2019年高考數(shù)學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題08 函數(shù)與方程——零點問題面面觀.doc
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專題08 函數(shù)與方程----零點問題面面觀 【熱點聚焦與擴展】 函數(shù)方程思想是一種重要的數(shù)學思想方法,函數(shù)問題可以利用方程求解,方程解的情況可借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.高考命題常常以基本初等函數(shù)為載體,主要考查以下三個方面:(1)零點所在區(qū)間——零點存在性定理;(2)二次方程根分布問題;(3)判斷根的個數(shù)問題;(4)根據(jù)方程解的情況確定求參數(shù)的值或范圍.上述情形除(1)簡單,其它往往與分段函數(shù)結(jié)合或與導數(shù)的應用結(jié)合,難度往往較大. 一、基礎(chǔ)知識: 1、零點的定義:一般地,對于函數(shù),我們把方程的實數(shù)根稱為函數(shù)的零點 2、函數(shù)零點存在性定理:設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),且,那么在開區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個零點,即至少有一點,使得. (1)在上連續(xù)是使用零點存在性定理判定零點的前提 (2)零點存在性定理中的幾個“不一定”(假設(shè)連續(xù)) ① 若,則的零點不一定只有一個,可以有多個 ② 若,那么在不一定有零點 ③ 若在有零點,則不一定必須異號 3、若在上是單調(diào)函數(shù)且連續(xù),則在的零點唯一. 4、函數(shù)的零點,方程的根,兩圖象交點之間的聯(lián)系 (1)函數(shù)的零點:有“零點存在性定理”作為理論基礎(chǔ),可通過區(qū)間端點值的符號和函數(shù)的單調(diào)性確定是否存在零點. (2)方程:方程的特點在于能夠進行靈活的變形,從而可將等號兩邊的表達式分別構(gòu)造為兩個可分析的函數(shù),為作圖做好鋪墊. (3)圖象的交點:通過作圖可直觀的觀察到交點的個數(shù),并能初步判斷交點所在區(qū)間. 三者轉(zhuǎn)化:函數(shù)的零點方程的根方程的根函數(shù)與的交點. 二、零點存在與判斷方法、技巧: 1、零點存在性定理的應用:若一個方程有解但無法直接求出時,可考慮將方程一邊構(gòu)造為一個函數(shù),從而利用零點存在性定理將零點確定在一個較小的范圍內(nèi)。例如:對于方程,無法直接求出根,構(gòu)造函數(shù),由即可判定其零點必在中 2、函數(shù)的零點,方程的根,兩函數(shù)的交點在零點問題中的作用 (1)函數(shù)的零點: 工具:零點存在性定理 作用:通過代入特殊值精確計算,將零點圈定在一個較小的范圍內(nèi)。 缺點:方法單一,只能判定零點存在而無法判斷個數(shù),且能否得到結(jié)論與代入的特殊值有關(guān) (2)方程的根: 工具:方程的等價變形 作用:當所給函數(shù)不易于分析性質(zhì)和圖象時,可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程,從而利用等式的性質(zhì)可對方程進行變形,構(gòu)造出便于分析的函數(shù) 缺點:能夠直接求解的方程種類較少,很多轉(zhuǎn)化后的方程無法用傳統(tǒng)方法求出根,也無法判斷根的個數(shù) (3)兩函數(shù)的交點: 工具:數(shù)形結(jié)合 作用:前兩個主要是代數(shù)運算與變形,而將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點,是將抽象的代數(shù)運算轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形特征,是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)。通過圖象可清楚的數(shù)出交點的個數(shù)(即零點,根的個數(shù))或者確定參數(shù)的取值范圍。 缺點:數(shù)形結(jié)合能否解題,一方面受制于利用方程所構(gòu)造的函數(shù)(故當方程含參時,通常進行參變分離,其目的在于若含的函數(shù)可作出圖象,那么因為另外一個只含參數(shù)的圖象為直線,所以便于觀察),另一方面取決于作圖的精確度,所以會涉及到一個構(gòu)造函數(shù)的技巧,以及作圖時速度與精度的平衡.(作3、函數(shù)單調(diào)性對零點個數(shù)的影響:如果一個連續(xù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù),那么它的零點至多有一個.因此分析一個函數(shù)零點的個數(shù)前,可嘗試判斷函數(shù)是否單調(diào). 4、幾個“不一定”與“一定”(假設(shè)在區(qū)間連續(xù)) (1)若,則“一定”存在零點,但“不一定”只有一個零點.要分析的性質(zhì)與圖象,如果單調(diào),則“一定”只有一個零點 (2)若,則“不一定”存在零點,也“不一定”沒有零點。如果單調(diào),那么“一定”沒有零點 (3)如果在區(qū)間中存在零點,則的符號是“不確定”的,受函數(shù)性質(zhì)與圖象影響。如果單調(diào),則一定小于0 5、零點與單調(diào)性配合可確定函數(shù)的符號:是一個在單增連續(xù)函數(shù),是的零點,且,則時,;時,. 三、函數(shù)零點的性質(zhì)及應用 1、此類問題的處理步驟: (1)作圖:可將零點問題轉(zhuǎn)化成方程,進而通過構(gòu)造函數(shù)將方程轉(zhuǎn)化為兩個圖象交點問題,并作出函數(shù)圖象 (2)確定變量范圍:通過圖象與交點位置確定參數(shù)和零點的取值范圍 (3)觀察交點的特點(比如對稱性等)并選擇合適的方法處理表達式的值, 2.常見處理方法: (1)代換法:將相等的函數(shù)值設(shè)為,從而用可表示出,將關(guān)于的表達式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元表達式,進而可求出范圍或最值 (2)利用對稱性解決對稱點求和:如果關(guān)于軸對稱,則;同理,若關(guān)于中心對稱,則也有。將對稱的點歸為一組,在求和時可與對稱軸(或?qū)ΨQ中心)找到聯(lián)系 【經(jīng)典例題】 例1 【2018屆北京市十一學校高三3月零?!恳阎瘮?shù)那么在下列區(qū)間中含有函數(shù)零點的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】,所以 函數(shù)f(x)在區(qū)間必有零點,選B. 例2.設(shè)函數(shù),若實數(shù)分別是的零點,則( ) A. B. C. D. 【答案】A 【名師點睛】利用零點存在性定理求解三步曲是:①先移項使方程右邊為零,再令方程左邊為函數(shù);②求區(qū)間兩端點的函數(shù)值;③若函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)且,則方程在該區(qū)間內(nèi)必有根. 例3【2018屆福建省永春一中、培元、季延、石光中學四校高三上第二次聯(lián)考】定義在上的函數(shù)滿足,且時, ; 時, . 令,則函數(shù)的零點個數(shù)為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵x∈[0,1]時,f(x)=4x, ∴f(1)=4 ∴x∈(1,2)時,f(x)==, ∵g(x)=2f(x)﹣x﹣4,x∈[﹣6,2], 令g(x)=2f(x)﹣x﹣4=0, ∴y=f(x)在x∈[﹣6,2],y=x+2有8個交點, 故函數(shù)g(x)的零點個數(shù)為8個. 故選:B. 【名師點睛】函數(shù)零點的求解與判斷 (1)直接求零點:令,如果能求出解,則有幾個解就有幾個零點; (2)零點存在性定理:利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線,且,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點; (3)利用圖象交點的個數(shù):將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差,畫兩個函數(shù)的圖象,看其交點的橫坐標有幾個不同的值,就有幾個不同的零點. 例4.已知函數(shù)的圖像為上的一條連續(xù)不斷的曲線,當時,,則關(guān)于的函數(shù)的零點的個數(shù)為( ) A.0 B.1 C.2 D.0或2 【答案】A 【名師點睛】(1)本題由于解析式未知,故無法利用圖像解決,所以根據(jù)條件考慮構(gòu)造函數(shù),利用單調(diào)性與零點存在性定理進行解決。 (2)所給不等式呈現(xiàn)出輪流求導的特點,猜想可能是符合導數(shù)的乘法法則,變形后可得,而的零點問題可利用方程進行變形,從而與條件中的相聯(lián)系,從而構(gòu)造出. 例5【2018屆江西師范大學附屬中學高三4月月考】定義域和值域均為(常數(shù)a>0)的函數(shù)和大致圖象如圖所示,給出下列四個命題: ①方程有且僅有三個解; ②方程有且僅有三個解; ③方程有且僅有九個解; ④方程有且僅有一個解。那么,其中一定正確的命題是( ) A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④ 【答案】C 【解析】①方程有且僅有三個解; 有三個不同的值,由于是減函數(shù),所以有三個解,①正確;②方程有且僅有三個解;從圖中可知, ,可能有個解,方程也可能有個解,②不正確;③方程有且僅有九個解;從圖中可知, ,可能有個解,方程最多九個解,③不正確;④因為方程有且僅有一個解,結(jié)合圖象是減函數(shù),所以方程有且僅有一個解,④正確,故選C. 【方法點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象與性質(zhì),函數(shù)與方程思想以及數(shù)形結(jié)合思想的應用,屬于難題. 數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應關(guān)系,通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法,函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達形式,它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì),為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性. 例6【2018屆【衡水金卷】(二)】已知函數(shù),且對任意實數(shù),均有,若方程有且只有4個實根,則實數(shù)的取值范圍( ) A. B. C. D. 【答案】A 有兩個零點,所以g(t)-a的圖像在區(qū)間上有兩個零點,所以由g(t)的圖像,可知-16<a<9.故選A. 點睛:本題解題用到了數(shù)學轉(zhuǎn)化的思想,首先把方程f(x)=a有四個根,且f(x)的圖像關(guān)于直線x=-3對稱,轉(zhuǎn)化成函數(shù)y=f(x)-a的圖像在區(qū)間有兩個零點,再轉(zhuǎn)化成函數(shù)g(t)-a的圖像在區(qū)間上有兩個零點.轉(zhuǎn)化的思想是高中數(shù)學里最普遍的數(shù)學思想,在高中數(shù)學里最常見,特別是遇到較復雜的問題,更應想到轉(zhuǎn)化,把復雜的問題轉(zhuǎn)化得簡單,把不熟悉的數(shù)學問題轉(zhuǎn)化成熟悉的數(shù)學問題,大家在今后的學習中要理解掌握和靈活運用. 例7【2018屆【衡水金卷】(四)】已知函數(shù),若函數(shù)的圖象與軸的交點個數(shù)不少于2個,則實數(shù)的取值范圍為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題可知函數(shù)的圖象與軸的交點個數(shù)不少于2個,即為函數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)y=mx+m的圖像的交點個數(shù)不少于2個,由于函數(shù)y=mx+m的圖像過定點P(-1,0),且斜率為m,作出函數(shù)y=f(x)的圖像如圖所示,《 可知又x>1.所以 過點(-1,0)作的切線,設(shè)切點坐標為,則此時,切線的斜率為 故實數(shù)m的取值范圍為.綜上實數(shù)m的取值范圍為. 故選A. 點睛:本題有兩個難點,一個難點是要會通過數(shù)形結(jié)合分析出在什么情況下函數(shù)的圖象與軸的交點個數(shù)不少于2個,找到三個極限位置.第二個難點是怎么利用導數(shù)和導數(shù)的幾何意義求切線的斜率,要求對導數(shù)的知識比較熟練. 例8【2018屆廣東省省際名校(茂名市)高三下聯(lián)考(二)】記函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)為,則數(shù)列的前20項的和是( ) A. 430 B. 840 C. 1250 D. 1660 【答案】A 【解析】令,得①或② 由①得,令,得,故①共有n個解, 當n為奇數(shù)時,③有個解,④有個解,故②有n+1個解,故 令 故 故選:A 點睛:函數(shù)零點的求解與判斷 (1)直接求零點:令,如果能求出解,則有幾個解就有幾個零點; (2)零點存在性定理:利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線,且,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點; (3)利用圖象交點的個數(shù):將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差,畫兩個函數(shù)的圖象,看其交點的橫坐標有幾個不同的值,就有幾個不同的零點. 例9【2018屆【衡水金卷】(一)】定義在上的函數(shù)若滿足: ,且,則稱函數(shù)為“指向的完美對稱函數(shù)”.已知是“1指向2的完美對稱函數(shù)”,且當時, .若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個零點,則實數(shù)的取值范圍為( ) A. B. C. D. 【答案】B 時, ,當時, .由得對稱中心為,周期為4,可得的對稱中心為,即與均關(guān)于點對稱,結(jié)合的圖象關(guān)于點對稱及關(guān)于直線對稱,可畫出在區(qū)間上的圖象,如圖所示: 因為,直線過點,故若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個零點,則只需與在區(qū)間上有兩個交點,設(shè)直線與曲線的切點為,則,故切線方程為: .因為點在切線上,所以,解得或(舍去),此時,又當直線過點時,k=1.故由圖,可知實數(shù)k的取值范圍為 故選:B. 【名師點睛】已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路 (1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)范圍; (2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決; (3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中,畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解. 例10【2017課標1,理21】已知函數(shù). (1)討論的單調(diào)性; (2)若有兩個零點,求a的取值范圍. 【解析】 試題分析:(1)討論單調(diào)性,首先進行求導,發(fā)現(xiàn)式子特點后要及時進行因式分解,在對按,進行討論,寫出單調(diào)區(qū)間;(2)根據(jù)第(1)題,若,至多有一個零點.若,當時,取得最小值,求出最小值,根據(jù),,進行討論,可知當有2個零點,設(shè)正整數(shù)滿足,則 .由于,因此在有一個零點.所以的取值范圍為. 【名師點睛】研究函數(shù)零點問題常常與研究對應方程的實根問題相互轉(zhuǎn)化.已知函數(shù)有2個零點求參數(shù)取值范圍,第一種方法是分離參數(shù),構(gòu)造不含參數(shù)的函數(shù),研究其單調(diào)性、極值、最值,判斷與其交點的個數(shù),從而求出a的范圍;第二種方法是直接對含參函數(shù)進行研究,研究其單調(diào)性、極值、最值,注意點是若有2個零點,且函數(shù)先減后增,則只需其最小值小于0,且后面還需驗證有最小值兩邊存在大于0的點. 【精選精練】 1【2018屆北京市京源學校高三十月月考】函數(shù)零點所在的區(qū)間是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】在時是連續(xù)函數(shù), , ,由函數(shù)零點的存在性定理,函數(shù)的零點所在的區(qū)間為,故選B. 2【2018屆陜西省咸陽市第二次模擬】函數(shù)零點的個數(shù)為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 3【2018屆北京市匯文實驗中學高三九月月考】函數(shù)的所有零點的和等于( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】當時, ,解得 當時, ,解得, 則,或 則 所有零點的和等于 故選. 4【2017課標3,理11】已知函數(shù)有唯一零點,則a= A. B. C. D.1 【答案】C 【解析】函數(shù)的零點滿足, 設(shè),則, 當時,,當時,,函數(shù) 單調(diào)遞減, 當時,,函數(shù) 單調(diào)遞增, 當時,函數(shù)取得最小值, 設(shè) ,當時,函數(shù)取得最小值 , 【名師點睛】函數(shù)零點的應用主要表現(xiàn)在利用零點求參數(shù)范圍,若方程可解,通過解方程即可得出參數(shù)的范圍,若方程不易解或不可解,則將問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造兩個函數(shù),利用兩個函數(shù)圖象的關(guān)系求解,這樣會使得問題變得直觀、簡單,這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應用. 5【2018屆(衡水金卷)一】已知函數(shù),若恰有兩個零點, (),則有( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】當時, ;當時, ;作圖如下: ,因此 ,綜上, ,選D. 點睛:涉及函數(shù)的零點問題、方程解的個數(shù)問題、函數(shù)圖像交點個數(shù)問題,一般先通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等,再借助函數(shù)的大致圖象判斷零點、方程根、交點的情況,歸根到底還是研究函數(shù)的性質(zhì),如單調(diào)性、極值,然后通過數(shù)形結(jié)合的思想找到解題的思路. 6【2018屆海南省高三第二次聯(lián)合考】已知為偶函數(shù),對任意, 恒成立,且當時, .設(shè)函數(shù),則的零點的個數(shù)為( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 7【2018屆貴州省凱里市第一中學高三下學期《黃金卷》第二套】已知偶函數(shù),且,則函數(shù)在區(qū)間的零點個數(shù)為( ) A. 2020 B. 2016 C. 1010 D. 1008 【答案】A 【解析】 依題意,當時, 對稱軸為, 由可知,函數(shù)的周期 令,可得 求函數(shù)的零點個數(shù),即求偶函數(shù)與函數(shù)圖象交點個數(shù) 當時,函數(shù)與函數(shù)圖象有個交點 故選. 8【2018屆安徽省宣城市高三第二次調(diào)研】已知,關(guān)于的方程 ()有四個不同的實數(shù)根,則( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由題意得. 當時, 恒成立,即函數(shù)在上為增函數(shù). 當時, ,令,得,即函數(shù)在上為減函數(shù),令,得,即函數(shù)在上為增函數(shù). ∴函數(shù)在上有一個最大值為 令,要使方程 ()有四個不同的實數(shù)根,則方程應 故選D. 點睛:函數(shù)的零點或方程的根的問題,一般以含參數(shù)的三次式、分式、以為底的指數(shù)式或?qū)?shù)式及三角函數(shù)式結(jié)構(gòu)的函數(shù)零點或方程根的形式出現(xiàn),一般有下列兩種考查形式: (1)確定函數(shù)零點、圖象交點及方程根的個數(shù)問題; (2)應用函數(shù)零點、圖象交點及方程解的存在情況,求參數(shù)的值或取值范圍問題. 研究方程根的情況,可以通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、函數(shù)的變化趨勢等,根據(jù)題目要求,通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題,可以使得問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn),同時在解題過程中要注意轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、分類討論思想的應用. 9【2018屆河北省定州中學高三下學期第一次月考】已知函數(shù),則函數(shù) 的零點個數(shù)為( ) A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】令f(x)=t可得f(t)=t+1. 作出f(x)的函數(shù)圖象如圖所示: 設(shè)直線y=kx+1與y=ex相切,切點為(x0,y0),則, 解得x0=0,k=1. 設(shè)直線y=kx+1與y=lnx相切,切點為(x1,y1),則, 故選:C. 10【2018高三二輪復習之測試專項】已知函數(shù),關(guān)于的方程有四個不同的實數(shù)解,則的取值范圍為__________. 【答案】 【解析】作出的圖象如下: 【名師點睛】一般討論函數(shù)零點個數(shù)問題,都要轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)問題或兩個函數(shù)圖像交點的個數(shù)問題,本題由于涉及函數(shù)為初等函數(shù),可以考慮函數(shù)圖像來解決,轉(zhuǎn)化為過定點的直線與拋物線變形圖形的交點問題,對函數(shù)圖像處理能力要求較高. 11【2018屆河北省石家莊市高三一?!恳阎瘮?shù),,若函數(shù)有三個不同的零點,,(其中),則的取值范圍為__________. 【答案】 【解析】如圖: ,,作出函數(shù)圖象如圖所示 ,,作出函數(shù)圖象如圖所示 ,由有三個不同的零點 ,如圖 令 得 12【2018屆重慶市高三4月(二診)】已知函數(shù)(,). (1)若在上單調(diào)遞減,求的取值范圍; (2)當時,判斷關(guān)于的方程的解的個數(shù). 【答案】(1);(2)只有一個解. 【解析】試題分析: (1)根據(jù)在恒成立求解即可,求解時可選用分離參數(shù)的方法.(2)由題意可得即判斷方程根的個數(shù),令,利用導數(shù)可得存在,使得 時 單調(diào)遞減,當 時單調(diào)遞增,又,→時,→,結(jié)合圖象可得當,時,方程有一個解,即方程只有一個解. 試題解析: (1)∵, ∴, 由題意得在恒成立, 即在恒成立, 設(shè), 則, ∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減, 令, 則, 令, 則, ∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增, ∴, 又,, ∴存在,使得 時, 單調(diào)遞減; 【名師點睛】利用導數(shù)研究方程根的方法:研究方程根的情況,可以通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等,根據(jù)題目要求,畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律,標明函數(shù)極(最)值的位置,通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題,這樣可以使得問題的求解有一個直觀的整體展現(xiàn).- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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