2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 幾個重要的不等式 2.2 排序不等式訓(xùn)練 北師大版選修4-5.doc

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2.2 排序不等式 一、選擇題 1.有三個房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個房間只用一種顏色，且三個房間顏色各不相同.已知三個房間的粉刷面積(單位：m2)分別為x，y，z，且x＜y＜z，三種顏色涂料的粉刷費用(單位：元/m2)分別為a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的總費用(單位：元)是(　　) A.ax＋by＋cz B.az＋by＋cx C.ay＋bz＋cx D.ay＋bx＋cz 解析　法一　用特值法進行驗證.令x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3.A項：ax＋by＋cz＝1＋4＋9＝14；B項：az＋by＋cx＝3＋4＋3＝10；C項：ay＋bz＋cx＝2＋6＋3＝11；D項：ay＋bx＋cz＝2＋2＋9＝13.故選B. 法二　由順序和≥亂序和≥反序和.可得az＋by＋cx最小. 答案　B 二、填空題 2.設(shè)a1，a2，a3，…，an為正數(shù)，那么P＝a1＋a2＋…＋an與Q＝＋＋…＋＋的大小關(guān)系是________. 解析　假設(shè)a1≥a2≥a3≥…≥an，則≥≥…≥≥， 并且a≥a≥a≥…≥a， P＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝＋＋＋…＋， 是反順和，Q是亂順和，由排序不等式定理P≤Q. 答案　P≤Q 三、解答題 3.設(shè)a1，a2，…，an為正數(shù)，求證：＋＋…＋＋≥a1＋a2＋…＋an. 證明　不妨設(shè)a1>a2>…>an>0，則有a>a>…>a 也有<<…<，由排序原理：亂序和≥逆序和，得： ＋＋…＋≥＋＋…＋＝a1＋a2＋…＋an. 4.設(shè)A、B、C表示△ABC的三個內(nèi)角的弧度數(shù)，a，b，c表示其對邊，求證：≥. 證明　法一　不妨設(shè)A>B>C，則有a>b>c，由排序原理：順序和≥亂序和. ∴aA＋bB＋cC≥aB＋bC＋cA；aA＋bB＋cC≥aC＋bA＋cB； aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC.上述三式相加得 3(aA＋bB＋cC)≥(A＋B＋C)(a＋b＋c)＝π(a＋b＋c). ∴≥. 法二　不妨設(shè)A>B>C，則有a>b>c， 由排序不等式≥， 即aA＋bB＋cC≥(a＋b＋c)，∴≥. 5.設(shè)a，b，c為正數(shù)，利用排序不等式證明a3＋b3＋c3≥3abc. 證明　不妨設(shè)a≥b≥c>0，∴a2≥b2≥c2， 由排序原理：順序和≥逆序和，得： a3＋b3≥a2b＋b2a，b3＋c3≥b2c＋c2b，c3＋a3≥a2c＋c2a， 三式相加得2(a3＋b3＋c3)≥a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2). 又a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca. 所以2(a3＋b3＋c3)≥6abc， ∴a3＋b3＋c3≥3abc. 當且僅當a＝b＝c時，等號成立. 6.設(shè)a，b，c是正實數(shù)，求證：aabbcc≥(abc). 證明　不妨設(shè)a≥b≥c>0，則lg a≥lg b≥lg c. 據(jù)排序不等式有： alg a＋blg b＋clg c≥blg a＋clg b＋alg c alg a＋blg b＋clg c≥clg a＋alg b＋blg c alg a＋blg b＋clg c＝alg a＋blg b＋clg c 上述三式相加得： 3(alg a＋blg b＋clg c)≥(a＋b＋c)(lg a＋lg b＋lg c)， 即lg(aabbcc)≥lg(abc). 故aabbcc≥(abc). 7.設(shè)xi，yi (i＝1，2，…，n)是實數(shù)，且x1≥x2≥…≥xn，y1≥y2≥…≥yn，而z1，z2，…，zn是y1，y2，…，yn的一個排列. 求證： (xi－yi)2≥ (xi－zi)2. 證明　要證 (xi－yi)2≥ (xi－zi)2 只需證y－2xiyi≥z－2xizi. 因為y＝z，∴只需證xizi≤xiyi. 而上式左邊為亂序和，右邊為順序和. 由排序不等式得此不等式成立. 故不等式 (xi－yi)2≥ (xi－zi)2成立. 8.已知a，b，c為正數(shù)，且兩兩不等，求證：2(a3＋b3＋c3)>a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b). 證明　不妨設(shè)a>b>c>0.則a2>b2>c2，a＋b>a＋c>b＋c， ∴a2(a＋b)＋b2(a＋c)＋c2(b＋c) >a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)， 即a3＋c3＋a2b＋b2a＋b2c＋c2b >a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)， 又∵a2>b2>c2，a>b>c， ∴a2b＋b2aa2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b).