B(1,0),點P滿足AP―→BP―→=0, ∴P的軌跡方程是x2+y2=1,表示圓心為(0,0),半徑為1的圓.曲線C:(t為參數(shù))化成普通方程為x-y+a=0,由題意知,圓心(0,0)到直線x-y+a=0的距離d=≤1,∴-≤a≤. 二、填空題 5.x2+y2+2x-4y+1=0化為參數(shù)方程為________. 解析:x2+y2+2x-4y+1=0化成標準方程是(x+1)2+(y-2)2=4,表示圓心為(-1,2),半徑為2的圓, 故參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). 答案:(θ為參數(shù)) 6.直線(t為參數(shù))與曲線(α為參數(shù))的交點個數(shù)為________. 解析:(t為參數(shù))化為普通方程為x+y=1,(α為參數(shù))化為普通方程為x2+y2=9,表示以(0,0)為圓心,3為半徑的圓.圓心(0,0)到直線的距離為=,小于半徑3,所以直線與圓相交.因此,交點的個數(shù)為2. 答案:2 7.已知曲線C的極坐標方程為ρ=2cos θ.以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系,則曲線C的參數(shù)方程為________________. 解析:曲線C的直角坐標方程是(x-1)2+y2=1, 其參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). 答案:(θ為參數(shù)) 三、解答題 8.把下列參數(shù)方程化為普通方程,并說明它們各表示什么曲線. (1)(t為參數(shù),t≥0); (2)(π≤t≤2π). 解:(1)由②得t=y(tǒng)-1,又t≥0,所以y≥1.所以x=-4(y-1)2(y≥1),即(y-1)2=-x(y≥1). 方程表示的是頂點為(0,1),對稱軸平行于x軸,開口向左的拋物線的一部分. (2)由得+=1. ∵π≤t≤2π,∴-2≤x≤2,-3≤y≤0. ∴所求方程為+=1(-3≤y≤0), 它表示半個橢圓. 9.如圖所示,經(jīng)過圓x2+y2=4上任一點P作x軸的垂線,垂足為Q,求線段PQ中點軌跡的普通方程. 解:圓x2+y2=4的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). 在此圓上任取一點P(2cos θ,2sin θ), 則PQ的中點為M(2cos θ,sin θ), 所以PQ中點軌跡的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),化成普通方程+y2=1. 10.已知曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),曲線C2的極坐標方程為ρ=2cos θ+6sin θ. (1)將曲線C1的參數(shù)方程化為普通方程,將曲線C2的極坐標方程化為直角坐標方程; (2)曲線C1,C2是否相交?若相交,請求出公共弦的長;若不相交,請說明理由. 解:(1)由(θ為參數(shù))得(x+2)2+y2=10,∴曲線C1的普通方程為(x+2)2+y2=10. ∵ρ=2cos θ+6sin θ, ∴ρ2=2ρcos θ+6ρsin θ, ∴x2+y2=2x+6y,即(x-1)2+(y-3)2=10. ∴曲線C2的直角坐標方程為(x-1)2+(y-3)2=10. (2)∵圓C1的圓心為(-2,0),圓C2的圓心為(1,3), ∴|C1C2|==3<2, ∴兩圓相交.設(shè)相交弦長為d,∵兩圓半徑相等,∴公共弦平分線段C1C2,∴2+2=()2,解得d=,∴公共弦長為.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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