2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué) 必修五 2-4 第2課時 等比數(shù)列的性質(zhì)（教案）.doc

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2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué) 必修五 2-4 第2課時 等比數(shù)列的性質(zhì)（教案） 教學(xué)重點 1.探究等比數(shù)列更多的性質(zhì); 2.解決生活實際中的等比數(shù)列的問題. 教學(xué)難點 滲透重要的數(shù)學(xué)思想. 教具準(zhǔn)備 多媒體課件、投影膠片、投影儀等 三維目標(biāo) 一、知識與技能 1.了解等比數(shù)列更多的性質(zhì); 2.能將學(xué)過的知識和思想方法運用于對等比數(shù)列性質(zhì)的進(jìn)一步思考和有關(guān)等比數(shù)列的實際問題的解決中; 3.能在生活實際的問題情境中，抽象出等比數(shù)列關(guān)系，并能用有關(guān)的知識解決相應(yīng)的實際問題. 二、過程與方法 1.繼續(xù)采用觀察、思考、類比、歸納、探究、得出結(jié)論的方法進(jìn)行教學(xué); 2.對生活實際中的問題采用合作交流的方法，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，引導(dǎo)學(xué)生探究問題的解決方法，經(jīng)歷解決問題的全過程; 3.當(dāng)好學(xué)生學(xué)習(xí)的合作者的角色. 三、情感態(tài)度與價值觀 1.通過對等比數(shù)列更多性質(zhì)的探究，培養(yǎng)學(xué)生的良好的思維品質(zhì)和思維習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生對知識的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度，培養(yǎng)學(xué)生的類比、歸納的能力; 2.通過生活實際中有關(guān)問題的分析和解決，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識社會、了解社會的意識，更多地知道數(shù)學(xué)的社會價值和應(yīng)用價值. 教學(xué)過程 導(dǎo)入新課 師 教材中第59頁練習(xí)第3題、第4題，請學(xué)生課外進(jìn)行活動探究，現(xiàn)在請同學(xué)們把你們的探究結(jié)果展示一下. 生 由學(xué)習(xí)小組匯報探究結(jié)果. 師 對各組的匯報給予評價. 師 出示多媒體幻燈片一：第3題、第4題詳細(xì)解答： 第3題解答： (1)將數(shù)列{an}的前k項去掉，剩余的數(shù)列為a k+1，a k+2,….令bi=ak+i,i=1,2,…, 則數(shù)列a k+1,ak+2,…,可視為b1,b2，…. 因為 (i≥1),所以，{bn}是等比數(shù)列，即a k+1，ak+2,…是等比數(shù)列. (2){an}中每隔10項取出一項組成的數(shù)列是a1,a 11,a 21，…,則 (k≥1). 所以數(shù)列a1,a 11,a21,…是以a1為首項，q10為公比的等比數(shù)列. 猜想：在數(shù)列{an}中每隔m(m是一個正整數(shù))取出一項，組成一個新數(shù)列，這個數(shù)列是以a1為首項、qm為公比的等比數(shù)列. ◇本題可以讓學(xué)生認(rèn)識到，等比數(shù)列中下標(biāo)為等差數(shù)列的子數(shù)列也構(gòu)成等比數(shù)列，可以讓學(xué)生再探究幾種由原等比數(shù)列構(gòu)成的新等比數(shù)列的方法. 第4題解答： (1)設(shè){an}的公比是q，則 a52=(a1q4)2=a12q8, 而a3a7=a1q2a1q6=a12q8, 所以a52=a3a7. 同理,a52=a1a9. (2)用上面的方法不難證明an2=a n-1a n+1(n＞1).由此得出，an是a n-1和a n+1的等比中項，同理可證an2=a n-kan+k(n＞k＞0).an是an-k和an+k的等比中項(n＞k＞0). 師 和等差數(shù)列一樣，等比數(shù)列中蘊涵著許多的性質(zhì)，如果我們想知道的更多，就要對它作進(jìn)一步的探究. 推進(jìn)新課 ［合作探究］ 師 出示投影膠片1 例題1　(教材P61B組第3題)就任一等差數(shù)列{an}，計算a7+a 10，a8+a9和a10+a 40，a20+a30，你發(fā)現(xiàn)了什么一般規(guī)律，能把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用一般化的推廣嗎？從等差數(shù)列和函數(shù)之間的聯(lián)系的角度來分析這個問題.在等比數(shù)列中會有怎樣的類似結(jié)論？ 師 注意題目中“就任一等差數(shù)列{an}”，你打算用一個什么樣的等差數(shù)列來計算？ 生 用等差數(shù)列1，2，3，… 師 很好，這個數(shù)列最便于計算，那么發(fā)現(xiàn)了什么樣的一般規(guī)律呢？ 生 在等差數(shù)列{an}中，若k+s=p+q(k,s,p,q∈N *)，則ak+as=ap+aq. 師 題目要我們“從等差數(shù)列與函數(shù)之間的聯(lián)系的角度來分析這個問題”，如何做？ 生 思考、討論、交流. 師 出示多媒體課件一：等差數(shù)列與函數(shù)之間的聯(lián)系. ［教師精講］ 師 從等差數(shù)列與函數(shù)之間的聯(lián)系的角度來分析這個問題：由等差數(shù)列{an}的圖象，可以看出, 根據(jù)等式的性質(zhì)，有. 所以ak+as=ap+aq. 師 在等比數(shù)列中會有怎樣的類似結(jié)論？ 生 猜想對于等比數(shù)列{an}，類似的性質(zhì)為：k+s=p+t(k,s,p,t∈N*)，則 akas=apat. 師 讓學(xué)生給出上述猜想的證明. 證明：設(shè)等比數(shù)列{an}公比為q， 則有aka s=a1qk-1a1qs-1=a12qk+s-2, apat=a1q p-1a1qt-1=a12qp+t-2. 因為k+s=p+t, 所以有akas=apat. 師 指出：經(jīng)過上述猜想和證明的過程，已經(jīng)得到了等比數(shù)列的一個新的性質(zhì). 即等比數(shù)列{an}中，若k+s=p+t(k,s,p,t∈N*)，則有akas=apat. 師 下面有兩個結(jié)論： (1)與首末兩項等距離的兩項之積等于首末兩項的積； (2)與某一項距離相等的兩項之積等于這一項的平方. 你能將這兩個結(jié)論與上述性質(zhì)聯(lián)系起來嗎？ 生 思考、列式、合作交流，得到： 結(jié)論(1)就是上述性質(zhì)中1+n=(1+t)+(n-t)時的情形； 結(jié)論(2)就是上述性質(zhì)中k+k=(k+t)+(k-t)時的情形. 師 引導(dǎo)學(xué)生思考，得出上述聯(lián)系，并給予肯定的評價. 師 上述性質(zhì)有著廣泛的應(yīng)用. 師 出示投影膠片2：例題2 例題2 （1）在等比數(shù)列{an}中，已知a1=5,a9a 10=100,求a 18; （2）在等比數(shù)列{bn}中，b4=3,求該數(shù)列前七項之積； （3）在等比數(shù)列{an}中，a2=-2,a5=54,求a8. 例題2　三個小題由師生合作交流完成，充分讓學(xué)生思考，展示將問題與所學(xué)的性質(zhì)聯(lián)系到一起的思維過程. 解答： (1)在等比數(shù)列{an}中，已知a1=5，a9a10=100，求a 18. 解：∵a1a 18=a9a 10，∴a 18= =20. (2)在等比數(shù)列{bn}中，b4=3，求該數(shù)列前七項之積. 解：b1b2b3b4b5b6b7=(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4. ∵b42=b1b7=b2b6=b3b5，∴前七項之積(32)33=37=2 187. (3)在等比數(shù)列{an}中，a2=-2，a5=54，求a8. 解：.∵a5是a2與a8的等比中項，∴542=a8(-2). ∴a8=-1 458. 另解：a8=a5q3=a5=-1 458. ［合作探究］ 師 判斷一個數(shù)列是否成等比數(shù)列的方法：1、定義法；2、中項法；3、通項公式法. 例題3：已知{an}{bn}是兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列，仿照下表中的例子填寫表格.從中你能得出什么結(jié)論？證明你的結(jié)論. an bn anbn 判斷{anbn}是否是等比數(shù)列 例 -52n-1 是 自選1 自選2 師 請同學(xué)們自己完成上面的表. 師 根據(jù)這個表格，我們可以得到什么樣的結(jié)論？如何證明？ 生 得到：如果{an}、{bn}是兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列，那么{anbn}也是等比數(shù)列. 證明如下： 設(shè)數(shù)列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么數(shù)列{anbn}的第n項與第n＋1項分別為a1p n-1b1qn-1與a1pnb1qn，因為 , 它是一個與n無關(guān)的常數(shù)，所以{anbn}是一個以pq為公比的等比數(shù)列. ［教師精講］ 除了上面的證法外，我們還可以考慮如下證明思路： 證法二： 設(shè)數(shù)列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么數(shù)列{anbn}的第n項、第n-1項與第n＋1項(n＞1,n∈N *)分別為a1p n-1b1q n-1、a1p n-2b1qn-2與a1pnb1qn，因為 (anbn)2=(a1p n-1b1qn-1)2=(a1b1)2(pq) 2(n-1), (a n-1bn-1)(a n+1bn+1)=(a1pn-2b1qn-2)(a1pnb1qn)=(a1b1)2(pq)2(n-1), 即有(anbn)2=(a n-1bn-1)(a n+1bn+1)(n＞1,n∈N *), 所以{anbn}是一個等比數(shù)列. 師 根據(jù)對等比數(shù)列的認(rèn)識，我們還可以直接對數(shù)列的通項公式考察： 證法三：設(shè)數(shù)列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么數(shù)列{anbn}的通項公式為 anbn=a1p n-1b1qn-1=(a1b1)(pq) n-1, 設(shè)cn=anbn,則cn=(a1b1)(pq) n-1, 所以{anbn}是一個等比數(shù)列. 課堂小結(jié) 本節(jié)學(xué)習(xí)了如下內(nèi)容： 1.等比數(shù)列的性質(zhì)的探究. 2.證明等比數(shù)列的常用方法. 布置作業(yè) 課本第60頁習(xí)題2.4 A組第3題、B組第1題. 板書設(shè)計 等比數(shù)列的基本性質(zhì)及其應(yīng)用 例1　　　　　　　　　　　例2　　　　　　　　　　　例3