2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 參數(shù)方程 四 漸開線與擺線講義(含解析)新人教A版選修4-4.doc
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四 漸開線與擺線 1.漸開線的產(chǎn)生過程 把一條沒有彈性的細(xì)繩繞在一個(gè)圓盤上,在繩的外端系上一支鉛筆,將繩子拉緊,保持繩子與圓相切而逐漸展開,那么鉛筆畫出的曲線就是圓的漸開線,相應(yīng)的定圓叫做基圓. 2.?dāng)[線的概念及產(chǎn)生過程 圓的擺線就是一個(gè)圓沿著一條定直線無滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)圓周上一個(gè)定點(diǎn)的軌跡,圓的擺線又叫旋輪線. 3.圓的漸開線和擺線的參數(shù)方程 (1)圓的漸開線方程:(φ為參數(shù)) (2)擺線的參數(shù)方程:(φ為參數(shù)). 圓的漸開線的參數(shù)方程 [例1] 求半徑為4的圓的漸開線的參數(shù)方程. [思路點(diǎn)撥] 關(guān)鍵根據(jù)漸開線的生成過程,歸結(jié)到向量知識(shí)和三角的有關(guān)知識(shí)建立等式關(guān)系. [解] 以圓心為原點(diǎn)O,繩端點(diǎn)的初始位置為M0,向量的方向?yàn)閤軸正方向,建立坐標(biāo)系,設(shè)漸開線上的任意點(diǎn)M(x,y),繩拉直時(shí)和圓的切點(diǎn)為A,故OA⊥AM,按漸開線定義,弧的長(zhǎng)和線段AM的長(zhǎng)相等,記和x軸正向所夾的角為θ(以弧度為單位),則|AM|==4θ. 作AB垂直于x軸,過M點(diǎn)作AB的垂線,由三角函數(shù)和向量知識(shí),得 =(4cos θ,4sin θ). 由幾何知識(shí)知∠MAB=θ,=(4θsin θ,-4θcos θ), 所以=+ =(4cos θ+4θsin θ, 4sin θ-4θcos θ) =(4(cos θ+θsin θ), 4(sin θ-θcos θ)). 又=(x,y), 因此有 這就是所求圓的漸開線的參數(shù)方程. 圓的漸開線的參數(shù)方程中,字母r表示基圓的半徑,字母φ是指繩子外端運(yùn)動(dòng)時(shí)繩子上的定點(diǎn)M相對(duì)于圓心的張角;另外,漸開線的參數(shù)方程不宜化為普通方程. 1.已知圓的漸開線的參數(shù)方程(φ為參數(shù)),則此漸開線對(duì)應(yīng)基圓的半徑是________. 解析:圓的漸開線的參數(shù)方程可化為(φ為參數(shù)),圓的漸開線的參數(shù)方程由圓的半徑惟一確定,從方程不難看出基圓的半徑r=3. 答案:3 2.已知圓的直徑為2,其漸開線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程對(duì)應(yīng)的曲線上的兩點(diǎn)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是和,求A,B兩點(diǎn)的距離. 解:根據(jù)條件可知圓的半徑是1,所以對(duì)應(yīng)的漸開線參數(shù)方程是(φ為參數(shù)), 分別把φ=和φ=代入,可得A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A,B. 那么,根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式可得A,B兩點(diǎn)的距離為 |AB|= = . 即A,B兩點(diǎn)之間的距離為 . 圓的擺線的參數(shù)方程 [例2] 求半徑為2的圓的擺線的參數(shù)方程.(如圖所示,開始時(shí)定點(diǎn)M在原點(diǎn)O處,取圓滾動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)過的角度α(以弧度為單位)為參數(shù)). [思路點(diǎn)撥] 利用向量知識(shí)和三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)求解. [解] 當(dāng)圓滾過α角時(shí),圓心為點(diǎn)B,圓與x軸的切點(diǎn)為A,定點(diǎn)M的位置如圖所示,∠ABM=α. 由于圓在滾動(dòng)時(shí)不滑動(dòng),因此線段OA的長(zhǎng)和圓弧的長(zhǎng)相等,它們的長(zhǎng)都等于2α,從而B點(diǎn)坐標(biāo)為(2α,2), 向量=(2α,2),向量=(2sin α,2cos α), =(-2sin α,-2cos α), 因此=+ =(2α-2sin α,2-2cos α) =(2(α-sin α),2(1-cos α)). 又動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),向量=(x,y) 所以 這就是所求擺線的參數(shù)方程. (1)圓的擺線的實(shí)質(zhì)是一個(gè)圓沿著一條定直線無滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)圓周上一個(gè)定點(diǎn)的軌跡. (2)根據(jù)圓的擺線的定義和建立參數(shù)方程的過程,可知其中的字母r是指定圓的半徑,參數(shù)φ是指圓上定點(diǎn)相對(duì)于某一定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所張開的角度大?。? 3.?dāng)[線(0≤t≤2π)與直線y=2的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)是________. 答案:(π-2,2),(3π+2,2) 4.圓的半徑為r,沿x軸正向滾動(dòng),圓與x軸相切于原點(diǎn)O.圓上點(diǎn)M起始處沿順時(shí)針已偏轉(zhuǎn)φ角.試求點(diǎn)M的軌跡方程. 解:如圖所示,作MA⊥x軸于點(diǎn)A,作CB⊥MA于點(diǎn)B,則xM=rφ-rcos=r(φ-sin φ),yM=r+rsin=r(1-cos φ).即點(diǎn)M的軌跡方程為 一、選擇題 1.半徑為3的圓的擺線上某點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0,那么其橫坐標(biāo)可能是( ) A.π B.2π C.12π D.14π 解析:選C 根據(jù)條件可知,圓的擺線方程為 (φ為參數(shù)),把y=0代入, 得φ=2kπ(k∈Z),此時(shí)x=6kπ(k∈Z). 2.給出下列說法: ①圓的漸開線的參數(shù)方程不能轉(zhuǎn)化為普通方程; ②圓的漸開線也可以轉(zhuǎn)化為普通方程,但是轉(zhuǎn)化后的普通方程比較麻煩,且不容易看出坐標(biāo)之間的關(guān)系,所以常使用參數(shù)方程研究圓的漸開線問題; ③在求圓的擺線和漸開線方程時(shí),如果建立的坐標(biāo)系原點(diǎn)和坐標(biāo)軸選取不同,可能會(huì)得到不同的參數(shù)方程; ④圓的漸開線和x軸一定有交點(diǎn)而且是唯一的交點(diǎn). 其中正確的說法有( ) A.①③ B.②④ C.②③ D.①③④ 解析:選C 對(duì)于一個(gè)圓,只要半徑確定,漸開線和擺線的形狀就是確定的,但是隨著選擇體系的不同,其在坐標(biāo)系中的位置也會(huì)不同,相應(yīng)的參數(shù)方程也會(huì)有所區(qū)別,至于漸開線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)要看選取的坐標(biāo)系的位置. 3.已知一個(gè)圓的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),那么圓的擺線方程中參數(shù)取對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離為( ) A.-1 B. C. D. 解析:選C 根據(jù)圓的參數(shù)方程可知,圓的半徑為3,那么它的擺線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),把φ=代入?yún)?shù)方程中可得 即A, ∴|AB|= =. 4.如圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,曲線AEFGH…叫做“正方形的漸開線”,其中AE,EF,F(xiàn)G,GH…的圓心依次按B,C,D,A循環(huán),它們依次相連接,則曲線AEFGH長(zhǎng)是( ) A.3π B.4π C.5π D.6π 解析:選C 根據(jù)漸開線的定義可知,是半徑為1的圓周長(zhǎng),長(zhǎng)度為,繼續(xù)旋轉(zhuǎn)可得是半徑為2的圓周長(zhǎng),長(zhǎng)度為π;是半徑為3的圓周長(zhǎng),長(zhǎng)度為;是半徑為4的圓周長(zhǎng),長(zhǎng)度為2π,所以曲線AEFGH的長(zhǎng)是5π. 二、填空題 5.我們知道關(guān)于直線y=x對(duì)稱的兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù),則圓的擺線(φ為參數(shù))關(guān)于直線y=x對(duì)稱的曲線的參數(shù)方程為________. 解析:關(guān)于直線y=x對(duì)稱的函數(shù)互為反函數(shù),而求反函數(shù)的過程主要體現(xiàn)了x與y的互換,所以要寫出擺線方程關(guān)于y=x對(duì)稱的曲線方程,只需把其中的x,y互換. 答案:(φ為參數(shù)) 6.已知圓的漸開線的參數(shù)方程是(φ為參數(shù)),則此漸開線對(duì)應(yīng)的基圓的直徑是__________,當(dāng)參數(shù)φ=時(shí)對(duì)應(yīng)的曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為__________. 解析:圓的漸開線的參數(shù)方程由圓的半徑惟一確定,從方程不難看出基圓的半徑為1,故直徑為2.求當(dāng)φ=時(shí)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)只需把φ=代入曲線的參數(shù)方程,得x=+,y=-,由此可得對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為. 答案:2 7.已知一個(gè)圓的擺線過點(diǎn)(1,0),則擺線的參數(shù)方程為______________. 解析:圓的擺線的參數(shù)方程為 令r(1-cos φ)=0,得φ=2kπ,代入x=r(φ-sin φ),得x=r(2kπ-sin 2kπ),又過(1,0),∴r(2kπ-sin 2kπ)=1,∴r=.又r>0,∴k∈N+. 答案:(φ為參數(shù),k∈N+) 三、解答題 8.有一個(gè)半徑是2a的輪子沿著直線軌道滾動(dòng),在輪輻上有一點(diǎn)M,與輪子中心的距離是a,求點(diǎn)M的軌跡方程. 解:設(shè)輪子中心為O,則OM=a.點(diǎn)M的軌跡即是以O(shè)為圓心,a為半徑的基圓的擺線.由參數(shù)方程知點(diǎn)M的軌跡方程為 9.已知一個(gè)圓的擺線方程是(φ為參數(shù)),求該圓的面積和對(duì)應(yīng)的圓的漸開線的參數(shù)方程. 解:根據(jù)擺線的參數(shù)方程可知圓的半徑為4,所以面積是16π,該圓對(duì)應(yīng)的漸開線參數(shù)方程是 (φ為參數(shù)) 10.已知一個(gè)圓的擺線過一定點(diǎn)(2,0),請(qǐng)寫出該圓的半徑最大時(shí)該擺線的參數(shù)方程以及對(duì)應(yīng)的圓的漸開線的參數(shù)方程. 解:令y=0,可得a(1-cos φ)=0, 由于a>0,即得cos φ=1,所以φ=2kπ(k∈Z). 代入x=a(φ-sin φ),得x=a(2kπ-sin 2kπ)(k∈Z). 又因?yàn)閤=2,所以a(2kπ-sin 2kπ)=2(k∈Z), 即得a=(k∈Z). 又由實(shí)際可知a>0,所以a=(k∈N+). 易知,當(dāng)k=1時(shí),a取最大值為. 代入即可得圓的擺線的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù)) 圓的漸開線的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù))- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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