2019年高考數(shù)學(xué) 考點分析與突破性講練 專題09 導(dǎo)數(shù)意義及導(dǎo)數(shù)運算 理.doc
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專題09 導(dǎo)數(shù)意義及導(dǎo)數(shù)運算 一、 考綱要求: 1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景 2.通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義. 3.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y=C(C為常數(shù)),y=x,y=,y=x2y=x3,y=的導(dǎo)數(shù). 4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù),并了解復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,能求簡單復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(ax+b)的復(fù)合函數(shù))的導(dǎo)數(shù). 二、概念掌握及解題上的注意點: 1.奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù),偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù),周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù). 2.=-(f(x)≠0). 3.[af(x)+bg(x)]′=af′(x)+bg′(x). 4.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢,其正負(fù)號反映了變化的方向,其大小|f′(x)|反映了變化的快慢,|f′(x)|越大,曲線在這點處的切線越“陡”. 5.求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的一般原則如下 (1))遇到連乘的形式,先展開化為多項式形式,再求導(dǎo). (2))遇到根式形式,先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,再求導(dǎo). (3))遇到復(fù)雜分式,先將分式化簡,再求導(dǎo). 4).復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),應(yīng)先確定復(fù)合關(guān)系,由外向內(nèi)逐層求導(dǎo),必要時可換元處理. 6.求函數(shù)圖象的切線方程的注意事項: (1))首先應(yīng)判斷所給點是不是切點,如果不是,需將切點設(shè)出. (2))切點既在函數(shù)的圖象上,也在切線上,可將切點代入兩者的解析式建立方程組. (3))在切點處的導(dǎo)數(shù)值對應(yīng)切線的斜率,這是求切線方程最重要的條件. (4))曲線上一點處的切線與該曲線并不一定只有一個公共點. (5))當(dāng)曲線y=f(x)在點(x0,fx0)處的切線垂直于x軸時,函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)不存在,切線方程是x=x0. 三、高考考題題例分析: 例1.(2018全國卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+(a﹣1)x2+ax.若f(x)為奇函數(shù),則曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為( ) A.y=﹣2x B.y=﹣x C.y=2x D.y=x 解析:函數(shù)f(x)=x3+(a﹣1)x2+ax,若f(x)為奇函數(shù), 可得a=1,所以函數(shù)f(x)=x3+x,可得f′(x)=3x2+1, 曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線的斜率為:1, 則曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為:y=x. 故選:D. 例2.(2018全國卷II)曲線y=2ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為 ?。? 解析:∵y=2ln(x+1), ∴y′=, 當(dāng)x=0時,y′=2, ∴曲線y=2ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y=2x. 故答案為:y=2x. 例3.(2018全國卷Ⅲ)曲線y=(ax+1)ex在點(0,1)處的切線的斜率為﹣2,則a= ﹣3 . 例4.(2017全國卷Ⅰ)曲線y=x+在點(1,2)處的切線方程為________. x-y+1=0 解析:∵y′=2x-,∴y′|x=1=1, 即曲線在點(1,2)處的切線的斜率k=1, ∴切線方程為y-2=x-1, 即x-y+1=0. 例5.(2016全國卷Ⅲ)已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x<0時,f(x)=ln(-x)+3x,則曲線y=f(x)在點(1,-3)處的切線方程是________. y=-2x-1 解析:因為f(x)為偶函數(shù),所以當(dāng)x>0時,f(x)=f(-x)=ln x-3x,所以f′(x)=-3,則f′(1)=-2.所以y=f(x)在點(1,-3)處的切線方程為y+3=-2(x-1),即y=-2x-1. 例6.(2017天津高考)已知a∈R,設(shè)函數(shù)f(x)=ax-ln x的圖象在點(1,f(1))處的切線為l,則l在y軸上的截距為________ 解析:∵f′(x)=a-,∴f′(1)=a-1. 又∵f(1)=a,∴切線l的斜率為a-1,且過點(1,a), ∴切線l的方程為y-a=(a-1)(x-1). 令x=0,得y=1,故l在y軸上的截距為1. 導(dǎo)數(shù)意義及導(dǎo)數(shù)運算練習(xí) 一、 選擇題 1.函數(shù)f(x)=(x+2a)(x-a)2的導(dǎo)數(shù)為( ) A.2(x2-a2) B.2(x2+a2) C.3(x2-a2) D.3(x2+a2) C 解析:∵f(x)=(x+2a)(x-a)2=x3-3a2x+2a3, ∴f′(x)=3(x2-a2). 2.曲線f(x)=2x-ex與y軸的交點為P,則曲線在點P處的切線方程為( ) A.x-y+1=0 B.x+y+1=0 C.x-y-1=0 D.x+y-1=0 3.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且滿足f(x)=2xf′(1)+ln x,則f′(1)等于( ) A.-e B.-1 C.1 D.e B 解析: 由f(x)=2xf′(1)+ln x,得f′(x)=2f′(1)+, ∴f′(1)=2f′(1)+1,則f′(1)=-1. 4.曲線y=xex+2x-1在點(0,-1)處的切線方程為( ) A.y=3x-1 B.y=-3x-1 C.y=3x+1 D.y=-3x-1 A 解析:由題意得y′=(x+1)ex+2,則曲線y=xex+2x-1在點(0,-1)處的切線的斜率為(0+1)e0+2=3,故曲線y=xex+2x-1在點(0,-1)處的切線方程為y+1=3x,即y=3x-1. 5.若直線y=kx+1是函數(shù)f(x)=ln x圖象的一條切線,則k=( ) A. B. C.e D.e2 A 解析: 由f(x)=ln x,得f′(x)=.設(shè)切點為(x0,ln x0),則 解得x0=e2, 則k==,故選A. 6.已知直線y=kx+1與曲線y=x3+mx+n相切于點A(1,3),則n=( ) A.-1 B.1 C.3 D.4 C 解析:對于y=x3+mx+n,y′=3x2+m,∴k=3+m,又k+1=3,1+m+n=3,可解得n=3. 7.已知y=f(x)是可導(dǎo)函數(shù),如圖,直線y=kx+2是曲線y=f(x)在x=3處的切線,令g(x)=xf(x),g′(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù),則g′(3)=( ) A.-1 B.0 C.2 D.4 8.曲線y=1-在點(-1,-1)處的切線方程為( ) A.y=2x+1 B.y=2x-1 C.y=-2x-3 D.y=-2x-2 9.若直線y=ax是曲線y=2ln x+1的一條切線,則實數(shù)a=( ) A.e B.2e C.e D.2e B解析: 依題意,設(shè)直線y=ax與曲線y=2ln x+1的切點的橫坐標(biāo)為x0,則有y′|x=x0=,于是有解得x0=,a==2e,選B. 10.已知f(x)=ln x,g(x)=x2+mx+(m<0),直線l與函數(shù)f(x),g(x)的圖象都相切,且與f(x)圖象的切點為(1,f(1)),則m的值為( ) A.-1 B.-3 C.-4 D.-2 D解析: ∵f′(x)=, ∴直線l的斜率為k=f′(1)=1, 又f(1)=0, ∴切線l的方程為y=x-1. g′(x)=x+m,設(shè)直線l與g(x)的圖象的切點為(x0,y0), 則有x0+m=1,y0=x0-1,y0=x+mx0+,m<0, 解得m=-2. 11.曲線y=e在點(4,e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為( ) A.e2 B.4e2 C.2e2 D.e2 D 解析:易知曲線y=e在點(4,e2)處的切線斜率存在,設(shè)其為k.∵y′=e,∴k=e=e2,∴切線方程為y-e2=e2(x-4),令x=0,得y=-e2,令y=0,得x=2,∴所求面積為S=2|-e2|=e2. 12.已知f(x)=ln x,g(x)=x2+mx+(m<0),直線l與函數(shù)f(x),g(x)的圖象都相切,且與f(x)圖象的切點為(1,f(1)),則m的值為( ) A.-1 B.-3 C.-4 D.-2 二、填空題 13.(2016全國卷Ⅱ)若直線y=kx+b是曲線y=ln x+2的切線,也是曲線y=ln(x+1)的切線,則b=________. 1-ln 2 解析:分別求出兩個對應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),設(shè)出兩個切點坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)得到兩個切點坐標(biāo)之間的關(guān)系,進(jìn)而求出切線斜率,求出b的值. 求得(ln x+2)′=,[ln(x+1)]′=. 設(shè)曲線y=ln x+2上的切點為(x1,y1),曲線y=ln(x+1)上的切點為(x2,y2), 則k==,所以x2+1=x1. 又y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1)=ln x1, 所以k==2, 所以x1==,y1=ln+2=2-ln 2, 所以b=y(tǒng)1-kx1=2-ln 2-1=1-ln 2. 14.已知函數(shù)f(x)=ax3+x+1的圖象在點(1,f(1))處的切線過點(2,7),則a=________. 1 解析:∵f′(x)=3ax2+1, ∴f′(1)=3a+1. 又f(1)=a+2, ∴切線方程為y-(a+2)=(3a+1)(x-1). ∵切線過點(2,7),∴7-(a+2)=3a+1,解得a=1. 15.曲線y=aln x(a>0)在x=1處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4,則a=________. 16.設(shè)曲線y=ex在點(0,1)處的切線與曲線y=(x>0)上點P處的切線垂直,則P的坐標(biāo)為________. (1,1) 解析:∵函數(shù)y=ex的導(dǎo)函數(shù)為y′=ex, ∴曲線y=ex在點(0,1)處的切線的斜率k1=e0=1. 設(shè)P(x0,y0)(x0>0),∵函數(shù)y=的導(dǎo)函數(shù)為y′=-,∴曲線y=(x>0)在點P處的切線的斜率k2=-. 易知k1k2=-1,即1=-1,解得x=1,又x0>0,∴x0=1.又∵點P在曲線y=(x>0)上,∴y0=1,故點P的坐標(biāo)為(1,1). 三、解答題 17.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)y=xtan x; (2)y=(x+1)(x+2)(x+3); (3)y=. [解] (1)y′=(xtan x)′=x′tan x+x(tan x)′ =tan x+x′=tan x+x =tan x+. (2)y=(x+1)(x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6, ∴y′=3x2+12x+11. (3)y′=′= == =. 18.已知函數(shù)f(x)=x3-4x2+5x-4. (1)求曲線f(x)在點(2,f(2))處的切線方程; (2)求經(jīng)過點A(2,-2)的曲線f(x)的切線方程. 19.已知函數(shù)f(x)=x3-2x2+3x(x∈R)的圖象為曲線C. (1)求過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍; (2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線,求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標(biāo)的取值范圍. [解] (1)由題意得f′(x)=x2-4x+3, 則f′(x)=(x-2)2-1≥-1, 即過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍是[-1,+∞). (2)設(shè)曲線C的其中一條切線的斜率為k,則由(2)中條件并結(jié)合(1)中結(jié)論可知, 解得-1≤k<0或k≥1, 故由-1≤x2-4x+3<0或x2-4x+3≥1, 得x∈(-∞,2-]∪(1,3)∪[2+,+∞).- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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